多元微积分
参考内容
https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus
多元函数
多元导数
雅可比行列式
雅可比行列式是多元函数微分学中的重要概念，用于描述多变量函数在局部变换下的“伸缩因子”。
定义： 设有一个从 \( \mathbb{R}^n \) 到 \( \mathbb{R}^n \) 的可微映射
$$\mathbf{F}(x_1, x_2, \dots, x_n) = (f_1, f_2, \dots, f_n),$$
其雅可比矩阵 \( J \) 是所有一阶偏导数构成的矩阵：
$$J = \begin{bmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n}
\end{bmatrix}.$$
雅可比行列式 \( \det(J) \) 是该矩阵的行列式。
几何意义：
- 表示在点 \( \mathbf{x} \) 附近，映射 \( \mathbf{F} \) 对无穷小体积元的缩放比例。
- 若 \( \det(J) > 0 \)，保持定向；若 \( \det(J) < 0 \)，反转定向。
应用：
- 多变量积分中的变量替换（如极坐标、球坐标）。
- 判断函数在局部是否可逆（若 \( \det(J) \neq 0 \)，则局部可逆）。
- 物理学和工程学中的坐标变换。
示例： 对于极坐标变换 \( x = r\cos\theta, y = r\sin\theta \)，雅可比行列式为：
$$\det(J) = r.$$
表明面积元 \( dx\,dy \) 变为 \( r\,dr\,d\theta \)。
变量替换
线性变量替换
一般情况变量替换
在不是线性变换的情况下，面积汇率会随着 x, y 不同而变换，但是固定一点以后，其周围可以进行线性近似。
对于一个极坐标而言：
变量替换公式
由此得出变量替换公式
变量替换公式（多变量积分）：
设 \( \mathbf{F}: U \subset \mathbb{R}^n \to V \subset \mathbb{R}^n \) 是光滑的双射，雅可比行列式 \( J_{\mathbf{F}}(\mathbf{u}) \neq 0 \)。则对 \( V \) 上的可积函数 \( g(\mathbf{x}) \) 有：
$$\int_V g(\mathbf{x}) \, d\mathbf{x} = \int_U g(\mathbf{F}(\mathbf{u})) \, |\det(J_{\mathbf{F}}(\mathbf{u}))| \, d\mathbf{u}$$
其中 \( J_{\mathbf{F}}(\mathbf{u}) \) 是变换 \( \mathbf{F} \) 在点 \( \mathbf{u} \) 的雅可比矩阵。
/关键点/：
- \( |\det(J)| \) 是局部面积/体积的缩放因子
- 绝对值保证体积非负
- 线性变换是特例：缩放因子为常数
/极坐标示例/：
$$\int_{\mathbb{R}^2} f(x,y) dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty f(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot r \, drd\theta$$