数字滤波器基础、分析与结构

数字滤波器和模拟滤波器在功能上没有本质差别，目标都是保留某些频率成分、压制另一些频率成分。低通保留慢变化，高通强调快速变化，带通提取某个频带，带阻抑制某个频带。

区别在于实现方式。模拟滤波器由电阻、电容、电感或运放等硬件实现；数字滤波器由差分方程、系统函数和数值运算实现。一个 LTI 数字滤波器可以同时用三种方式描述：

• 差分方程：直接说明输入输出样本如何递推。
• 单位抽样响应：$h[n]$ 描述系统对 $\delta[n]$ 的响应，输出为 $y[n]=x[n]*h[n]$。
• 系统函数：$H(z)=Y(z)/X(z)$ 把时域递推变成复平面上的有理函数。

常系数差分方程的一般形式为

零初始条件下取 Z 变换，得到

这里用 Z 变换而不是直接用傅里叶变换，是因为 $H(z)$ 描述的是系统在整个复平面上的结构：分子给零点，分母给极点，收敛域还能进一步判断因果性和稳定性。傅里叶变换只看单位圆上的频率表现，即把 $z=e^{j\omega}$ 代入后得到的 $H(e^{j\omega})$。所以通常先用 Z 变换求系统函数，再从系统函数读出频率响应。

为什么专门看单位圆？因为 $z=re^{j\omega}$ 中，角度 $\omega$ 表示振荡频率，半径 $r$ 表示序列包络是否随时间指数增长或衰减。只有当 $r=1$ 时，输入 $e^{j\omega n}$ 才是幅度不变的纯频率分量。数字滤波器的“滤波效果”问的正是：输入某个频率的正弦或复指数后，输出被放大多少、相移多少。因此要看单位圆上的 $H(e^{j\omega})$，其中 $|H(e^{j\omega})|$ 是幅度响应，$\arg H(e^{j\omega})$ 是相位响应。

滤波器分析的核心就是读懂这个 $H(z)$：它的分子给零点，分母给极点；它在单位圆上的取值 $H(e^{j\omega})$ 就是频率响应。

FIR 与 IIR：有没有反馈，决定了系统性格

按单位抽样响应（impulse response）是否会无限延续，数字滤波器最常见地分为 FIR 和 IIR。这里的名字本身就说明了差别：

“单位冲激响应”可以理解成系统被敲一下之后的回声。FIR 像敲一下桌面：响几下就没了；IIR 像带回声的房间：声音会在内部反复反射，越来越小或者越来越大。这里的关键不是名字，而是有没有把过去的输出再喂回系统。

FIR：只记住有限段过去输入

FIR 的输出只依赖当前和过去若干个输入样本，不依赖过去输出。例如二点滑动平均

对应的冲激响应只有两项：

这就是“有限长”的意思：冲激输入只让系统响两拍。因为没有反馈，系统不会自己把能量滚起来，所以 FIR 只要系数有限，就天然 BIBO 稳定。

IIR：把过去输出再反馈回来

IIR 的输出会依赖过去输出。最简单的一阶例子是

如果输入是一个单位冲激 $\delta[n]$，输出会变成

只要 $a\ne0$，这个序列理论上永远不会在有限时间后精确归零，所以叫 Infinite Impulse Response。它的好处是：用一个反馈系数就能形成很长的指数尾巴，因此低阶 IIR 就能做出较陡的频率选择性；风险是：如果反馈太强，也就是极点跑到单位圆外，尾巴会越滚越大，系统不稳定。

理想响应：完美矩形频响为什么不能直接实现

先把目标说清楚：所谓“理想低通”，就是希望所有低频原封不动通过，所有高频完全砍掉。若截止频率是 $\omega_c$，理想幅频响应可以写成

这张图就是它的样子：中间一段完全平坦，两侧突然掉到 0。它在频域非常漂亮，但“突然掉下去”这件事，正是麻烦的来源。

为什么会这样？因为冲激响应 $h_d[n]$ 是频率响应 $H_d(e^{j\omega})$ 的反 DTFT：

当 $n\ne0$ 时，积分结果为

当 $n=0$ 时，极限值为 $h_d[0]=\omega_c/\pi$。如果用 sinc 函数 的写法，也常写成

这里的重点不是记住某个写法，而是看懂图像：它不是只在有限几个采样点非零，而是向左、向右都无限延伸，并且一边振荡一边慢慢衰减。

于是理想低通有两个实现障碍。第一，它的 $h_d[n]$ 对所有正负 $n$ 都可能非零，长度无限；真实滤波器不能存储和计算无限多个抽头。第二，它在 $n<0$ 的位置也有值，这意味着输出当前样本时需要用到“未来输入”，所以通常是非因果的。

