第九章 旋量系对偶原理与分解定理
戴建生 · 高等教育出版社 2014
对偶原理：串联与并联机构在旋量空间中的对偶关系
学习目标
- 理解旋量系对偶原理（引理 9.1）
- 掌握并联机构与串联机构在旋量空间中的对偶关系
- 理解力旋量空间并集与运动旋量空间交集的对偶
- 理解约束旋量系分解定理
章节位置
这是全书最后一章，将旋量系理论应用到机器人学最核心的问题：串联机构与并联机构的对偶关系。
对偶原理使得分析一类机构时获得的知识可以迁移到对偶的另一类。
9.1
对偶原理
定义 9.1（对偶特性）：具有相同代数与几何结构，但物理与几何意义成对比关系的两个概念之间的对立统一关系。
引理 9.1（对偶原理）：一个系统的理论与推导经过适当的物理转换可应用到其对偶系统中，反之亦然。
三类基本对偶：射线坐标 ↔ 轴线坐标（代数对偶）；运动旋量 ↔ 力旋量（物理对偶）；串联机构 ↔ 并联机构（机构学对偶）。
9.1.2
并联机构：力旋量并集与运动旋量交集
抓持/并联系统中，$n$ 个约束力旋量构成抓持矩阵 $J$，外部力旋量 $W$：
$$J\mathbf{f} = W$$
外部力旋量是各接触力旋量的并集（式 9.3）：
$$W = W_1 \cup W_2 \cup \cdots \cup W_n$$
被抓持物体的运动旋量是各接触旋量上运动的交集（式 9.4）：
$$D = T_1 \cap T_2 \cap \cdots \cap T_n$$
9.1.3
串联与并联机构旋量空间的对偶
串联机构的末端运动旋量是各关节运动旋量的并集（式 9.7）：
$$T = T_1 \cup T_2 \cup \cdots \cup T_n = J\delta\mathbf{q}$$
这是并联机构力旋量并集的对偶。
串联机构的力旋量交集是各关节力旋量之交集（式 9.9）：
$$W = W_1 \cap W_2 \cap \cdots \cap W_n$$
核心对偶关系：
- 串联机构运动旋量并集 $T = \bigcup T_i$ ↔ 并联机构力旋量并集 $W = \bigcup W_i$
- 串联机构力旋量交集 $W = \bigcap W_i$ ↔ 并联机构运动旋量交集 $D = \bigcap T_i$
- 串联机构的弱点 ↔ 并联机构的优势
9.2
约束旋量系分解定理
约束旋量系的分解：将高阶旋量系分解为低阶旋量系的直和。
旋量系分解定理使得复杂并联机构的约束分析可以分解为若干简单子问题的组合。
复习速查
- 对偶原理：一个系统的理论可转换应用于其对偶系统
- 基本对偶：射线/轴线坐标；运动/力旋量；串联/并联机构
- 串联运动旋量并集 $T = \bigcup T_i$ ↔ 并联力旋量并集 $W = \bigcup W_i$
- 串联力旋量交集 $W = \bigcap W_i$ ↔ 并联运动旋量交集 $D = \bigcap T_i$
- 约束旋量系分解：高阶旋量系 → 低阶旋量系直和
参考来源
- 戴建生 (2014)《旋量代数与李群，李代数》第九章，P.235-P.349。教材：
media/screw-algebra/screw-algebra-lie-groups.pdf。