数字滤波器基础与分析

数字滤波器和模拟滤波器在功能上没有本质差别,目标都是保留某些频率成分、压制另一些频率成分。低通保留慢变化,高通强调快速变化,带通提取某个频带,带阻抑制某个频带。

区别在于实现方式。模拟滤波器由电阻、电容、电感或运放等硬件实现;数字滤波器由差分方程、系统函数和数值运算实现。一个 LTI 数字滤波器可以同时用三种方式描述:

• 差分方程:直接说明输入输出样本如何递推。
• 单位抽样响应:$h[n]$ 描述系统对 $\delta[n]$ 的响应,输出为 $y[n]=x[n]*h[n]$。
• 系统函数:$H(z)=Y(z)/X(z)$ 把时域递推变成复平面上的有理函数。

常系数差分方程的一般形式为

零初始条件下取 Z 变换,得到

这里用 Z 变换而不是直接用傅里叶变换,是因为 $H(z)$ 描述的是系统在整个复平面上的结构:分子给零点,分母给极点,收敛域还能进一步判断因果性和稳定性。傅里叶变换只看单位圆上的频率表现,即把 $z=e^{j\omega}$ 代入后得到的 $H(e^{j\omega})$。所以通常先用 Z 变换求系统函数,再从系统函数读出频率响应。

为什么专门看单位圆?因为 $z=re^{j\omega}$ 中,角度 $\omega$ 表示振荡频率,半径 $r$ 表示序列包络是否随时间指数增长或衰减。只有当 $r=1$ 时,输入 $e^{j\omega n}$ 才是幅度不变的纯频率分量。数字滤波器的"滤波效果"问的正是:输入某个频率的正弦或复指数后,输出被放大多少、相移多少。因此要看单位圆上的 $H(e^{j\omega})$,其中 $|H(e^{j\omega})|$ 是幅度响应,$\arg H(e^{j\omega})$ 是相位响应。

滤波器分析的核心就是读懂这个 $H(z)$:它的分子给零点,分母给极点;它在单位圆上的取值 $H(e^{j\omega})$ 就是频率响应。

FIR 与 IIR:有没有反馈,决定了系统性格

按单位抽样响应(impulse response)是否会无限延续,数字滤波器最常见地分为 FIR 和 IIR。这里的名字本身就说明了差别:

"单位冲激响应"可以理解成系统被敲一下之后的回声。FIR 像敲一下桌面:响几下就没了;IIR 像带回声的房间:声音会在内部反复反射,越来越小或者越来越大。这里的关键不是名字,而是有没有把过去的输出再喂回系统。

FIR:只记住有限段过去输入

FIR 的输出只依赖当前和过去若干个输入样本,不依赖过去输出。例如二点滑动平均

对应的冲激响应只有两项:

这就是"有限长"的意思:冲激输入只让系统响两拍。因为没有反馈,系统不会自己把能量滚起来,所以 FIR 只要系数有限,就天然 BIBO 稳定。

IIR:把过去输出再反馈回来

IIR 的输出会依赖过去输出。最简单的一阶例子是

如果输入是一个单位冲激 $\delta[n]$,输出会变成

只要 $a\ne0$,这个序列理论上永远不会在有限时间后精确归零,所以叫 Infinite Impulse Response。它的好处是:用一个反馈系数就能形成很长的指数尾巴,因此低阶 IIR 就能做出较陡的频率选择性;风险是:如果反馈太强,也就是极点跑到单位圆外,尾巴会越滚越大,系统不稳定。

理想响应:完美矩形频响为什么不能直接实现

先把目标说清楚:所谓"理想低通",就是希望所有低频原封不动通过,所有高频完全砍掉。若截止频率是 $\omega_c$,理想幅频响应可以写成

这张图就是它的样子:中间一段完全平坦,两侧突然掉到 0。它在频域非常漂亮,但"突然掉下去"这件事,正是麻烦的来源。

为什么会这样?因为冲激响应 $h_d[n]$ 是频率响应 $H_d(e^{j\omega})$ 的反 DTFT:

当 $n\ne0$ 时,积分结果为

当 $n=0$ 时,极限值为 $h_d[0]=\omega_c/\pi$。如果用 sinc 函数 的写法,也常写成

这里的重点不是记住某个写法,而是看懂图像:它不是只在有限几个采样点非零,而是向左、向右都无限延伸,并且一边振荡一边慢慢衰减。

于是理想低通有两个实现障碍。第一,它的 $h_d[n]$ 对所有正负 $n$ 都可能非零,长度无限;真实滤波器不能存储和计算无限多个抽头。第二,它在 $n<0$ 的位置也有值,这意味着输出当前样本时需要用到"未来输入",所以通常是非因果的。

实际幅频响应:把"想要什么"翻译成"能接受什么"

理想低通是一张"完美账单"--低频 1、高频 0、过渡带为 0。但工程里永远做不出这种账单,只能给它一个容差区间,把"必须严格"换成"必须落在某条带子里"。这就是低通滤波器的实际幅频特性曲线:

图 2:实际低通滤波器的幅频特性与公差带(来源:课件)

横轴是数字角频率 $\omega$,从 $0$ 一直走到 $\pi$;纵轴是幅频响应 $|H(e^{j\omega})|$。曲线在三个频段里分别遵守不同的"规矩":

用对数刻度(dB)写更直观:

对绝大多数工程设计,$\delta_1,\delta_2\ll 1$,可以近似为 $A_p\approx 20\log_{10}(1+\delta_1)\approx 17.4\delta_1\,\text{dB}$,$A_s\approx -20\log_{10}\delta_2\,\text{dB}$。这两个 dB 值就是给设计方法(巴特沃斯、切比雪夫、椭圆、凯泽窗...)的目标输入。

四类基本滤波器:低通、高通、带通、带阻

四类基本滤波器可以先按"通带保留哪里、阻带压制哪里"来记。阅读时不要只记名字,而要盯住通带、阻带和过渡带的位置。

四种理想响应:四个矩形脉冲一张图

把四类基本滤波器放在一张图里看会更直观。四种理想滤波器的幅频响应本质上是四个不同位置摆放的矩形脉冲--只是 1 这条带子中心在 $\omega$ 轴上的位置不同:

四张图的区别只在"1 这条带子放在哪":

• 低通:矩形居中,$|\omega|<\omega_c$ 通过,其余阻断。
• 高通:矩形在两端,$|\omega|>\omega_c$ 通过,中间阻断。
• 带通:矩形在中段,$\omega_L<|\omega|<\omega_H$ 通过,两侧阻断。
• 带阻:矩形在两端与中央,$\omega_L<|\omega|<\omega_H$ 阻断,其余通过。

实际设计时还要给出通带边界、阻带边界、通带起伏和阻带衰减。没有这些指标,就谈不上"设计",只能说是"想要某种大概效果"。

前一组回答了"滤波器如何表示"。接下来要回答的是"如何从这个表示判断它到底在滤什么"。关键入口不是盯着差分方程的外形猜,而是把系统函数放到单位圆上看。

零极点几何:系统函数如何决定滤波效果

把 $z$ 限制在单位圆上,令 $z=e^{j\omega}$,就得到频率响应。若系统函数写成

则单位圆上某一点 $e^{j\omega}$ 的响应大小可理解为:

这给出一个非常好用的几何直觉:单位圆上的频点离零点越近,响应越小;离极点越近,响应越大。零点负责"挖坑",极点负责"抬峰"。

四种基本滤波器的零极点分布

上一节的几何直觉可以反过来用:要构造某种选择性,就在单位圆上挑位置。

• 想保留哪个频段,就在相应角度的单位圆内靠近该频点处放极点(抬峰)。
• 想阻断哪个频段,就在相应角度的单位圆上或附近放零点(挖坑)。
• 极点必须严格落在单位圆内,否则系统不稳定;零点可以落在任何位置。

把图展开来读一遍:

• 低通:极点放在正实轴上的单位圆内(靠近原点),让 $\omega=0$ 附近的频点靠近极点而被放大;通常不配零点(实数系数的一阶 LPF 已经是典型形态)。
• 高通:在 $z=1$(即 $\omega=0$ 处)放零点挖掉低频,极点放在 $z=1$ 附近的单位圆内,把高频抬起来。
• 带通:在 $z=1$ 和 $z=-1$(即 $\omega=0$ 和 $\omega=\pi$ 处)放零点挖掉直流和最高频,极点作为共轭对放在某中心频率 $\pm\omega_c$ 附近的单位圆内,把中间的 $\omega_c$ 抬起来。
• 带阻:在想要阻断的频段位置($\pm\omega_L$ 和 $\pm\omega_H$,对称)放在单位圆上的零点挖坑,极点放在零点附近但严格在单位圆内,把坑挖尖但不破坏稳定性。