四类基本滤波器：低通、高通、带通、带阻

四类基本滤波器可以先按“通带保留哪里、阻带压制哪里”来记。阅读时不要只记名字，而要盯住通带、阻带和过渡带的位置。

实际设计时还要给出通带边界、阻带边界、通带起伏和阻带衰减。没有这些指标，就谈不上“设计”，只能说是“想要某种大概效果”。

前一组回答了“滤波器如何表示”。接下来要回答的是“如何从这个表示判断它到底在滤什么”。关键入口不是盯着差分方程的外形猜，而是把系统函数放到单位圆上看。

零极点几何：系统函数如何决定滤波效果

把 $z$ 限制在单位圆上，令 $z=e^{j\omega}$，就得到频率响应。若系统函数写成

则单位圆上某一点 $e^{j\omega}$ 的响应大小可理解为：

这给出一个非常好用的几何直觉：单位圆上的频点离零点越近，响应越小；离极点越近，响应越大。零点负责“挖坑”，极点负责“抬峰”。

例题：从差分方程判断 FIR/IIR 和频率特性

设计流程：先定指标，再选 FIR/IIR，再谈实现

面对滤波器设计题，顺序不能反。不要一上来就问“用窗函数还是双线性变换”，而是先把需求写成指标：

1. 通带和阻带边界在哪里。
2. 通带允许多大起伏。
3. 阻带至少要衰减多少。
4. 是否要求线性相位。
5. 是否更关心低阶数、低延迟或数值稳定。

如果要求线性相位且可以接受较高阶数，FIR 常更合适；如果希望较低阶实现陡峭响应，IIR 常更高效。后续具体设计方法包括：窗函数法、频率采样法、Parks-McClellan FIR 设计、巴特沃斯/切比雪夫/椭圆 IIR 设计、双线性变换等。

前面的 DTFT、DFT、Z 变换都在为滤波器服务。DTFT 给频率响应，DFT/FFT 给计算工具，Z 变换给系统函数和稳定性判据。滤波器把这些工具合成一个工程对象：给定指标，构造一个可实现系统。

如果继续深入，下一步通常会分成两条线：FIR 设计重在窗函数、线性相位和频率采样；IIR 设计重在模拟原型、频率变换和双线性变换。

复习速查：数字滤波器做题入口

数字滤波器的概念

滤波器

数字滤波器是对输入离散时间序列 $x(n)$ 进行运算、得到输出序列 $y(n)$ 的离散时间系统。它的任务不是“凭空产生新信号”，而是按照给定频率选择规则保留、削弱或改变信号中的某些频率分量：低通保留低频，高通保留高频，带通保留某个频带，带阻抑制某个频带。

系统函数

数字滤波器通常被看成线性时不变系统。若输入为 $x(n)$、输出为 $y(n)$，则系统函数定义为 $H(z)=Y(z)/X(z)$。当 $H(z)$ 写成 $z^{-1}$ 的有理分式时，分子系数 $b_k$ 对应输入延迟项，分母系数 $a_k$ 对应输出反馈项。

差分方程

从系统角度看，滤波器可以同时用三种语言描述：时域里的差分方程，$z$ 域里的系统函数 $H(z)$，以及工程实现里的结构图。差分方程告诉我们每一拍怎样递推；系统函数告诉我们零点、极点和频率响应；结构图则回答“这些加法器、乘法器、延迟器应该怎样连接”。

一个 $N$ 阶 IIR 滤波器的系统函数和差分方程分别为

分子实现零点（对 $x(n)$ 的加权延迟），分母实现极点（对 $y(n)$ 的加权延迟，即反馈）。结构设计的核心问题就是：如何用最少存储单元、最少乘法、最稳定的数值特性来实现同一 $H(z)$。

