随机信号分析

第一章建立了通信系统的整体框架（信源→信道→信宿），引入了信息量、误码率等性能指标。但通信系统中传输的信号不可避免地受到噪声干扰，而噪声的本质是随机的——你无法预知下一个时刻噪声的精确取值，只能描述其统计规律。

本章回答的核心问题：如何用数学工具描述和分析随机信号？这是后续所有章节（信道分析、基带传输、调制解调、最佳接收）的数学基础。

为什么需要随机过程？

如果你测量一个电阻的热噪声电压，每次测量得到一条随时间变化的波形。重复实验，每次得到的波形都不同。你无法写出一条确定的函数 $v(t)$ 来描述它，但你可以描述所有可能波形的统计规律。这种"一族时间函数"就是随机过程。

定义

设随机实验 $E$ 的样本空间为 $S$，每个实验结果 $\xi \in S$ 对应一个时间函数 $X(\xi, t)$，则称 $\{X(\xi, t), t \in T\}$ 为随机过程，简记为 $X(t)$。

类比：想象拍电影。固定一部电影（固定 $\xi$），随着时间推进得到一帧帧画面（样本函数）；固定某一时刻（固定 $t_1$），所有电影在这一帧的画面构成一个随机变量。

分布函数与概率密度

既然固定时刻 $t_1$ 后 $X(t_1)$ 是随机变量，它就有概率分布：

要描述两个时刻之间的关联，需要二维分布：

以此类推，有 $n$ 维分布。维度越高，描述越完整，但计算也越复杂。实际工程中，通常只用一二阶数字特征（均值、相关函数）就够了。

数字特征

（1）均值（数学期望）

物理意义：随机过程在时刻 $t$ 的所有样本的"中心位置"。它本身是 $t$ 的确定函数，所有样本在它附近起伏。

（2）方差

物理意义：样本在时刻 $t$ 相对均值的偏离程度，即"起伏有多剧烈"。

（3）自相关函数

物理意义：衡量 $X(t)$ 在 $t_1$ 和 $t_2$ 两个时刻取值之间的线性关联程度。若 $R$ 很大，说明两个时刻的值"同步变化"的趋势强。

（4）协方差函数

当均值 $a(t) = 0$ 时，协方差函数 $=$ 自相关函数。通信中常假设均值为零，所以两者等价。

为什么需要"平稳"？

一般随机过程的均值 $a(t)$ 和自相关 $R(t_1, t_2)$ 都是时间的复杂函数，分析起来极其困难。如果随机过程的统计特性不随时间平移而改变，即"平稳"，那均值就退化为常数，自相关就只取决于时间差——大大简化分析。

严平稳 vs 广义平稳

严平稳（狭义平稳）：随机过程的 $n$ 维概率密度函数与时间起点无关：

这要求所有阶的统计特性都不随时间变化，条件非常苛刻。

广义平稳（宽平稳）：只需要满足两个条件：

1. 均值为常数：$E[X(t)] = a$（与 $t$ 无关）
2. 自相关函数只与时间间隔有关：$R(t_1, t_2) = R(t_2 - t_1) = R(\tau)$

各态历经性（遍历性）

问题：即使知道平稳过程，要算 $E[X(t)]$ 仍然需要"无数条样本函数"做统计平均，实际中不可能。

核心思想：如果随机过程有遍历性，那么时间平均 = 统计平均：

左端是时间平均（一条样本就够），右端是统计平均（需要所有样本）。这意味着：用一条足够长的样本就能推断整个随机过程的统计特性。

"两个骰子"类比（来自 [W05]）：有两个骰子，一个只能掷出 1-3，另一个只能掷出 4-6。等概率随机选一个来掷。统计均值为 $E = (2 + 5)/2 = 3.5$。但如果你选定了一个骰子（一条样本），你永远只能看到 1-3 或 4-6——遍历不到全部状态。所以这个平稳过程不具遍历性。遍历性要求任意一条样本都能"经历"所有可能状态。

自相关函数的性质（平稳过程）

对平稳过程，自相关函数 $R(\tau)$ 有以下重要性质：

频谱特性——功率谱密度与维纳-辛钦定理

随机信号无法直接做傅里叶变换（能量无限，不满足绝对可积），但我们关心的是功率的频域分布。

推导思路（三步走，来自 [W04] 的完整推导链）：

1. 截断：取 $X(t)$ 的一段 $x_T(t)$，在 $[-T, T]$ 内等于 $x(t)$，之外为零
2. 傅里叶变换：截断信号满足可积条件，可做 FT 得 $F_x(\omega, T)$
3. 取极限：功率谱密度定义为
   $$S_X(\omega) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} E[|F_x(\omega, T)|^2]$$

维纳-辛钦定理：平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换：

即 $S(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} R(\tau) e^{-j\omega\tau} d\tau$，$R(\tau) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} S(\omega) e^{j\omega\tau} d\omega$。

为什么高斯过程这么重要？

通信中的热噪声、散弹噪声等，根据中心极限定理，都近似服从高斯分布。高斯过程是最常用的噪声模型。

定义

若随机过程 $X(t)$ 的任意 $n$ 维分布都服从正态分布，则称为高斯随机过程。

四条重要性质

1. 广义平稳 $\Leftrightarrow$ 严平稳：高斯过程中两种平稳等价（因为高斯分布完全由均值和协方差确定）
2. 不相关 $\Leftrightarrow$ 独立：对高斯随机变量，不相关就意味着统计独立
3. 高斯过程之和仍为高斯：多个高斯噪声叠加还是高斯噪声
4. 通过线性系统后仍为高斯：这对分析噪声经过滤波器后的特性至关重要

