积分与累积
积分的直觉是“把很多小量加起来”。面积只是最常见的几何解释；在物理里，积分可以表示位移、功、质量、概率；在向量分析里，通量积分表示向量场穿过曲面的总量。
前置知识回顾
- 极限：定积分由黎曼和取极限得到。
- 导数与微分：不定积分是求导的逆运算。去哪里补：导数与微分。
- 函数图像：理解面积、奇偶性和区间可加性。
把区间 $[a,b]$ 分成许多小段，在每段取一点 $\xi_i$，局部贡献近似为 $f(\xi_i)\Delta x_i$。把所有小段加起来，再让分割无限细，就得到定积分：
Khan Academy 和 LibreTexts 都强调，定积分可以由黎曼和定义，而微积分基本定理让我们不用每次都真的取黎曼和极限。
例题 1：用几何意义算定积分
题目：计算 $\int_0^3 x\,dx$。
步骤：$y=x$ 在 $[0,3]$ 下方是底为 3、高为 3 的直角三角形。
答案：$9/2$。
若 $F'(x)=f(x)$，则 $F$ 是 $f$ 的一个原函数，所有原函数相差一个常数：
不要把不定积分理解成“没有上下限的面积”。它首先是反求导。
若 $F'(x)=f(x)$，则
LibreTexts 把它称为微积分的核心关系：定积分的累积可以通过原函数的端点差计算。
例题 2：用原函数算定积分
题目：计算 $\int_0^1(3x^2+2x)dx$。
步骤：原函数为 $F(x)=x^3+x^2$。
答案：2。
由
两边积分可得
选择 $u$ 时常用 LIATE：对数、反三角、代数、三角、指数。
例题 3：分部积分
题目：计算 $\int xe^x dx$。
步骤：令 $u=x$，$dv=e^xdx$，则 $du=dx$，$v=e^x$。
答案：$(x-1)e^x+C$。
若 $\mathbf F$ 是向量场，$S$ 是有向曲面，单位法向量为 $\mathbf n$，通量为
$\mathbf F\cdot\mathbf n$ 取的是向量场垂直穿过曲面的分量，再对整个曲面积分。
例题 4：常向量场穿过平面
题目：$\mathbf F=(0,0,2)$，$S$ 是 $xy$ 平面上面积为 $A$ 的区域，取上法向。求通量。
步骤：上法向 $\mathbf n=(0,0,1)$，所以 $\mathbf F\cdot\mathbf n=2$。
答案：$2A$。
复习速查
- 定积分：黎曼和极限，表示累积。
- 不定积分：求原函数。
- 牛顿-莱布尼茨：$\int_a^b f=F(b)-F(a)$。
- 分部积分：乘积求导反过来。
- 通量：法向分量在曲面上的积分。
参考来源
- 本地笔记：/Users/zhengxinyu/org/roam/note/高等数学.org，“积分”“分部积分”“通量”部分。
- LibreTexts · The Fundamental Theorem of Calculus：用于补充定积分与原函数的关系。
- Khan Academy · Integration and accumulation of change：用于补充黎曼和与累积直觉。