滤波器的功能与实现

无论滤波器多复杂，实现它所需的基本运算只有三种：加法、乘常数、单位延迟。

数字滤波器的结构表示法

用这三种运算元件搭出滤波器，常见表示法有两种：方框图法和信号流图法。它们描述的是同一个计算过程，只是视角不同：方框图更像硬件连接图，信号流图更像代数关系图。

方框图法

方框图法用方框、箭头、加法节点、乘法系数和单位延迟器直接画出样本如何流动。它最适合从差分方程出发检查“先延迟、再乘系数、最后在哪里相加”。

二抽头 FIR 方框图可以直接按差分方程阅读：输入 $x(n)$ 分成两路，一路直接乘 $b_0$，另一路先经过一个单位延迟 $z^{-1}$ 得到 $x(n-1)$，再乘 $b_1$，最后两路相加得到输出。

上图对应一个最简单的二抽头 FIR：

如果差分方程含有过去输出项，例如 $y(n)=b_0x(n)+a_1y(n-1)$，方框图中就会出现从输出端经过 $z^{-1}$ 和系数 $a_1$ 回到加法节点的反馈支路。这正是 IIR 结构和 FIR 结构的图形区别。

信号流图法

信号流图法把每个中间变量画成节点，把乘常数、单位延迟和直接传递画成有向支路。它比方框图更紧凑，适合推导直接型、级联型、并联型，以及后面的转置定理。

graph LR
  X(("x(n)")) -->|"b₀"| Y(("y(n)"))
  X -->|"z⁻¹"| N1(("x(n-1)"))
  N1 -->|"b₁"| Y
  N1 -->|"z⁻¹"| N2(("x(n-2)"))
  N2 -->|"b₂"| Y

这张信号流图对应三抽头 FIR：

节点表示变量，支路上的标注表示支路增益或延迟。这里从 $x(n)$ 到 $x(n-1)$、从 $x(n-1)$ 到 $x(n-2)$ 都必须经过一个单位延迟 $z^{-1}$；若一条支路不标传输系数，才默认增益为 1。多个支路汇入同一节点时，节点值等于所有输入支路信号之和。

课件第 11 页给出的是信号流图法的完整示例：先把差分方程中的每个延迟、系数和相加关系翻译成支路，再从输入节点沿有向边读到输出节点。它比前面的三抽头小例子更接近后面 IIR 直接型结构的画法。

掌握这两种表示法后，后面的结构就不再是孤立图形，而是同一件事的不同翻译：直接型从差分方程直接翻译，级联型从因式分解翻译，并联型从部分分式展开翻译。

特点

IIR（Infinite Impulse Response）滤波器的特点是：单位冲激响应 $h(n)$ 无限长；$H(z)$ 在有限 $z$ 平面上有极点；结构上存在输出到输入的反馈，是递归型的。

递归结构带来两个直接后果。第一，IIR 可以用较低阶数得到很陡的过渡带，因此同样指标下通常比 FIR 更省乘法器；第二，极点位置决定稳定性，只要极点受量化影响跑到单位圆外，系统就会失稳。所以 IIR 结构设计最关心的是极点控制、系数量化敏感度和内部状态动态范围。

为什么同一个 IIR 要有多种结构

一个系统函数 $H(z)$ 只规定了输入和输出之间的关系，并没有规定中间变量怎么存、乘法器怎么排、反馈支路怎么组织。直接 I 型、直接 II 型、级联型、并联型本质上是同一个 $H(z)$ 的不同“施工方案”。

graph TD
  A["拿到同一个 H(z)"] --> B{"目标是什么？"}
  B -->|"先看懂公式怎么实现"| C["直接 I 型"]
  B -->|"尽量少用延迟/存储"| D["直接 II 型"]
  B -->|"高阶 IIR 要稳定可靠"| E["级联型二阶节"]
  B -->|"硬件能并行、多支路同时算"| F["并联型"]
  C --> G["学习、手算、低阶原型"]
  D --> H["存储省，但内部状态动态范围要小心"]
  E --> I["工程最常用：逐节控制零极点"]
  F --> J["误差不串行传递，适合并行架构"]

基本结构

2.1 直接 I 型

按差分方程直接画出：先实现零点网络（$M$ 个延迟+加权，对 $x$ 的横向抽头），再实现极点网络（$N$ 个延迟+加权，对 $y$ 的反馈）。

课件第 16 页把直接 I 型和系统函数公式对应起来：分子多项式对应输入抽头网络，分母多项式对应输出反馈网络。因此直接 I 型不是凭空画出来的，而是把 $H(z)$ 的分子、分母分别按 $z^{-1}$ 延迟链展开。

