导数与微分｜高等数学笔记

2026/05/22 16:01:44

Part 0 · 学习目标

导数不是公式表，而是局部线性化

导数描述函数在一点附近的瞬时变化率。微分则把这种变化率写成线性近似：当 $$x$$ 有很小变化 $$dx$$ 时，函数变化近似为 $$dy=f'(x)dx$$ 。本节目标是把导数定义、几何意义、运算法则和微分统一起来。

Part 1 · 导数定义

从平均变化率到瞬时变化率

平均变化率是

\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

让 $\Delta x\to0$ ，若极限存在，就得到瞬时变化率：

<p>f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}</p>

Khan Academy 也把导数解释为某一点的瞬时变化率和切线斜率。这个解释比背公式更重要，因为所有求导规则都在服务“局部变化如何传播”。

题目：用定义求 $$f(x)=x^2$$ 在 $$x_0$$ 的导数。

步骤：

f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{(x_0+h)^2-x_0^2}{h} =\lim_{h\to0}\frac{2x_0h+h^2}{h}=2x_0

答案： $$f'(x)=2x$$ 。

易错点：约掉

$h$

之前不能直接令

$h=0$

，否则差商没有意义。

Part 2 · 几何意义

切线是函数在局部最好的直线近似

若 $$f'(x_0)$$ 存在，曲线 $$y=f(x)$$ 在点 $$(x_0,f(x_0))$$ 的切线方程为

$$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$$

这条切线不是随便画的线，而是函数在 $$x_0$$ 附近的一阶近似。

题目：求 $y=\ln x$ 在 $$x=1$$ 处的切线。

步骤： $$f(1)=0$$ ， $$f'(x)=1/x$$ ，所以 $$f'(1)=1$$ 。

$$<p>y-0=1(x-1)</p> <p>$$

答案： $$y=x-1$$ 。

Part 3 · 求导规则

规则描述变化率如何组合

题目：求 $f(x)=\sin(x^2)$ 的导数。

步骤：外层是 $\sin u$ ，内层是 $$u=x^2$$ ：

f'(x)=\cos(x^2)\cdot2x=2x\cos(x^2)

答案： $2x\cos(x^2)$ 。

Part 4 · 微分

用线性部分近似真实增量

真实增量为

\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)

当 $\Delta x$ 很小时，主要线性部分是

$$<p>dy=f'(x)dx</p>$$

因此微分可以用于近似计算和误差估计。

题目：估算 $\sqrt{4.04}$ 。

步骤：令 $f(x)=\sqrt{x}$ ，在 $$x=4$$ 附近近似。 $$f(4)=2$$ ， $f'(x)=1/(2\sqrt{x})$ ，所以 $$f'(4)=1/4$$ ， $$dx=0.04$$ 。

dy\approx \frac14\cdot0.04=0.01

答案： $\sqrt{4.04}\approx2.01$ 。

本地笔记：/Users/zhengxinyu/org/roam/note/高等数学.org，“导数”“微分”部分。
Khan Academy · Differentiation: definition and basic derivative rules：用于补充瞬时变化率和切线斜率直觉。