第七章 旋量系关联关系理论
戴建生 · 高等教育出版社 2014
旋量系关联关系定理：空交集/一维交集/多维交集
学习目标
- 掌握定理 7.1（旋量与旋量系关联关系定理）的三个命题
- 理解引理 7.1-7.3 的意义
- 掌握定理 7.2（旋量系关联关系定理）：空交集、一维交集、多维交集三种情况
- 理解旋量系交集阶数与并集阶数的关系
章节位置
第六章讨论两旋量的互易性，本章将其推广为旋量系之间的关系——旋量系与它的互易旋量系之间的交集由什么条件决定？
这是全书代数理论的核心定理之一。
7.1
引理 7.1-7.3 与定义 7.1
引理 7.1：给定 $n$ 阶旋量系 $S_A$，所有与该旋量系互易的旋量组成 $6-n$ 阶旋量系 $S_B$。反之亦然。
引理 7.2：旋量成为旋量系与其互易旋量系交集的必要条件是具有零旋距或无穷大旋距（Klein 二次曲面上的点）。
引理 7.3：满足 Klein 型二次型为零并与旋量系其他旋量互易的旋量，属于该旋量系与其互易旋量系的交集。
定义 7.1（协互易旋量系）：由 $k$ 个线性无关且相互互易的旋量组成的旋量系。
7.1.2
定理 7.1：旋量与旋量系关联关系定理
设旋量系 $S = \{S_1, S_2, \cdots, S_n\}$，$J_S = [S_1, S_2, \cdots, S_n]$；其互易旋量系 $S_r = \{S_r^1, \cdots, S_r^{6-n}\}$，$J_{S_r} = [S_r^1, \cdots, S_r^{6-n}]$。
则以下三个命题始终成立：
命题 (1)：与旋量系 $S$ 互易的旋量与互易旋量系 $S_r$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ $S^T \Delta J_S = 0^T$，即 $S \in S_r$。
命题 (2)：与互易旋量系 $S_r$ 互易的旋量与旋量系 $S$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ $S^T \Delta J_{S_r} = 0^T$，即 $S \in S$。
命题 (3)：旋量属于两旋量系交集的充分必要条件是该旋量与两旋量系均互易 $\Leftrightarrow$ $S^T \Delta J_S = 0^T$ 且 $S^T \Delta J_{S_r} = 0^T$，即 $S \in S \cap S_r$。
其中 $\Delta$ 为对偶算子（交换主部和副部）。
7.1.3
定理 7.2：旋量系关联关系定理（交集分类）
对于 $n$ 阶旋量系 $S$ 与其 $6-n$ 阶互易旋量系 $S_r$，有以下三种情况：
| 情况 | 条件 | 交集 | 并集阶数 |
|---|---|---|---|
| 空交集 | 旋量系基中无旋量与系中所有旋量互易 | $\emptyset$ | 6 |
| 一维交集 | 基中有一个旋量与系中所有旋量互易 | $\{S\}$（自互易旋量） | 5 |
| 多维交集 | 基中有 $f$ 个旋量与系中所有旋量互易 | $f$ 阶协互易旋量系 | $6-f$ |
核心结论：旋量系交集的空/一维/多维由旋量系基中自互易旋量的数量决定。
复习速查
- 定理 7.1 命题 (1)：$S \in S_r \Leftrightarrow S^T \Delta J_S = 0^T$
- 定理 7.1 命题 (2)：$S \in S \Leftrightarrow S^T \Delta J_{S_r} = 0^T$
- 定理 7.1 命题 (3)：$S \in S \cap S_r \Leftrightarrow S^T \Delta J_S = 0^T$ 且 $S^T \Delta J_{S_r} = 0^T$
- 定理 7.2：空交集 / 一维交集（自互易旋量）/ 多维交集（协互易旋量系）
- 引理 7.1：$n$ 阶旋量系的互易系为 $6-n$ 阶
参考来源
- 戴建生 (2014)《旋量代数与李群、李代数》第七章，P.183-P.201。教材：
media/screw-algebra/screw-algebra-lie-groups.pdf。