直接 I 型的直观好处是"零点在前、极点在后"，与差分方程一一对应，容易手画。缺点是延迟单元多，系数 $a_k,b_k$ 对极点/零点的控制不直观，且极点对系数变化非常敏感，容易出现不稳定或较大误差。

2.2 直接 II 型（正准型）

直接 I 型的零点网络和极点网络是级联的，可以把它们交换顺序。交换后，两个网络中间的延迟单元完全重合，合并后只需 $\max(M,N)$ 个延迟单元。课件第 17 面给出的直接 II 型可以理解成一条共享的状态链：先由反馈系数 $a_k$ 递推得到中间状态 $x'(n)$，再由前向系数 $b_k$ 从这些状态合成输出 $y(n)$。

因此直接 II 型的核心不是“换一种画法”，而是把原本分别服务于分子和分母的两组延迟记忆合并为同一组内部状态。若 $M=N$，直接 I 型需要 $2N$ 个延迟单元，直接 II 型只需要 $N$ 个；若 $M\ne N$，则需要 $\max(M,N)$ 个。它很省存储，所以也叫正准型（canonical form）。

例题：三阶 IIR 直接 II 型实现

给定系统函数：

$$H(z)=\frac{8-4z^{-1}+11z^{-2}-2z^{-3}}{1-\frac{5}{4}z^{-1}+\frac{3}{4}z^{-2}-\frac{1}{8}z^{-3}}$$

对应的差分方程：

$$y(n)=8x(n)-4x(n-1)+11x(n-2)-2x(n-3)+\frac{5}{4}y(n-1)-\frac{3}{4}y(n-2)+\frac{1}{8}y(n-3)$$

分析系数：从 $H(z)$ 读出前向系数 $b_k=\{8,-4,11,-2\}$，反馈系数 $a_k=\{-\frac{5}{4},\frac{3}{4},-\frac{1}{8}\}$（注意符号：差分方程中反馈项系数是分母系数的相反数）。

直接 II 型实现：将 $H(z)$ 拆成 $H_1(z)\cdot H_2(z)$，其中 $H_1(z)$ 实现零点（前向支路），$H_2(z)$ 实现极点（反馈支路）。两者共享同一条延时链，只需 $\max(3,3)=3$ 个 $z^{-1}$ 延时单元：

• 反馈部分 $H_2(z)$：中间状态 $w(n)$ 由输入和反馈递推：
  $$w(n)=x(n)+\tfrac{5}{4}w(n-1)-\tfrac{3}{4}w(n-2)+\tfrac{1}{8}w(n-3)$$

  三个延时器分别存储 $w(n-1),w(n-2),w(n-3)$。

• 前向部分 $H_1(z)$：输出 $y(n)$ 从共享状态链抽头加权求和：
  $$y(n)=8w(n)-4w(n-1)+11w(n-2)-2w(n-3)$$

参数	值	含义
阶数 $N$	3	分子分母均为三次
前向系数 $b_k$	$\{8,-4,11,-2\}$	零点位置
反馈系数 $-a_k$	$\{\frac{5}{4},-\frac{3}{4},\frac{1}{8}\}$	极点位置（符号取反）
延时单元	3 个 $z^{-1}$	直接 II 型正准型，$\max(M,N)=3$
乘法器	$4+3=7$ 个	$b_0$ 至 $b_3$ 加 $-a_1$ 至 $-a_3$

如上图所示，$H_1(z)$（零点部分）在左侧：输入 $x(n)$ 从左进入，经反馈递推得到中间状态，再通过 $b_0,b_1,b_2,b_3$ 四条前向支路加权求和输出 $y(n)$。$H_2(z)$（极点部分）在右侧：输出端的 $y(n)$ 经 $z^{-1}$ 延时后分别乘 $-a_1,-a_2$ 反馈回加法节点。两条链共享同一组延时器，这就是直接 II 型比直接 I 型节省存储的核心。

易错点：差分方程中反馈项的系数符号与 $H(z)$ 分母系数相反。$H(z)$ 分母是 $1-\frac{5}{4}z^{-1}+\frac{3}{4}z^{-2}-\frac{1}{8}z^{-3}$，而差分方程中对应 $+\frac{5}{4}y(n-1)-\frac{3}{4}y(n-2)+\frac{1}{8}y(n-3)$。画信号流图时，支路上标的 $-a_1=\frac{5}{4}$，即 $a_1=-\frac{5}{4}$，这就是符号翻转的来源。

