第三章 旋量代数

• 掌握旋量的严格数学定义（定义 3.1），理解主部/副部的物理含义
• 理解旋距（pitch）作为不变量的几何意义
• 掌握旋量坐标变换法则（原点平移后副部变化规律）
• 掌握互易积的定义（定义 3.4）和定理 3.1（不变性证明）
• 理解速度旋量 vs 力旋量的区别

第二章建立了直线几何（Plücker 坐标），第三章在此基础上给直线加上一个旋距参数，得到旋量。这是最关键的一步——旋量是线矢量的推广，线矢量是旋量在旋距为零时的特例。

本章之后：第四章将旋量放到指数映射中，得到有限位移旋量；第五章引入 $6 \times 6$ 伴随矩阵；第六章讨论互易性。

线矢量只能描述两种情况：(1) 纯旋转（绕某轴无限快旋转但无平移），(2) 纯力（作用线确定的力）。但刚体实际运动往往是螺旋式的——绕轴旋转的同时沿轴平移。

答案：在六维线矢量上增加一个旋距参数。旋距 $h$ 编码了"旋转与平移的比例关系"——当 $h \neq 0$ 时，物体绕轴旋转 $\theta$ 的同时会沿轴平移 $h\theta$。

定义 3.1（旋量）：旋量是一个几何体，可用一对三维向量构成的六维向量表示：

其中 $\mathbf{s}$ 为主部（轴线方向），$\mathbf{s}_0$ 为副部（对偶部，含位置和旋距信息）。

定义 3.2（主部与副部）：旋量的轴线向量 $\mathbf{s}$ 为主部（原部），确定轴线位置与旋距的向量 $\mathbf{s}_0$ 为副部（对偶部）。

定义 3.3（旋距）：旋量副部在主部上的投影与主部模长的比值：

一个旋量具有 5 个独立参数（4 个来自线矢量 + 1 个旋距），构成五维射影空间中的元素。

当坐标原点由 $O$ 变换为 $P$ 时（$\mathbf{r}_{po}$ 为从 $P$ 到 $O$ 的位置向量），旋量副部按以下法则变换：

将两边与主部 $\mathbf{s}$ 作点积，得 $\mathbf{s} \cdot \mathbf{s}_p = \mathbf{s} \cdot \mathbf{s}_0$。因此：

Clifford（1873）引入对偶元 $\epsilon$，满足 $\epsilon^2 = 0$。对偶数定义为 $\hat{a} = a + \epsilon b$，乘法规则：$(a + \epsilon b)(c + \epsilon d) = ac + \epsilon(ad + bc)$。

对偶向量 $\hat{\mathbf{v}} = \mathbf{v} + \epsilon \mathbf{v}^*$：实部 $\mathbf{v}$ 是方向（主部），虚部 $\mathbf{v}^*$ 是位置信息（副部）。

两直线对应的对偶向量的乘积完全刻画了它们之间的所有几何关系：夹角、公垂线、距离。

定义 3.4（互易积）：两旋量 $\mathcal{S}_1 = (\mathbf{s}_1; \mathbf{s}_{10})$ 和 $\mathcal{S}_2 = (\mathbf{s}_2; \mathbf{s}_{20})$ 的互易积（标量积）为：

这与线矢量的 Klein 型（第二章式 2.9）完全对应，是旋量的内积。

互易积的零值（$\mathcal{S}_1 \circ \mathcal{S}_2 = 0$）表示两旋量互易——力旋量对速度旋量不做功。

定理 3.1（互易积不变性）：互易积独立于坐标系，是不变量。

证明：设原点平移 $\mathbf{r}_{po}$ 后副部变为 $\mathbf{s}_{1p} = \mathbf{s}_{10} + \mathbf{r}_{po} \times \mathbf{s}_1$ 和 $\mathbf{s}_{2p} = \mathbf{s}_{20} + \mathbf{r}_{po} \times \mathbf{s}_2$。代入互易积公式：

变换后结果不变，定理得证。$\mathbf{s}_1 \cdot (\mathbf{r}_{po} \times \mathbf{s}_2) = \mathbf{s}_2 \cdot (\mathbf{r}_{po} \times \mathbf{s}_1)$ 的证明利用了三重积的偶排列性质。

互易积为零时两旋量互易。互易积也被 Ball 称为"虚系数"。

速度旋量（twist）：附有速度幅值的旋量，用以描述刚体关于旋量轴线的运动。是李代数 $se(3)$ 的元素。

力旋量（wrench）：附有力幅值的旋量，是对偶李代数 $se^*(3)$ 的元素。

旋量系是由若干旋量张成的线性子空间。设 $n$ 个旋量张成 $r$ 维旋量系（$r \leq n$），其正交补（互易系）为 $6-r$ 维。

这与线性代数中矩阵秩与零空间的关系完全对应——旋量代数是线性代数的几何推广。