行列式——线性代数第二章

2026/05/23 20:49:59

Part 0 · 学习目标

行列式：线性方程组解的存在性由它判定

行列式是线性代数第一个核心工具。它的本质是一个标量——给定 $n \times n$ 方阵 $$A$$ ，算出 $\det(A)$ 。这个数告诉你： $$A$$ 可不可逆？ $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 有多少解？线性变换是"放大"还是"压缩"了空间？

本章覆盖排列与逆序、行列式定义、八大性质、余子式与代数余子式、拉普拉斯展开、伴随矩阵与逆公式、克拉默法则。

前置知识回顾

矩阵的基本概念：方阵、行、列、下标 $a_{ij}$ ，来自
PDF矩阵概念p.1
pdf/线性代数/1.1.pdf · p.1
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；行列式章节参考
PDF行列式定义p.1
pdf/线性代数/2.1.pdf · p.1
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。
数域：默认在实数域 $\mathbb{R}$ 上讨论。
消元法直觉：解二元方程组时，为何"分母"值得关注？

Part 1 · 背景问题

为什么需要行列式？

看一个二元一次方程组：

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{cases}

用消元法（或代入法）解出来，分子是 $b_1a_{22} - a_{12}b_2$ ，分母是 $a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$ 。这个"分母"只由系数矩阵决定，与右端向量 $$b$$ 无关。

二阶行列式的定义

\det\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}

对角线法则：主对角线乘积减去副对角线乘积。

关键发现：若分母 $\det(A) = 0$ ，方程组无解或无穷多解；若 $\det(A) \neq 0$ ，有唯一解。行列式直接决定了线性方程组解的个数与形式——这是它的根本意义。

几何意义：在 $\mathbb{R}^n$ 中， $|\det(A)|$ 是矩阵 $$A$$ 所代表的线性变换对 $$n$$ 维超立方体体积的拉伸因子。

$\det(A) > 0$ ：保持定向
$\det(A) < 0$ ：反转定向
$\det(A) = 0$ ：将空间压缩到低维， $$A$$ 不可逆

PDF二阶与三阶行列式p.1

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Part 2 · 概念定义

n 阶行列式的完全定义

排列与逆序数

由 $1,2,\dots,n$ 组成的一个有序数组称为一个 n 级排列。若较大数排在较小数前面，这一对数构成一个逆序。排列中逆序的总数称为 逆序数，记作 $\tau(j_1j_2\cdots j_n)$ 。

例： $\tau(312) = 2$ （3 在 1、2 前 $\to$ 2 个逆序；1、2 顺序 $\to$ 0 个逆序）。偶排列 $\tau =$ 偶数，符号 $$+1$$ ；奇排列 $\tau =$ 奇数，符号 $$-1$$ 。

n 阶行列式（Leibniz 公式）

给定 $n \times n$ 矩阵 $A = (a_{ij})$ ，

\det(A) = \sum_{j_1j_2\cdots j_n} (-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}\, a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}

求和遍历 $\{1,2,\dots,n\}$ 的全部 $$n!$$ 种排列。每一项取不同行、不同列的元素相乘，符号由排列的逆序数决定。

从二阶到三阶： $$3! = 6$$ 项；从四阶开始： $$4! = 24$$ 项，直接展开已经无意义。行列式的价值不在硬算，而在于性质化简——利用性质把矩阵化为上三角，主对角线相乘即可。

特殊行列式速查表

类型	形式	结果
对角行列式	仅主对角线有非零元 $d_1,\dots,d_n$	$\prod_{i=1}^n d_i$
上/下三角行列式	主对角线以下/以上元素全为零	主对角线元素之积
数量矩阵 $$kI_n$$	主对角线全为 $$k$$ ，其余为零	$$k^n$$
范德蒙德行列式	第 $$i$$ 行 $(1, a_i, a_i^2, \dots, a_i^{n-1})$	$\displaystyle \prod_{1\le j<i\le n}(a_i - a_j)$