巴特沃斯（Butterworth）是最基础的模拟低通原型，核心特点是通带内最平坦（幅度函数在 $\Omega=0$ 处的前 $2N-1$ 阶导数全为零），代价是过渡带较宽、相同指标下阶数最高。下面按“定义 → 指标到参数 → 极点 → 系统函数”的顺序，把完整设计链路讲清楚。切比雪夫、椭圆、贝塞尔等原型见后续章节。

幅度平方函数

从指标到参数:$\lambda_{sp}$、$k_{sp}$ 与 $k_1$

设计题的标准输入是四个指标:通带边界 $\Omega_p$、阻带边界 $\Omega_s$、通带最大衰减 $\alpha_p$(dB)、阻带最小衰减 $\alpha_s$(dB)。但阶数公式不是直接用这四个原始量--需要先做两步归一化,把指标压缩成两个无量纲参数。

阶数公式

用中间参数表示,阶数公式极其简洁:

取不小于此值的最小整数。

分子 $\lg k_1<0$(因为 $k_1<1$)、分母 $\lg k_{sp}<0$(因为 $k_{sp}<1$),负负得正。等价写法:

推导逻辑(不是死记公式,而是理解它怎么来的):

1. 在通带边界 $\Omega_p$ 处,要求 $|H_a(j\Omega_p)|^2\ge 10^{-0.1\alpha_p}$,代入幅度平方函数得 $\Omega_c^{2N}\ge\Omega_p^{2N}/(10^{0.1\alpha_p}-1)$。
2. 在阻带边界 $\Omega_s$ 处,要求 $|H_a(j\Omega_s)|^2\le 10^{-0.1\alpha_s}$,代入得 $\Omega_c^{2N}\le\Omega_s^{2N}/(10^{0.1\alpha_s}-1)$。
3. 两式联立,消去 $\Omega_c$,就得到阶数 $N$ 的下界。

截止频率 $\Omega_c$ 的确定

求出 $N$ 后(向上取整),$\Omega_c$ 不是唯一确定的--阶数取整后有余量。有两种口径:

• 通带精确(牺牲阻带余量):$\Omega_c=\Omega_p\bigl(10^{0.1\alpha_p}-1\bigr)^{-1/(2N)}$。保证通带恰好满足 $\alpha_p$,阻带会有富裕。
• 阻带精确(牺牲通带余量):$\Omega_c=\Omega_s\bigl(10^{0.1\alpha_s}-1\bigr)^{-1/(2N)}$。保证阻带恰好满足 $\alpha_s$,通带会有富裕。

工程上取两者之间的值都行,考试中通常按通带精确口径计算。

极点分布

把 $\Omega^2=-s^2$ 代入 $|H_a(j\Omega)|^2$ 得到 $H_a(s)H_a(-s)=1/[1+(s/j\Omega_c)^{2N}]$。令分母为零,解出 $2N$ 个极点均匀分布在半径 $\Omega_c$ 的圆上:

相邻极点角度间隔 $\pi/N$,$N$ 为奇数时实轴上有极点、$N$ 为偶数时没有。取左半平面的 $N$ 个极点构成因果稳定的 $H_a(s)$(右半平面的归给 $H_a(-s)$)。Butterworth 是全极点滤波器--分子为常数、无有限零点。

归一化系统函数与去归一化

实际计算时,工程上几乎总是走"归一化 → 查表 → 去归一化"的路线,而不是每次从头解极点方程:

1. 归一化:取 $\Omega_c=1$,写出归一化低通系统函数 $H_{an}(s)=1/B_N(s)$,其中 $B_N(s)$ 是 $N$ 阶 Butterworth 多项式。前几阶可以直接查表:

2. 去归一化:做频率代换 $s\to s/\Omega_c$(把截止频率从 1 搬到目标 $\Omega_c$),同时乘 $\Omega_c^N$ 保证增益归一:

完整设计流程速查

这个流程也解释了为什么例题里"先算 N、次定 $\Omega_c$、再套 $B_N$"--每一步都对应上面设计流程的一个环节。

从低通到高通:频率变换法

前面讲的都是低通原型设计。如果目标滤波器是高通、带通或带阻,不需要从头来--只要把低通原型通过频率变换转换过去。这里先讲高通。

巴特沃斯模拟高通滤波器设计流程与频响示意(来源:课件)

高通滤波器的指标用下标 $h$ 标记:通带截止 $\Omega_{ph}$、阻带截止 $\Omega_{sh}$、通带衰减 $\alpha_p$、阻带衰减 $\alpha_s$。注意高通的 $\Omega_{sh}<\Omega_{ph}$(阻带在低频侧)。

带通和带阻的设计思路完全类似--只是频率变换的代换式不同(带通用 $p=\frac{\Omega_0}{B}\left(\frac{s}{\Omega_0}+\frac{\Omega_0}{s}\right)$,带阻用 $p=\frac{\Omega_0}{B}\left(\frac{s}{\Omega_0}+\frac{\Omega_0}{s}\right)^{-1}$)。详细的频率变换公式表见 IIR 设计 · 数字频带变换法。

例题区

Chebyshev 多项式 $T_N(x)$

Chebyshev 多项式的递推定义为

其封闭形式为 $T_N(x)=\cos(N\arccos x)$(当 $|x|\le 1$ 时),在 $[-1,1]$ 上等幅振荡于 $\pm 1$ 之间;当 $|x|>1$ 时,$T_N(x)=\cosh(N\cosh^{-1}x)$,这解释了 Chebyshev 阶数公式为什么会出现反双曲余弦函数。

Chebyshev I 型的特点是:

• 通带内等波纹(波纹大小由 $\varepsilon$ 控制),阻带单调下降。
• 过渡带比 Butterworth 更陡,相同指标下阶数更低。
• 极点分布在左半平面的椭圆上(而非 Butterworth 的圆上)。

Chebyshev 阶数公式

与 Butterworth 的对数公式不同,Chebyshev 阶数公式涉及反双曲余弦函数,这是因为 Chebyshev 多项式在 $|x|>1$ 时表现为 $\cosh$ 形式。

Chebyshev II 型(逆 Chebyshev)则相反:阻带等波纹,通带单调。

Chebyshev 概念后面要重点看通带内的等波纹形状:它不是 Butterworth 那种"尽量平",而是有意把误差均匀分摊到通带里,从而换来更陡的过渡带。课件用一页把两种型号的幅度特性并排画出:图 6-19 是 Chebyshev I 型(通带等波纹、阻带单调,画出 $N$ 为奇数与偶数两种情形,波纹 2 dB),图 6-20 是 Chebyshev II 型(通带单调、阻带等波纹)。对照 $1/\sqrt{1+\varepsilon^2}$、$1/A$ 这两条幅度参考线,可以一眼看出"波纹放在通带还是阻带"决定了 I 型与 II 型的区别--这是理解 Chebyshev 两型差异不可或缺的图页。

Chebyshev 的设计步骤围绕波纹参数 $\varepsilon$、多项式 $T_N(x)$ 和阶数公式展开;上文已经写出这些关键公式,因此这里作为公式出处和步骤对照。

常用模拟低通原型可以放在同一张对比表里理解:Butterworth 最平坦但过渡慢,Chebyshev 用波纹换过渡陡峭,椭圆滤波器过渡最快但相位代价最大。

这张表对应上面的原型对比表,也解释了为什么工程设计要在"阶数、过渡带、波纹、相位"之间取舍。

椭圆（Elliptic / Cauer）滤波器

椭圆滤波器也叫 Cauer 滤波器。它同时允许通带和阻带出现等波纹,因此在相同阶数下可以获得最窄的过渡带,也就是"最陡"的幅频下降。

Bessel 贝塞尔滤波器

Bessel 滤波器的核心目标不是最陡过渡,而是尽量平坦的群时延。它常用于更看重波形形状、瞬态响应和相位线性的场景。

设计流程:先定指标,再选 FIR/IIR,再谈实现

面对滤波器设计题,顺序不能反。不要一上来就问"用窗函数还是双线性变换",而是先把需求写成指标:

1. 通带和阻带边界在哪里。
2. 通带允许多大起伏。
3. 阻带至少要衰减多少。
4. 是否要求线性相位。
5. 是否更关心低阶数、低延迟或数值稳定。

如果要求线性相位且可以接受较高阶数,FIR 常更合适;如果希望较低阶实现陡峭响应,IIR 常更高效。后续具体设计方法包括:窗函数法、频率采样法、Parks-McClellan FIR 设计、巴特沃斯/切比雪夫/椭圆 IIR 设计、双线性变换等。

例题区

例题：公差带读图 例题：巴特沃斯低通设计套路 例题 1：判断 FIR/IIR 与系统函数 例题 2：极点判断 IIR 稳定性 例题 3：FIR 梳状滤波器

例题:从实际公差带波形读出设计指标

原题:给出一张低通滤波器的公差带示意图(图见下),从图上读出通带截止频率 $\Omega_p$、阻带起始频率 $\Omega_s$、通带最大衰减 $\alpha_p$、阻带最小衰减 $\alpha_s$ 四个指标。

图 5:低通滤波器公差带示意图--从图上读出通带截止 Ωp、阻带起始 Ωs、通带衰减 αp、阻带衰减 αs 四个指标(来源:课件)

读图四步:

1. 看纵轴 $\Omega=0$ 附近的曲线高度,记作 $1$(0 dB 参考);
2. 看横轴上通带边缘位置 $\Omega_p$:这里曲线第一次越过 $-\alpha_p$ 线;
3. 看横轴上阻带边缘位置 $\Omega_s$:这里曲线第一次低于 $-\alpha_s$;
4. 中间的 $\Omega_c$ 是 3 dB 截止频率,是设计 $\Omega_p$ 与 $\Omega_s$ 之间的中间点。

读出来的 $(\Omega_p,\Omega_s,\alpha_p,\alpha_s)$ 就是后面对接巴特沃斯、切比雪夫、椭圆等设计方法的入口参数。

例题:巴特沃斯低通滤波器设计套路

原题:设计一个巴特沃斯低通滤波器,要求 $f_p=5\text{kHz}$、$\alpha_p=2\text{dB}$、$f_s=12\text{kHz}$、$\alpha_s=30\text{dB}$。求阶数 $N$、3 dB 截止频率 $\Omega_c$ 和系统函数 $H(s)$。

图 6:巴特沃斯低通设计原题--从 fp、fs、αp、αs 四个指标入手(来源:课件)

图 7:巴特沃斯低通幅度特性随阶数 N 的变化--N 越大过渡带越陡(来源:课件)

图 8:巴特沃斯低通设计步骤总结--先算 N,次定 Ωc,再套 B_N(来源:课件)

四步套路:

1. 求阶数 N:由 $(\alpha_p,\alpha_s,\Omega_p,\Omega_s)$ 决定,
   $$N=\left\lceil\frac{\log_{10}\!\sqrt{\dfrac{10^{0.1\alpha_s}-1}{10^{0.1\alpha_p}-1}}}{\log_{10}\!\dfrac{\Omega_s}{\Omega_p}}\right\rceil.$$

   物理含义:分子是"阻带比通带多压了多少 dB",分母是"过渡带比十倍频多少",两者之比就是最少需要的阶数。

2. 求 3 dB 截止频率 $\Omega_c$:用通带口径算出的较小者保证两侧都达标,
   $$\Omega_c=\frac{\Omega_p}{\bigl(10^{0.1\alpha_p}-1\bigr)^{1/(2N)}}.$$

   也可以用阻带口径算 $\Omega_c=\Omega_s/(10^{0.1\alpha_s}-1)^{1/(2N)}$,两者取较小的那个。

3. 写出 $H(s)$:$H(s)$ 是 N 阶全极点低通,分子是 $\Omega_c^N$,分母是归一化巴特沃斯多项式左移 $\Omega_c$:
   $$H(s)=\frac{\Omega_c^N}{B_N(s/\Omega_c)},\qquad B_N(s)=\prod_{k=1}^{N}\Bigl(s-e^{j\pi(2k+N-1)/(2N)}\Bigr).$$

   $B_1(s)=s+1$,$B_2(s)=s^2+\sqrt2\,s+1$,$B_3(s)=s^3+2s^2+2s+1$,更高阶按规律递推。

4. 转离散(若需数字域):用双线性变换
   $$s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$$

   把 $H(s)$ 变到 $H(z)$;注意这一步会频率非线性畸变,对截止频率要做预畸:$\Omega_c^\prime=\dfrac{2}{T}\tan\!\dfrac{\Omega_c T}{2}$。

