离散时间系统的模拟与基本原理

一个离散时间 LTI 系统可以用差分方程写，也可以用系统函数 $H(z)$ 写。两者都是数学描述，但工程实现时还需要回答：加法器、乘法器、延迟器应该怎样连接？

系统框图与信号流图就是这类问题的图形化语言。它们把抽象的递推关系变成可见的数据流：节点代表变量，支路代表运算（延迟或乘常数），加法器把多路信号合并。画好图之后，硬件工程师可以直接布线，软件工程师可以按图写循环，理论分析则可以用梅森公式由图直接读出系统函数。

无论系统多复杂，实现它所需的基本运算只有三种：加法、乘常数、单位延迟。

离散时间系统最基本的构件是单位延时单元（Delay），通常用方框 D 表示。它把输入信号延迟一个采样周期：

延时单元 D：$y_{out}[n]=y_{in}[n-1]$。在 Z 域中 $D=z^{-1}$。

输入 $y[n]$ 经过 D 后输出 $y[n-1]$——当前时刻的输入变成下一时刻的输出。所有离散系统的结构都可以用 D 延时单元、加法器和乘法器组合而成。

系统框图三种基本元件的时域与 Z 域对照：（左）延迟器 $D \leftrightarrow z^{-1}$，（中）常数乘法器 $\triangle(a)$，（右）加法器 $\bigcirc(+)$。左侧为时域表示，右侧为 Z 域表示——延迟器输出在 Z 域中是输入乘 $z^{-1}$，常数乘法器和加法器的 Z 域符号与时域完全相同。

方框图法用方框、箭头、加法节点、乘法系数和单位延迟器直接画出样本如何流动。它最适合从差分方程出发检查"先延迟、再乘系数、最后在哪里相加"。

把延时单元和反馈路径组合，就得到差分方程的物理实现。下面是一个一阶 LTI 系统：

一阶 LTI 系统框图：输入 $x[n]$ 与反馈信号 $-a\,y[n-1]$ 在加法器中相加，得到输出 $y[n]=x[n]-a\,y[n-1]$。

对应的差分方程：

输出由当前输入和过去输出递推决定。只要给定初始条件，就能一步一步算出所有后续值。

二抽头 FIR 方框图可以直接按差分方程阅读：输入 $x[n]$ 分成两路，一路直接乘 $b_0$，另一路先经过一个单位延迟 $z^{-1}$ 得到 $x[n-1]$，再乘 $b_1$，最后两路相加得到输出。

上图对应一个最简单的二抽头 FIR：

如果差分方程含有过去输出项，例如 $y[n]=b_0x[n]+a_1y[n-1]$，方框图中就会出现从输出端经过 $z^{-1}$ 和系数 $a_1$ 回到加法节点的反馈支路。这正是递归型（IIR）结构与非递归型（FIR）结构的图形区别。

信号流图法把每个中间变量画成节点，把乘常数、单位延迟和直接传递画成有向支路。它比方框图更紧凑，适合推导直接型、级联型、并联型，以及后面的转置定理。

graph LR
  X(("x[n]")) -->|"b₀"| Y(("y[n]"))
  X -->|"z⁻¹"| N1(("x[n-1]"))
  N1 -->|"b₁"| Y
  N1 -->|"z⁻¹"| N2(("x[n-2]"))
  N2 -->|"b₂"| Y

这张信号流图对应三抽头 FIR：

节点表示变量，支路上的标注表示支路增益或延迟。这里从 $x[n]$ 到 $x[n-1]$、从 $x[n-1]$ 到 $x[n-2]$ 都必须经过一个单位延迟 $z^{-1}$；若一条支路不标传输系数，默认增益为 1。多个支路汇入同一节点时，节点值等于所有输入支路信号之和。

信号流图的等效变换

与电阻网络一样，信号流图也有一套等效变换规则，用于把复杂流图逐步化简。最常用的三条是：串联合并、并联合并和节点消去（自环等效）。

信号流图基本化简规则：串联支路增益相乘；并联支路增益相加；消去中间节点时，若存在自环 $bc$，则等效支路增益为 $\frac{ab}{1-bc}$。

这些规则是梅森公式的前身：对于简单流图，可以直接化简得到系统函数；对于复杂流图，用梅森公式更系统、更不容易漏掉回路组合。

系统框图（左）与信号流图（右）表示同一系统的两种画法：方框图用 D、三角形、圆圈分别表示延迟、乘法、加法；信号流图用节点表示变量，用有向支路标注增益或延迟。两者描述的是完全相同的输入输出关系。

