数字基带传输
- 理解数字基带信号的基本波形及其功率谱密度
- 掌握常用码型（NRZ、RZ、AMI、HDB₃）的编码规则与特性
- 核心： 掌握奈奎斯特第一准则——无码间串扰的时域条件和频域条件
- 理解余弦滚降与部分响应系统的设计思想
- 会计算基带系统的误码率，理解眼图的工程意义
- 了解时域均衡的基本原理
| 前置知识 | 本章内容 | 后续应用 |
|---|---|---|
| 随机信号分析（功率谱密度、高斯噪声） | 数字基带传输 | 数字载波传输（第6章） |
| 信道模型（加性噪声、信道失真） | 最佳接收（第8章） |
一句话概括本章： 数字信号不经过调制、直接在基带信道中传输时，如何设计波形、码型、滤波器，使得接收端能正确恢复原始数据。
基带传输：数字信号不经过调制，直接传输（局域网、短距离数字链路）。
频带传输：将数字信号调制到载波上再传输（无线通信、光通信）。
即使最终使用频带传输，基带传输理论仍然是分析调制系统的基础——因为任何调制都可以看作"基带成形 + 载波搬移"。
5.1.1 常见波形类型
消息代码的电表示就是数字基带信号。常见的六种波形：
| 波形 | "1" 的表示 | "0" 的表示 | 特点 |
|---|---|---|---|
| 单极性NRZ | 正电平 | 零电平 | 有直流分量，功耗大 |
| 双极性NRZ | 正电平 | 负电平 | 无直流分量，抗干扰强 |
| 单极性RZ | 正窄脉冲（占空比<1） | 零电平 | 有定时分量（过零点丰富） |
| 双极性RZ | 正窄脉冲 | 负窄脉冲 | 定时分量丰富 + 无直流 |
| 差分波形 | 电平跳变（或不跳） | 电平不变（或跳变） | 解决相位模糊问题 |
| 多电平波形 | 一个脉冲携带多比特 | — | 频带利用率高 |
NRZ vs RZ 的关键区别：
- NRZ（不归零）：脉冲占满整个码元周期 $T_s$。码元之间无间隙，接收端难以从中提取位同步时钟。
- RZ（归零）：脉冲只占码元周期的一部分（通常 50%），每个码元都有回到零电平的时刻。这些过零点包含了丰富的定时信息，有利于位同步提取。
5.1.2 基带信号的功率谱密度
为什么需要分析功率谱？ 因为实际通信中：
- 信道的频带是有限的，信号频谱必须"塞得进"信道带宽；
- 接收端需要从信号中提取位同步（时钟），这要求信号存在离散谱分量；
- 信道中可能有直流耦合问题，需要知道信号是否含有直流分量。
推导思路（了解推导框架即可，结论更重要）：
设二进制随机脉冲序列为：
其中 $a_n$ 以概率 $P$ 取 $g_1(t)$（代表"1"），以概率 $1-P$ 取 $g_2(t)$（代表"0"），$T_s$ 为码元宽度。
将 $s(t)$ 分解为两部分：
- 稳态波 $v(t)$：统计平均意义上的确定性周期信号 → 产生离散谱
- 交变波 $u(t)$：随机脉冲序列减去稳态波 → 产生连续谱
最终结论——随机基带序列的功率谱密度为：
其中 $f_s = 1/T_s$ 为码元速率，$G_1(f)$、$G_2(f)$ 分别是 $g_1(t)$、$g_2(t)$ 的傅里叶变换。
逐项理解：
| 项 | 含义 | 是否总存在 |
|---|---|---|
| 第一项 $f_s P(1-P)|G_1(f) - G_2(f)|^2$ | 连续谱（交变波贡献） | 只要 $G_1(f) \neq G_2(f)$ 就存在 |
| 第二项中的 $m=0$ 分量 | 直流分量（零频离散谱） | 不一定，取决于波形 |
| 第二项中的 $m \neq 0$ 分量 | $mf_s$ 处的离散线谱 | 不一定，取决于波形 |
离散谱的工程意义： 离散谱中的 $f_s$ 分量（$m=1$）对应位同步时钟频率。若离散谱存在，可用窄带滤波器直接提取定时信号。若不存在（如双极性NRZ等概情况），则需要通过非线性变换（如平方、微分整流）来"制造"离散谱。
5.2.1 码型选择原则
为什么需要码型变换？
原始的二进制代码（0/1）直接用单极性NRZ传输存在诸多问题：有直流分量（不适合交流耦合信道）、缺乏定时信息（长连"0"或连"1"时无法提取时钟）、没有检错能力。
好的传输码型应满足：
- 无直流分量，低频分量少（适合交流耦合信道）
- 含丰富的定时信息（便于提取位同步）
- 不受信源统计特性影响（无论数据中出现多少连0都不怕）
- 传输效率高（冗余尽量少）
- 具有内在检错能力
5.2.2 二元码
（1）单极性NRZ / 双极性NRZ
最基础的码型，前文已述。单极性NRZ有直流且无定时分量；双极性NRZ在等概时无离散谱。
（2）差分码（编码规则）
- 传号差分："1"时电平跳变，"0"时不变（或反过来）
- 优点：不怕极性反转，解决载波恢复中的"相位模糊"问题
（3）曼彻斯特码（数字双相码）
编码规则：0 → 01，1 → 10（每个码元中间必有一次跳变）
- ✅ 每个码元中间都有跳变 → 定时信息极其丰富