Part 3 · 性质

八大基本性质——化上三角法的依据

利用性质化简是计算高阶行列式的核心手段。

#	性质	表达式	说明
1	转置不变	$\det(A^T) = \det(A)$	行与列等价，所有性质对行、列均适用
2	两行互换，变号	$\det \to -\det$	交换定向，几何上改变体积符号
3	某行全零，则为零	$\det = 0$	零行表示空间被压缩到低维
4	行公因子提出	$r_i \times k \Rightarrow k\det$	若某行所有元素均有公因子 $$k$$ ，可提到行列式外；一行全为 $$k$$ 的倍数时， $\det = k \times$ 去倍数后的行列式
5	加法拆分	$\det(A_1 + A_2)$ 情况	若第 $$i$$ 行是两项之和，则行列式可拆为两个行列式之和（其余行不变）
6	倍加不变	$r_i + k\cdot r_j \Rightarrow \det$ 不变	这是高斯消元法保持行列式不变的原理
7	两行相同，值为零	$\det = 0$	由性质 2 推论：交换相同两行， $\det = -\det \Rightarrow \det = 0$
8	某行是另一行的倍数，则为零	$\det = 0$	由性质 4（提倍数）和性质 7（两行相同）推论

化上三角法：先用倍加（性质 6）把矩阵化为上三角，再用性质 4 提出公因子，最后主对角线相乘。这是计算

$n$

阶行列式的标准算法，时间复杂度

$O(n^3)$

，与高斯消元法相同。

利用性质 6（倍加不变）和性质 4（提因子），

PDF行列式的性质与计算p.1

pdf/线性代数/2.2.pdf · p.1

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始终不改变行列式的值——这正是数值分析中 LU 分解保持

\det

不变的理论依据。

Part 4 · 余子式与展开定理

按行（列）展开——降阶的核心工具

当某行（列）有较多零时，按该行（列）展开可以降低阶数。

余子式与代数余子式

余子式 $M_{ij}$ ：划去 $a_{ij}$ 所在第 $$i$$ 行第 $$j$$ 列后， $(n-1) \times (n-1)$ 子矩阵的行列式。

代数余子式 $C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$ 。

符号棋盘： $(+, -, +, -, \dots)$ ，由 $$(i+j)$$ 的奇偶性决定。

按行（列）展开定理

按第 $$i$$ 行展开： $\displaystyle\det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}C_{ij}$

按第 $$j$$ 列展开： $\displaystyle\det(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}C_{ij}$

例题 1：按第一行展开三阶行列式

题目：计算 $\det\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0\end{pmatrix}$ 。

目标：掌握按行展开，理解代数余子式的符号规则。

按第一行展开： $\det = 1\cdot C_{11} + 2\cdot C_{12} + 3\cdot C_{13}$ 。
计算 $C_{11}$ ： $C_{11} = (-1)^{1+1}M_{11} = \det\begin{pmatrix}5 & 6 \\ 8 & 0\end{pmatrix} = 5\cdot0 - 6\cdot8 = -48$ 。
计算 $C_{12}$ ： $C_{12} = (-1)^{1+2}M_{12} = -\det\begin{pmatrix}4 & 6 \\ 7 & 0\end{pmatrix} = -(4\cdot0 - 6\cdot7) = 42$ 。
计算 $C_{13}$ ： $C_{13} = (-1)^{1+3}M_{13} = \det\begin{pmatrix}4 & 5 \\ 7 & 8\end{pmatrix} = 4\cdot8 - 5\cdot7 = -3$ 。
合并： $\det = 1(-48) + 2(42) + 3(-3) = -48 + 84 - 9 = 27$ 。