Python 实现与仿真结果

用 Python 直接实现上述差分方程，对 100 个采样点的输入信号进行滤波：

x_1, x_2, x_3, y_1, y_2, y_3 = 0, 0, 0, 0, 0, 0

def filter(x):
    global x_1, x_2, x_3, y_1, y_2, y_3
    y = (8*x - 4*x_1 + 11*x_2 - 2*x_3
         + 1.25*y_1 - 0.75*y_2 + 0.125*y_3)
    x_3 = x_2; x_2 = x_1; x_1 = x
    y_3 = y_2; y_2 = y_1; y_1 = y
    return y

for i in range(100):
    y3[i] = filter(y[i])

从仿真结果可以观察到两个典型现象：

• 初始瞬态过冲：输出在 $n\approx 5$ 处飙升至 ~4900，远超输入信号的幅值范围（95~125）。这是因为滤波器启动时所有状态变量初始化为零（零初始条件），前几个采样点的反馈还未建立，前向系数 $b_0=8$ 的放大效应直接作用在输入上。
• 持续振铃：过冲之后输出并未迅速收敛，而是在 3500~4500 之间缓慢振荡。这说明分母的极点虽然最终使系统稳定（极点在单位圆内），但靠近单位圆的极点导致了缓慢衰减的振铃。输出量级（~1000~5000）比输入（~100）放大了约一个数量级，对应前向增益 $\sum|b_k|=8+4+11+2=25$ 的累积效果。

工程启示：直接型实现高阶 IIR 时，零初始条件会导致大幅瞬态过冲。实际应用中通常需要（1）预热滤波器（pre-fill 状态），或（2）拆成级联二阶节逐节处理以控制动态范围。这正是前面说的“直接 II 型虽然省延迟，却不一定最稳健”的数值体现。

2.3 级联型（Cascade Form）

先把 $H(z)$ 的分子分母分别因式分解为零点和极点：

其中 $g_k$ 为实零点，$h_k$ 为复零点，$c_k$ 为实极点，$d_k$ 为复极点；$M=M_1+2M_2$，$N=N_1+2N_2$。再把共轭对组合成实系数二阶因子：

课件第 23 面进一步给出了级联型的信号流图法：每个一阶或二阶小节先单独画成信号流图，再按系统函数乘积的顺序首尾相接。这样读图时不需要一次面对完整高阶多项式，而是逐节检查每个子系统的零点、极点和延迟链。

课件第 24–25 面补充了级联型最关键的工程理解：当 $M=N=4$ 时，系统可拆成 2 个二阶节；当 $M=N=6$ 时，可拆成 3 个二阶节。每一节都有自己的 $\beta_{1k},\beta_{2k}$ 与 $\alpha_{1k},\alpha_{2k}$，所以调节第 $k$ 节时，主要影响第 $k$ 对零点和第 $k$ 对极点，而不是一次牵动整个高阶多项式。

课件第 20 面的级联型把高阶滤波器拆成若干个一阶/二阶小系统串联。每个二阶节（Biquad）只用 2 个延迟单元，负责一对共轭零点和一对共轭极点；整体 $H(z)$ 等于各节系统函数的乘积。这样：

• $\beta_{1k},\beta_{2k}$ 主要决定第 $k$ 节的零点位置，常用来塑造通带、阻带或陷波位置。
• $\alpha_{1k},\alpha_{2k}$ 决定第 $k$ 节的极点位置，直接影响峰值、带宽和稳定性。
• 每节只处理低阶多项式，系数量化误差不会一次性作用在高阶多项式上，数值灵敏度通常低于直接型。
• 实际实现时还可以调整二阶节顺序和每节增益分配，避免某一节内部信号过大而溢出。

2.4 并联型（Parallel Form）

把 $H(z)$ 做部分分式展开：

课件第 30 面给出了并联型的具体演示：先把系统函数展开成若干个简单支路，每条支路独立实现一个一阶或二阶子系统，最后在输出端求和。这个例子适合对照部分分式展开，理解“相加的系统函数”如何变成“并行的结构图”。