同一个系统函数 $H(z)$ 可以用不同的结构实现。除了直接型，工程上最常用的两种是级联型（Cascade）和并联型（Parallel）：

• 级联型：把 $H(z)$ 的分子和分母因式分解，写成多个一阶或二阶节的乘积 $H(z)=H_1(z)H_2(z)\cdots H_K(z)$。前一节的输出直接作为后一节的输入。
• 并联型：把 $H(z)$ 做部分分式展开，写成多个一阶或二阶节的和 $H(z)=H_1(z)+H_2(z)+\cdots+H_K(z)$。各支路独立计算，最后在输出端相加。

级联型：$H_1(z)$ 与 $H_2(z)$ 串联，前一节输出作为后一节输入。整体系统函数为 $H(z)=H_1(z)H_2(z)$。

并联型：$H_3(z)$ 与 $H_4(z)$ 的两条支路独立运算，输出在加法器处相加。整体系统函数为 $H(z)=H_3(z)+H_4(z)$。

例题：级联与并联形式实现

题目：已知某离散 LTI 系统的差分方程为

$$y[n]-0.5y[n-1]+0.25y[n-2]-0.125y[n-3]=2x[n]-2x[n-2]$$

分别用级联和并联形式模拟该系统。

例题原题：要求对给定差分方程分别画出级联型与并联型结构。

解：先写出系统函数：

$$H(z)=\frac{2-2z^{-2}}{1-0.5z^{-1}+0.25z^{-2}-0.125z^{-3}}$$

分母因式分解：

$$1-0.5z^{-1}+0.25z^{-2}-0.125z^{-3}=(1-0.5z^{-1})(1+0.25z^{-2})$$

分子：$2-2z^{-2}=2(1-z^{-2})$。

级联形式：把分子分母按一阶和二阶节分组：

$$H(z)=\frac{2}{1-0.5z^{-1}}\cdot\frac{1-z^{-2}}{1+0.25z^{-2}}$$

即一个一阶节 $H_1(z)=\frac{2}{1-0.5z^{-1}}$ 与一个二阶节 $H_2(z)=\frac{1-z^{-2}}{1+0.25z^{-2}}$ 串联。

并联形式：做部分分式展开：

$$H(z)=\frac{A}{1-0.5z^{-1}}+\frac{B+Cz^{-1}}{1+0.25z^{-2}}$$

通分后比较分子系数，解得 $A=-3,\;B=5,\;C=2.5$。因此：

$$H(z)=\frac{-3}{1-0.5z^{-1}}+\frac{5+2.5z^{-1}}{1+0.25z^{-2}}$$

即一个一阶支路 $H_3(z)=\frac{-3}{1-0.5z^{-1}}$ 与一个二阶支路 $H_4(z)=\frac{5+2.5z^{-1}}{1+0.25z^{-2}}$ 在输出端相加。

注意：级联型有多种分组方式，只要保证各节乘积等于原 $H(z)$ 即可；并联型要求部分分式展开正确，且所有支路的 ROC 交集必须包含原系统的 ROC。

对于复杂流图，梅森公式（Mason's Formula）提供了一种不需要逐步化简就能写出系统函数的方法：

使用步骤：

1. 找出所有从输入节点到输出节点的前向通路，计算 $P_k$；
2. 找出所有回路，计算各回路增益 $L_i$；
3. 判断哪些回路互不接触，按公式写出 $\Delta$；
4. 对每个前向通路，去掉与其接触的全部回路，写出 $\Delta_k$；
5. 代入梅森公式得到 $H(z)$。

掌握系统框图与信号流图之后，数字滤波器的结构就不再是孤立图形：直接型从差分方程直接翻译，级联型从因式分解翻译，并联型从部分分式展开翻译。下一节 数字滤波器基础与结构 会在此基础上讨论 FIR 与 IIR 的各种实现结构以及它们的工程取舍。