答案：27

易错点：

C_{12}

的符号是负的。初学者常只算

M_{ij}

而忘记乘以

(-1)^{i+j}

。另一个常见错误是在合并时把

a_{ij}

和

C_{ij}

搞混——

a_{ij}

是原矩阵的元素，

C_{ij}

是代数余子式，两者不要混淆。

拉普拉斯展开（k 阶子式展开）

取定 $$k$$ 行（ $1 \le k \le n-1$ ），由这 $$k$$ 行与对应的 $$k$$ 列组成的所有 $$k$$ 阶子式，各自乘以对应的代数余子式，求和等于行列式的值。当选中的行（列）包含较多零时，拉普拉斯展开能大幅减少计算量。

实战技巧

先用性质 6（倍加）把某行（列）制造出多个零，再按该行（列）展开——这叫"化简后再展开"，是降阶计算的标准流程。

Part 4 · 子式、主子式与顺序主子式

从行列式中抽取局部信息——子式体系的完整结构

第二章已经学过余子式和代数余子式，它们是按一行（列）展开的降阶工具。本节把子式体系扩展到任意阶数、任意选取的完整框架——这是理解顺序主子式的必经之路。

子式（Minor）

从矩阵 $$A$$ 中任选 $$k$$ 行和 $$k$$ 列（ $k \le \min(m,n)$ ），将这些行列交叉处的元素构成一个 $k \times k$ 子矩阵，其行列式称为 $$A$$ 的一个 $$k$$ 阶子式。

行和列的选取完全独立——第 1、3、5 行配第 2、4、6 列也可以。数量很多（ $\binom{m}{k} \cdot \binom{n}{k}$ 个），不唯一。

主子式（Principal Minor）

行号和列号必须取同一集合的子式。选第 $i_1, i_2, \dots, i_k$ 行和第 $i_1, i_2, \dots, i_k$ 列（下标相同），构成子矩阵的行列式。

举例： $$A$$ 是 $6 \times 6$ 矩阵，取第 1、3、5 行和第 1、3、5 列构成的 $3 \times 3$ 子矩阵的行列式，就是 $$A$$ 的一个 3 阶主子式。主子式的主对角线元素来自原矩阵的主对角线，顺序不变。

顺序主子式（Leading Principal Minor）

主子式的特例——行号和列号必须从第 1 个开始、连续取：

1 阶：取第 1 行、第 1 列 $\Rightarrow \det(a_{11})$
2 阶：取第 1、2 行，第 1、2 列 $\Rightarrow \det\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}$
$$k$$ 阶：取前 $$k$$ 行、前 $$k$$ 列 $\Rightarrow \det A_k$ （记为 $\Delta_k$ ）

对 $$n$$ 阶矩阵，顺序主子式恰好有 $$n$$ 个（不跳号、不重复），全部由左上角的主对角块依次扩展而成。

三者关系一览

k\text{ 阶顺序主子式} \subsetneq k\text{ 阶主子式} \subsetneq k\text{ 阶子式}

顺序主子式一定是主子式；主子式不一定是顺序主子式（可以跳号）
主子式一定是子式；子式不一定是主子式（行号列号不必相同）
余子式是划去一行一列后的 $$n-1$$ 阶子式（不是主子式）

顺序主子式的显式形式

对 $$n$$ 阶矩阵 $A = (a_{ij})$ ， $$k$$ 阶顺序主子式：

\Delta_k = \det\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk}\end{pmatrix}

特别地： $\Delta_1 = a_{11}$ ， $\ \Delta_n = \det(A)$ （矩阵本身的行列式）。

例题：以具体矩阵演示三者区别

题目：设 $A = \begin{pmatrix}2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 5 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4\end{pmatrix}$ 。

2 阶子式（任意选）：取第 2、4 行，第 1、3 列 $\Rightarrow \det\begin{pmatrix}3 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = 3$ 。
2 阶主子式（行号 = 列号）：取第 2、4 行，第 2、4 列 $\Rightarrow \det\begin{pmatrix}5 & 1 \\ 0 & 4\end{pmatrix} = 20$ 。
2 阶顺序主子式（前 2 行、前 2 列） $\Rightarrow \det\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 3 & 5\end{pmatrix} = 7$ 。
3 阶顺序主子式（前 3 行、前 3 列） $\Rightarrow \det\begin{pmatrix}2 & 1 & 0 \\ 3 & 5 & 2 \\ 0 & 1 & 3\end{pmatrix} = 17$ 。