课件第 27 面的并联型来自部分分式展开：把一个高阶有理函数拆成若干个一阶/二阶子系统的和。输入 $x(n)$ 同时送入所有支路，各支路分别产生一个分量响应，最后把这些输出相加得到 $y(n)$。

当 $M<N$ 时不含 $G_k$ 项；当 $M\ge N$ 时需要先做长除法，前面的 $G_k z^{-k}$ 是直接前馈项；当 $N$ 为奇数时通常会有一个一阶节。并联型的特点是：

• 各并联支路互相独立，某一支路的舍入误差不会继续传入下一节，误差传播路径短。
• 多个支路可以同时计算，再在末端相加，适合 FPGA、SIMD 或多乘法器 DSP 这类并行硬件。
• 每个分母因子对应一组极点，所以可以较清楚地观察每组极点贡献的模态响应。
• 零点不是由某个单独支路直接控制，而是所有支路相加后整体形成，因此不如级联型那样便于单独调整零点。

IIR 结构实现例题

转置定理

IIR 的难点来自反馈：结构稍有变化，内部状态、极点灵敏度和误差传播方式就会不同。接下来转到 FIR，问题会换一个方向：没有反馈以后，稳定性压力减小，重点变成怎样利用有限长冲激响应、频域采样和线性相位来减少运算或改善实现。

特点

FIR（Finite Impulse Response）滤波器的特点是：$h(n)$ 只在有限个 $n$ 处非零；$H(z)$ 无极点（除 $z=0$ 处的 $N-1$ 阶极点），在有限 $z$ 平面处处收敛；结构上非递归，没有反馈。

没有反馈意味着 FIR 天然稳定：只要输入有界，有限个输入样本的加权和一定有界。它还可以通过 $h(n)$ 的偶对称或奇对称设计出严格线性相位，因此在语音、通信、图像这类关心波形形状的场景中非常常用。代价是同样的幅频指标下，FIR 往往需要比 IIR 更高的阶数。

基本结构

课件第 38 面开始进入 FIR 数字滤波器结构：由于 FIR 没有反馈，所有基本结构都围绕有限长冲激响应 $h(n)$ 的不同组织方式展开。

3.1 横截型（卷积型 / 直接型）

课件第 39 面说明横截型结构。它直接用差分方程实现：$N-1$ 个延迟单元组成延时链，$N$ 个抽头分别乘 $h(0),h(1),\ldots,h(N-1)$，再相加。这就是线性移不变系统的卷积和公式。

横截型的优点是最直观：每个抽头对应一个冲激响应样本，改某个 $h(k)$ 就是改第 $k$ 条抽头的乘法系数。它常作为理解 FIR 的基准结构，也常用于系数需要频繁更新的自适应 FIR。

3.2 转置横截型与级联型

课件第 40 面先用转置定理把横截型变换为等价的转置横截型：将所有支路方向反转，输入输出互换，系统函数 $H(z)$ 不变。转置后，输入信号先分配到各个乘法器，再沿着延迟链逐级累加，延迟单元数仍为 $N-1$。

第 40 面同时给出 FIR 级联型。级联型把 $H(z)$ 分解为实系数一阶或二阶因子的乘积：

$N$ 为偶数时共 $N/2$ 个二阶节；$N$ 为奇数时有一个一阶节（$\beta_{2k}=0$）。每节主要对应一对零点，因此级联型适合从零点分布理解和调节 FIR；缺点是需要先因式分解，且节次顺序和系数缩放会影响有限字长误差。

3.3 频率抽样型

课件第 43 面说明频率抽样型。它利用 DFT 频域采样定理，把 $H(z)$ 用 $N$ 个频率采样值 $H(k)$ 表示：

这可以看成两部分级联：

• 梳状滤波器 $1-z^{-N}$：在单位圆上有 $N$ 个等间隔零点 $\omega_k=2\pi k/N$，频率响应为 $|2\sin(N\omega/2)|$。
• 谐振器组 $\sum H(k)/(1-W_N^{-k}z^{-1})$：每个一阶节在单位圆上有一个极点 $\omega_k=2\pi k/N$，正好与梳状滤波器的零点抵消，使得 $\omega=2\pi k/N$ 处的频率响应等于 $H(k)$。

3.3b 修正的频率抽样型

上面标准频率抽样型的极点恰好落在单位圆上 $z_k=W_N^{-k}=e^{j2\pi k/N}$，在有限字长实现时极点可能漂移到单位圆外导致不稳定。工程解决方案是把所有极点（连同梳状滤波器的零点）从单位圆收缩到半径 $r<1$ 的圆上。