套路口诀:"先算 N,次定 $\Omega_c$,再套 $B_N$,最后双线性。"--四步解决一切巴特沃斯题。$\alpha_p$ 决定"偏向通带还是阻带",$\alpha_s$ 决定"陡不陡",$N$ 是两者折中后的最小阶数。巴特沃斯的优点是通带内最平坦(无纹波),代价是过渡带最宽--要更陡的话下一站是切比雪夫/椭圆。

例题 1:判断滤波器类型和系统函数

题目:给定差分方程 $y[n]=0.5x[n]+0.5x[n-1]$。判断它是 FIR 还是 IIR,并求 $H(z)$。

1. 看是否含过去输出:右端只有输入项 $x[n]$、$x[n-1]$,没有 $y[n-k]$,所以没有反馈。
2. 取 Z 变换:$Y(z)=0.5X(z)+0.5z^{-1}X(z)$。
3. 求系统函数:
   $$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=0.5(1+z^{-1}).$$
4. 读频率响应:$H(e^{j\omega})=0.5(1+e^{-j\omega})=e^{-j\omega/2}\cos(\omega/2)$。

答案:这是二点滑动平均 FIR 滤波器,低频 $\omega=0$ 处增益为 1,高频 $\omega=\pi$ 处增益为 0,具有低通倾向。

易错点:"平均"并不是凭直觉低通,而是因为 $|\cos(\omega/2)|$ 在高频处变小。

例题 2:由极点判断 IIR 稳定性和滤波倾向

题目:系统满足 $y[n]-ay[n-1]=x[n]$,其中 $0<a<1$。判断类型、稳定性和频率倾向。

1. 类型:方程含过去输出 $y[n-1]$,因此是 IIR。
2. 系统函数:
   $$H(z)=\frac{1}{1-az^{-1}}.$$
3. 极点:极点在 $z=a$。因 $0<a<1$,极点在单位圆内;对因果系统而言,ROC 在最外极点之外并包含单位圆,所以系统稳定。这个逻辑见 Z 变换笔记中的 ROC 解释。
4. 频率响应:
   $$|H(e^{j\omega})|=\frac{1}{|1-ae^{-j\omega}|}.$$

   当 $\omega=0$ 时分母为 $|1-a|$,当 $\omega=\pi$ 时分母为 $|1+a|$,所以低频增益更大。

答案:这是稳定的一阶 IIR 低通滤波器。

易错点:IIR 是否稳定不由"有反馈"直接决定,而由 因果 ROC 是否包含单位圆 决定;对因果有理系统,这等价于所有极点落在单位圆内。

例题 3:FIR 梳状滤波器 $y[n]=x[n]+x[n-8]$

题目:由系统结构图写出差分方程,并求系统函数、单位抽样响应、频率响应和零极点分布。

解:

1. 差分方程:输入一路直接到达加法器,另一路延迟 8 个样本后到达加法器,两路相加得输出:
   $$y[n]=x[n]+x[n-8].$$
2. 系统函数:两边取 Z 变换,利用移位性质:
   $$Y(z)=X(z)+z^{-8}X(z)=(1+z^{-8})X(z), \quad\Rightarrow\quad H(z)=1+z^{-8}=\frac{z^8+1}{z^8}.$$
3. 单位抽样响应:逆 Z 变换:
   $$h[n]=\delta[n]+\delta[n-8].$$

   这是长度为 9 的 FIR 冲激响应,只有 $n=0$ 和 $n=8$ 处为 1。

4. 频率响应:令 $z=e^{j\omega}$:
   $$H(e^{j\omega})=1+e^{-j8\omega}=e^{-j4\omega}\bigl(e^{j4\omega}+e^{-j4\omega}\bigr)=2\cos(4\omega)\,e^{-j4\omega}.$$

   因此幅频响应为

   $$|H(e^{j\omega})|=2|\cos(4\omega)|.$$
5. 零极点:极点由 $z^8=0$ 给出,是原点处的 8 阶极点;零点由 $z^8+1=0$ 给出,即 $z^8=-1=e^{j\pi}$,故
   $$z_k=e^{j(2k+1)\pi/8},\quad k=0,1,\ldots,7.$$