为什么在第二章讲？

顺序主子式在第二章的拉普拉斯展开中已有伏笔——取定 $$k$$ 行后，对应的 $$k$$ 阶子式展开本质就是主子式概念的特例。正式引入子式体系，能够：

为第六章顺序主子式法判断正定性（Sylvester 判别定理）提供概念基础
为 LU 分解的唯一性判别（要求 $\Delta_k \neq 0$ ）埋下伏笔
统一理解余子式（ $$n-1$$ 阶子式）、主子式、顺序主子式的层级关系

Part 6 · 伴随矩阵与逆矩阵公式

代数余子式的转置——伴随矩阵

代数余子式最重要的应用：伴随矩阵给出求逆的解析公式，这是

PDF克拉默法则p.1

pdf/线性代数/2.4.pdf · p.1

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的理论基础。

伴随矩阵

\operatorname{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix} C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\ C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn} \end{pmatrix}

注意：第 $$(i,j)$$ 位置的元素是 $C_{ji}$ ——是代数余子式的转置。这是初学者最容易记错的地方。

核心恒等式

A \cdot \operatorname{adj}(A) = \operatorname{adj}(A) \cdot A = \det(A) \cdot I

逆矩阵的伴随矩阵公式

若 $\det(A) \neq 0$ （即 $$A$$ 可逆），则

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)

例题 2：二阶矩阵的逆——速记公式

题目：设 $A = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$ ，求 $A^{-1}$ （ $ad-bc \neq 0$ ）。

目标：记住二阶逆矩阵的速记公式，理解伴随矩阵的转置结构。

计算行列式： $\det(A) = ad - bc$ 。
写出代数余子式矩阵： $C_{11} = d,\ C_{12} = -c,\ C_{21} = -b,\ C_{22} = a$ 。
转置得伴随矩阵： $\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ 。
除以行列式： $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ 。

答案： $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}$

易错点：主对角线交换是

$d$

和

$a$

（不是

a_{11}

和

a_{22}

自身）；副对角线变号是

$-b$

和

$-c$

。记作"主对调、副变号、除以

$ad-bc$

"。

由核心恒等式可得：当 $\det(A) \neq 0$ 时， $A^{-1}$ 存在；当 $\det(A) = 0$ 时， $$A$$ 不可逆， $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 不能用逆矩阵法求解，必须用高斯消元。

行列式与可逆性的等价关系：

\det(A) \neq 0 \iff A

可逆

\iff r(A) = n

（满秩）

\iff A\mathbf{x} = \mathbf{b}

有唯一解（方阵情形）。

例题： $$A^* = A^T$$ 的推论——正交性

题目：设 $A = (a_{ij})_{3\times 3}$ 满足 $$A^* = A^T$$ ，其中 $$A^*$$ 是伴随矩阵。若 $a_{11}, a_{12}, a_{13}$ 是三个相等的正数，求 $a_{11}$ 。

分析：条件 $$A^* = A^T$$ 将伴随矩阵与转置直接挂钩，利用核心恒等式 $$AA^* = |A|E$$ 可推出正交性。

解：

由 $$A^* = A^T$$ 代入 $$AA^* = |A|E$$ ： $$AA^T = |A|E$$
两边取行列式： $$|AA^T| = ||A|E|$$ ，即 $$|A|^2 = |A|^3$$ ，所以 $$|A| = 1$$ （ $|A| \neq 0$ ，因为第一行元素为正数）
代回得 $$AA^T = E$$ ，即 $$A$$ 是正交矩阵
正交矩阵的每一行是单位向量： $a_{11}^2 + a_{12}^2 + a_{13}^2 = 1$
由 $a_{11} = a_{12} = a_{13}$ ： $3a_{11}^2 = 1 \Rightarrow a_{11} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