修正后的系统函数为

由于 $H(k)$ 和 $H(N-k)$ 互为共轭（$h(n)$ 为实序列时），可以将第 $k$ 个和第 $(N-k)$ 个谐振器合并为一个实系数二阶网络：

其中 $\beta_{0k}=2\,\mathrm{Re}[H(k)]$，$\beta_{1k}=-2r\,\mathrm{Re}[H(k)W_N^k]$。这样每个二阶节都是实系数的，极点稳定地位于半径 $r$ 的圆上。

3.4 线性相位型

当 FIR 滤波器的单位冲激响应满足偶对称 $h(n)=h(N-1-n)$ 或奇对称 $h(n)=-h(N-1-n)$ 时，相位响应具有严格的线性特性：

• 偶对称（情况 I、II）：$\theta(\omega)=-\frac{N-1}{2}\omega$，纯线性相位。
• 奇对称（情况 III、IV）：$\theta(\omega)=-\frac{N-1}{2}\omega+\frac{\pi}{2}$，线性相位加 $90°$ 相移。

利用对称性，可以把乘法次数减少约一半。根据 $N$ 的奇偶和对称性，线性相位 FIR 有四种情况：

$N$ 为奇数（情况 I）时，对称中心在整数样点 $n=(N-1)/2$，所有 $h(n)$ 都可配对。结构上，对称位置的两个延迟输出相加（偶对称取 $+1$）或相减（奇对称取 $-1$），再乘以系数 $h(n)$，乘法次数从 $N$ 减为 $(N+1)/2$。

$N$ 为偶数（情况 II）时，对称中心在 $n=(N-1)/2$ 处（非整数样点），没有单独的中心项。乘法次数从 $N$ 减为 $N/2$。

线性相位 FIR 在通信、图像处理中非常重要，因为线性相位意味着所有频率分量延迟相同，信号波形不会失真。

用 DFT/FFT 实现 FIR 滤波

时域卷积 $y(n)=x(n)*h(n)$ 在频域等价于乘法 $Y(k)=X(k)\cdot H(k)$。当 FIR 滤波器的单位冲激响应 $h(n)$ 较长（比如 $N>64$）时，直接时域卷积需要 $N$ 次乘累加（MAC）运算，而用 FFT 在频域做乘法的计算量反而更小。

当 $N$ 取 2 的幂时，FFT 的计算复杂度为 $O(N\log N)$，而直接卷积为 $O(N\cdot M)$。当 $M$ 较大时 FFT 方法显著更快。

实际应用中输入信号通常是无限长的流式数据（如音频），需要分段处理。两种经典方法：

重叠相加法（Overlap-Add）

将长序列 $x(n)$ 分成每段长 $L$ 的无重叠子段 $x_m(n)$。每段与 $h(n)$ 做 $N$ 点循环卷积（$N\ge L+M-1$），结果长度为 $L+M-1$，相邻段的输出有 $M-1$ 个样本重叠，将重叠部分相加即可。

流程图：

graph LR
  A["x(n) 分段"] --> B["补零到 N 点"]
  B --> C["N 点 FFT"]
  C --> D["乘以 H(k)"]
  D --> E["N 点 IFFT"]
  E --> F["重叠相加"]
  F --> G["y(n)"]

重叠保留法（Overlap-Save）

每段输入取 $N$ 点，但相邻段有 $M-1$ 点重叠（每段前 $M-1$ 个点是上一段的后 $M-1$ 个点）。每段做 $N$ 点循环卷积后，丢弃前 $M-1$ 个受缠绕效应影响的样本，保留后 $L=N-M+1$ 个有效样本拼接输出。

FIR 结构实现例题

至此，FIR 部分已经从时域横截型讲到频域快速卷积。它和 IIR 的结构选择标准不同：IIR 首先要管住极点和反馈误差，FIR 则更多是在乘法次数、频域调节、线性相位和分段卷积之间做取舍。

同一个滤波器指标通常可以落到多种结构上。真正实现时，不是只问“哪个公式正确”，而是问“这个平台上哪个结构更稳、更省、更容易调”。选择时需综合考虑延迟、系数灵敏度、量化误差、并行度和可调度性。