   8 个零点均匀分布在单位圆上,角度为 $\pi/8,3\pi/8,5\pi/8,\ldots,15\pi/8$。

滤波特性:$|H(e^{j\omega})|=2|\cos(4\omega)|$ 在

$$\omega=0,\ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{4},\ \pi$$

处取最大值 2,在

$$\omega=\frac{\pi}{8},\ \frac{3\pi}{8},\ \frac{5\pi}{8},\ \frac{7\pi}{8}$$

处为 0。因此这是一个 FIR 梳状滤波器(Comb Filter),具有多个等间隔的通带和阻带。

关键记忆:"输入 + 延迟"结构没有反馈支路,必为 FIR;$|1+z^{-M}|$ 型系统会在单位圆上产生 $M$ 个均匀零点,形成梳状幅频响应。这与 $y[n]=x[n]-x[n-N]$ 型(零点在 $z^N=1$)是两类最常用的数字梳状滤波器。

前面的 DTFT、DFT、Z 变换都在为滤波器服务。DTFT 给频率响应,DFT/FFT 给计算工具,Z 变换给系统函数和稳定性判据。滤波器把这些工具合成一个工程对象:给定指标,构造一个可实现系统。

如果继续深入,下一步通常会分成两条线:FIR 设计重在窗函数、线性相位和频率采样;IIR 设计重在模拟原型、频率变换和双线性变换。

复习速查:数字滤波器做题入口

数字滤波器的概念

滤波器

数字滤波器是对输入离散时间序列 $x(n)$ 进行运算、得到输出序列 $y(n)$ 的离散时间系统。它的任务不是"凭空产生新信号",而是按照给定频率选择规则保留、削弱或改变信号中的某些频率分量:低通保留低频,高通保留高频,带通保留某个频带,带阻抑制某个频带。

系统函数

数字滤波器通常被看成线性时不变系统。若输入为 $x(n)$、输出为 $y(n)$,则系统函数定义为 $H(z)=Y(z)/X(z)$。当 $H(z)$ 写成 $z^{-1}$ 的有理分式时,分子系数 $b_k$ 对应输入延迟项,分母系数 $a_k$ 对应输出反馈项。

差分方程

从系统角度看,滤波器可以同时用三种语言描述:时域里的差分方程,$z$ 域里的系统函数 $H(z)$,以及工程实现里的结构图。差分方程告诉我们每一拍怎样递推;系统函数告诉我们零点、极点和频率响应;结构图则回答"这些加法器、乘法器、延迟器应该怎样连接"。

一个 $N$ 阶 IIR 滤波器的系统函数和差分方程分别为

分子实现零点(对 $x(n)$ 的加权延迟),分母实现极点(对 $y(n)$ 的加权延迟,即反馈)。结构设计的核心问题就是:如何用最少存储单元、最少乘法、最稳定的数值特性来实现同一 $H(z)$。

滤波器的功能与实现

无论滤波器多复杂,实现它所需的基本运算只有三种:加法、乘常数、单位延迟。

结构表示法

实现滤波器必须回到系统框图与信号流图:方框图法从差分方程直接翻译,信号流图法更紧凑,便于结构推导与等价变换。详细的画法、三抽头示例、流图四要素与梅森公式见 离散时间系统的模拟与基本原理。

前一节回答了"实现滤波器需要哪些基本运算"。这一节回答"这些运算怎么组织起来"。同一个 $H(z)$ 可以对应许多不同结构--它们的频率响应完全相同,但延迟单元数、系数量化敏感度、内部状态动态范围和并行能力各不相同。

数字滤波器的结构按有没有反馈分成两大类:

同一个滤波器指标通常可以落到多种结构上。真正实现时,不是只问"哪个公式正确",而是问"这个平台上哪个结构更稳、更省、更容易调"。

数字滤波器除了有幅频特性,还有相频特性。如果相位响应不随频率线性变化,不同频率分量经过的延迟就不同,信号波形就会失真。这正是 FIR 滤波器不可替代的地方--它可以实现严格线性相位。

直观理解:FIR 的 $h[n]$ 只有有限个非零值,可以自由排列。只要让它关于中心对称,所有频率分量就会"等权"地经历相同的延迟,从而得到线性相位。IIR 滤波器因为存在反馈,$h[n]$ 无限长且受极点支配,无法关于某个中心对称,因此通常不能实现严格线性相位。