答案： $a_{11} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ，选 A。

思维链：

$A^* = A^T$

\xrightarrow{AA^*=|A|E}

$AA^T = |A|E$

\xrightarrow{\text{取行列式}}

$|A|=1$

\xrightarrow{\text{代回}}

$AA^T=E$

（正交矩阵）

\xrightarrow{\text{行归一}}

a_{11}

。关键一步是取行列式把未知的

$|A|$

定下来。

例题：伴随矩阵与逆矩阵的混合运算

题目：设 $$A$$ 为 3 阶矩阵， $$|A| = 2$$ ，求 $\left|\left(\frac{1}{3}A\right)^{-1} - \frac{1}{2}A^*\right|$ 。

分析：核心是将 $$A^*$$ 和 $(kA)^{-1}$ 都用 $A^{-1}$ 表示，统一变量后再取行列式。

解：

化简逆矩阵： $\left(\frac{1}{3}A\right)^{-1} = 3A^{-1}$
化简伴随矩阵： $A^* = |A|A^{-1} = 2A^{-1}$
代入表达式： $3A^{-1} - \frac{1}{2} \cdot 2A^{-1} = 3A^{-1} - A^{-1} = 2A^{-1}$
取行列式（ $$n = 3$$ ，标量要 $$n$$ 次方）： $|2A^{-1}| = 2^3 \cdot |A^{-1}| = 8 \cdot \frac{1}{|A|} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$

答案： $$4$$ ，选 C。

易错点：取行列式时

$|kA| = k^n|A|$

（

$k$

要取

$n$

次方，不是一次方）。常见错误是写成

2 \cdot |A^{-1}| = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1

（漏掉了

$n=3$

的幂次）而误选 A。

Part 7 · 克拉默法则

线性方程组的显式解——理论与工程的鸿沟

克拉默法则给出了 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ （ $$n$$ 个方程、 $$n$$ 个未知数， $\det(A) \neq 0$ ）的显式解。

克拉默法则

设 $D = \det(A) \neq 0$ ，则方程组 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 有唯一解：

x_j = \frac{D_j}{D},\quad j = 1,2,\dots,n

其中 $$D_j$$ 是将系数矩阵 $$A$$ 的第 $$j$$ 列替换为常数向量 $\mathbf{b}$ 后所得矩阵的行列式。

例题 3：二元方程组的克拉默法则

题目：解 $\begin{cases} 2x_1 + x_2 = 1 \\ x_1 + 3x_2 = -2 \end{cases}$ 。

目标：用克拉默法则求唯一解，感受替换列的操作。

系数行列式： $D = \det\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 3\end{pmatrix} = 2\cdot3 - 1\cdot1 = 5 \neq 0$ （有唯一解）。
计算 $$D_1$$ （替换第 1 列）： $D_1 = \det\begin{pmatrix}1 & 1 \\ -2 & 3\end{pmatrix} = 1\cdot3 - 1\cdot(-2) = 5$ 。
计算 $$D_2$$ （替换第 2 列）： $D_2 = \det\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & -2\end{pmatrix} = 2\cdot(-2) - 1\cdot1 = -5$ 。
求 $$x_j$$ ： $x_1 = D_1/D = 5/5 = 1,\quad x_2 = D_2/D = -5/5 = -1$ 。

答案： $$(x_1, x_2) = (1, -1)$$ 。验证： $2\cdot1 + (-1) = 1$ ✓， $1 + 3\cdot(-1) = -2$ ✓。