一维概率密度

其中 $a$ 为均值，$\sigma^2$ 为方差。曲线关于 $x = a$ 对称，呈钟形。

误差函数

正态分布的累积分布函数 $\Phi(x)$ 没有闭合表达式，引入误差函数来简化表示：

关键性质：

• $\text{erf}(0) = 0$，$\text{erf}(\infty) = 1$（递增函数）
• $\text{erfc}(0) = 1$，$\text{erfc}(\infty) = 0$（递减函数）
• $\text{erfc}(-x) = 2 - \text{erfc}(x)$

什么是窄带？

若随机过程的功率谱集中在某个中心频率 $\omega_c$ 附近，且带宽 $\Delta\omega \ll \omega_c$，则称为窄带随机过程。通信中的接收信号经过带通滤波器后就是典型的窄带过程。

两种表示方式

窄带过程 $\xi(t)$ 可以写成：

方式一：包络 + 相位表示

其中 $a_\xi(t) \geq 0$ 是包络，$\varphi_\xi(t) \in [0, 2\pi)$ 是相位，它们都是随时间慢变化的（相对于 $\omega_c$）。

方式二：同相 + 正交分量表示

展开上式可得：

其中 $\xi_c(t) = a_\xi(t)\cos\varphi_\xi(t)$ 为同相分量，$\xi_s(t) = a_\xi(t)\sin\varphi_\xi(t)$ 为正交分量。

两条核心结论

结论一（同相分量与正交分量的统计特性）：

若 $\xi(t)$ 是均值为零、方差为 $\sigma_\xi^2$ 的窄带平稳高斯过程，则：

• $\xi_c(t)$ 和 $\xi_s(t)$ 各自也是平稳高斯过程
• 均值都为零：$E[\xi_c] = E[\xi_s] = 0$
• 方差相同：$\sigma_c^2 = \sigma_s^2 = \sigma_\xi^2$
• 同一时刻上 $\xi_c$ 与 $\xi_s$ 互不相关（也是统计独立的，因为高斯）

结论二（包络与相位的分布）：

包络 $a_\xi(t)$ 服从瑞利分布：

相位 $\varphi_\xi(t)$ 服从 $[0, 2\pi)$ 上的均匀分布：

包络与相位在同一时刻统计独立。

瑞利分布的直觉：如果把 $\xi_c$ 和 $\xi_s$ 看成二维平面上互相垂直的高斯随机变量，包络 $a = \sqrt{\xi_c^2 + \xi_s^2}$ 就是从原点到该点的距离。距离的分布在原点为零（概率为零），在某个值处达到峰值，然后拖尾——这就是瑞利分布的形状。

理想白噪声

定义：功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声：

其中 $n_0$ 为正常数（单位：W/Hz）。称"白"是因为类比白光——所有频率分量强度相同。

自相关函数（由维纳-辛钦定理）：

物理现实：理想白噪声功率无限大，现实中不存在。但实际噪声带宽远大于信号带宽时，可近似为白噪声。

带限白噪声

白噪声通过理想低通滤波器（截止频率 $f_0$）后变为带限白噪声：

自相关函数：

当 $\tau = k/(2f_0)$（$k \neq 0$ 的整数）时，$R(\tau) = 0$，即这些时刻上互不相关。

为什么研究这个？

通信接收端收到的信号 = 有用的正弦信号 + 信道中的窄带高斯噪声。分析这个混合信号的统计特性，直接关系到接收机能正确检测信号的概率（误码率）。

模型

设合成信号：

其中 $A$ 为信号振幅（常数），$\theta$ 在 $(0, 2\pi)$ 上均匀分布，$n(t)$ 是均值为零、方差为 $\sigma_n^2$ 的窄带平稳高斯过程。

包络服从莱斯分布

合成信号的包络 $z(t)$ 的概率密度函数为：

其中 $I_0(\cdot)$ 是第一类零阶修正贝塞尔函数。这个分布称为广义瑞利分布或莱斯分布。

两种极端情况：

直觉：想象在二维平面上，噪声把信号点"模糊"成一个云团。没有信号时（$A=0$），云团中心在原点，距离服从瑞利分布；有信号时，云团中心偏移到 $(A, 0)$，距离服从莱斯分布。信号越强，云团越集中，接收端越容易区分信号和噪声。

问题

随机信号 $X_i(t)$ 通过冲激响应为 $h(t)$ 的线性时不变系统，输出 $X_o(t)$ 的统计特性如何？

输入输出关系

三条核心结论：

（1）输出仍为平稳过程

若输入 $X_i(t)$ 是平稳的，则输出 $X_o(t)$ 也是平稳的，且：

• 输出均值：$E[X_o(t)] = E[X_i(t)] \cdot H(0)$，其中 $H(0) = \int h(\tau) d\tau$ 是系统的直流增益
• 输出自相关：$R_o(\tau) = h(\tau) * h(-\tau) * R_i(\tau)$

（2）功率谱密度的关系

即输出功率谱 = 输入功率谱 × 系统功率传输函数。

（3）高斯过程经线性系统仍为高斯

这与 2.3 节中高斯过程的第四条性质呼应：高斯性在通过线性系统后保持不变。这意味着白噪声通过滤波器后，虽然功率谱变了，但分布类型仍是高斯的。