易错点：

$D_j$

是替换第

$j$

列，不是第

$j$

行。当

$D = 0$

时克拉默法则不适用——需用高斯消元判断是无解还是无穷多解。

克拉默法则的局限性

理论上给出了显式解，但计算 $$n+1$$ 个 $$n$$ 阶行列式的时间复杂度是 $$O(n!)$$ ，远高于高斯消元法的 $$O(n^3)$$ 。克拉默法则主要用于：理论推导（证明行列式与解的关系）和低阶（ $$n=2,3$$ ）的显式计算。工程实践中，解线性方程组一律用高斯消元法或 LU 分解。

Part 8 · 与后续章节的关系

行列式在课程中的连接图

→ 逆矩阵（1.3 节）

\det(A) \neq 0

是可逆的充要条件

伴随矩阵公式

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)

直接依赖行列式。

PDF逆矩阵与克拉默法则p.1

pdf/线性代数/2.4.pdf · p.1

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→ 矩阵的秩（1.4 节）

满秩

\iff \det(A) \neq 0

$n$

阶矩阵满秩

\iff r(A) = n \iff \det(A) \neq 0

。行列式子式是判断秩的重要工具。

→ 线性方程组（第四章）

克拉默法则给出唯一解

$D = 0$

时方程组无解或无穷多解，需用高斯消元判断。

PDF高斯消元法p.3

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→ 特征值（第五章）

特征多项式

\det(A - \lambda I) = 0

特征值之积等于

\det(A)

，特征值之和等于

\operatorname{tr}(A)

。这两个关系在数值分析中用于判断矩阵是否奇异。

复习速查

概念	定义 / 公式	关键点
n 级排列	$1,2,\dots,n$ 的有序排列	逆序数 $\tau$ 决定符号：偶 $\to +$ ，奇 $\to -$
n 阶行列式	$\sum (-1)^{\tau} a_{1j_1}\cdots a_{nj_n}$	$$n!$$ 项之和，Leibniz 公式
余子式 $M_{ij}$	划去第 $$i$$ 行第 $$j$$ 列后的 $$(n-1)$$ 阶行列式	无符号
代数余子式 $C_{ij}$	$(-1)^{i+j}M_{ij}$	$(+, -, +, -, \dots)$ 交替
按行展开	$\det(A) = \sum_j a_{ij}C_{ij}$	选零多的行（列）展开
伴随矩阵	$\operatorname{adj}(A) = C^T$	代数余子式转置，不是直接转置
可逆条件	$\det(A) \neq 0$	等价于 $$r(A) = n$$
克拉默法则	$$x_j = D_j/D$$ ， $D = \det(A)$	仅限 $D \neq 0$ 时使用
乘法公式	$\det(AB) = \det(A)\det(B)$	可推出 $\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$

参考来源

电子科技大学线性代数课程组（邓良剑）：线性代数枢纽页 · 讲义 PDF（1.1 矩阵概念、1.2 高斯消元法、1.3 逆矩阵）
CanisAlpha 考研数学笔记：https://publish.obsidian.md/gee-math-2/ — 用于补充行列式性质的直观解释
Wikipedia 行列式词条：https://zh.wikipedia.org/wiki/行列式 — 排列逆序数定义与范德蒙德行列式公式
CSDN 线性代数系列：https://blog.csdn.net/qq_28576837/article/details/136143379 — 二阶三阶展开的几何直觉

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行列式

前置知识回顾

二阶行列式的定义

n 阶行列式（Leibniz 公式）

余子式与代数余子式

按行（列）展开定理

例题 1：按第一行展开三阶行列式

实战技巧

子式（Minor）

主子式（Principal Minor）

顺序主子式（Leading Principal Minor）

三者关系一览

顺序主子式的显式形式

例题：以具体矩阵演示三者区别

为什么在第二章讲？

伴随矩阵

逆矩阵的伴随矩阵公式

例题 2：二阶矩阵的逆——速记公式

例题：$A^* = A^T$ 的推论——正交性

例题：伴随矩阵与逆矩阵的混合运算

克拉默法则

例题 3：二元方程组的克拉默法则

克拉默法则的局限性

复习速查

参考来源

例题： $$A^* = A^T$$ 的推论——正交性