- ✅ 无直流分量（每个码元正负对称）
- ❌ 带宽翻倍（1B2B码，效率仅50%）
- 应用：以太网（IEEE 802.3 10BASE-T）
（4）CMI码
编码规则：0 → 01，1 → 00/11 交替
- 含丰富定时信息，无直流
- 应用于PCM四次群接口
1B2B类码型
曼彻斯特码、密勒码、CMI码都属于1B2B码——用2个二进制符号表示1个信息比特，效率 $\eta = 0.5$ bit/s/Hz。简单可靠，但浪费带宽。
5.2.3 三元码——重点！
（1）AMI码（传号交替反转码）
规则： "0"用零电平表示，"1"交替用 $+1$ 和 $-1$ 的归零脉冲表示。
消息代码： 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1
AMI码： +1 0 -1 0 +1 0 0 0 -1 0 +1 -1 +1优点：
- ✅ 正负脉冲交替 → 无直流分量，低频分量极小
- ✅ 具有检错能力（若出现两个连续同极性脉冲，说明有误码）
- ✅ 编译码简单
致命缺点： 长连"0"序列时，信号长期为零电平 → 无法提取定时信号。
（2）HDB₃码（3阶高密度双极性码）⭐
编码步骤（三步走）：
第一步： 按AMI规则编码，找出连续4个或以上"0"的段。
第二步： 每4个连0用一个取代节替换。取代节有两种：
B00V：当从上一个V脉冲到当前位置之间，非零脉冲的个数为偶数时使用000V：当非零脉冲的个数为奇数时使用
其中：
- B = 符合极性交替规律的传号（正常的 $+1$ 或 $-1$）
- V = 破坏点，故意违反极性交替规律，与前一非零脉冲同极性
第三步： V脉冲自身也要交替！所以需要B来"凑"奇数个非零脉冲，确保相邻V脉冲极性交替。
代码： 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1
AMI： -1 0 0 0 0 +1 0 0 0 0 -1 +1 0 0 0 0 -1 +1
HDB₃：-1 0 0 0 V +1 0 0 0 V -1 +1 B 0 0 V +1 -1
(-V=+1) (+V=+1) (B=-1,V=-1)译码方法： 在接收端，找到两个同极性的相邻非零脉冲，后一个就是V。V和它前面三个码元全部还原为0。
HDB₃的核心优势：
- 连0最多3个 → 定时信息始终存在
- V脉冲交替 → 整体仍无直流
- 广泛应用于PCM一、二、三次群（CCITT标准）
5.2.4 多元码
为了提高频带利用率，可以用多电平脉冲携带更多比特。
- M进制码：一个码元携带 $\log_2 M$ 个比特
- 2B1Q码：每2个比特映射为1个四电平符号，频带利用率翻倍
- 应用于ISDN用户线（144 kbps）
5.3.1 码间串扰（ISI）的成因
基带传输系统的模型：
设系统总的冲激响应为 $h(t)$（发送滤波器、信道、接收滤波器三者级联），发送序列为 $\{a_n\}$，则接收端抽样值为：
三项分别代表：
| 项 | 含义 |
|---|---|
| $a_k h(0)$ | 有用信号——第 $k$ 个码元在自身的抽样时刻的响应 |
| $\sum_{n \neq k} a_n h((k-n)T_s)$ | 码间串扰（ISI）——其他码元的"拖尾"在第 $k$ 个抽样时刻的叠加 |
| $n_R(kT_s)$ | 噪声——信道加性噪声经接收滤波器后的输出 |
5.3.2 奈奎斯特第一准则 ⭐⭐
时域条件
无码间串扰的充要条件——$h(t)$ 在 $t = 0$ 处不为零，在其余抽样时刻恰好为零：
频域条件（等效带宽判据）
时域条件等价于：系统的传递函数 $H(\omega)$ 满足：
解读： 将 $H(\omega)$ 以 $\frac{2\pi}{T_s}$（即 $2\pi f_s$，$f_s = 1/T_s$）为周期进行平移叠加，在 $|\omega| \leq \frac{\pi}{T_s}$ 范围内结果为一个常数 $T_s$。
5.3.3 理想低通滤波器
最简单的满足奈奎斯特准则的系统——理想低通滤波器：
其冲激响应为：
特性：
- 带宽 $W = f_s / 2$（称为奈奎斯特带宽）
- 最高无ISI码速率为 $R_B = 2W$（称为奈奎斯特速率）
- 频带利用率 $\eta = R_b / W = 2$ bit/s/Hz（二进制基带系统的理论上限）
致命问题：
- $h(t)$ 以 $1/t$ 衰减——衰减太慢，对定时误差极其敏感（抽样时刻稍有偏差，ISI就很大）
- 理想低通的矩形频率特性物理上不可实现（非因果系统）
5.3.4 余弦滚降滤波器
设计思路
在理想低通的基础上，将锐截止的边缘"磨圆"——引入过渡带，使 $H(f)$ 变得物理可实现，同时仍满足奈奎斯特准则。
频率特性： 以理想低通截止频率 $f_N = f_s/2$ 为中心，向两侧展开过渡带。滚降系数定义为：
其中 $f_\Delta$ 是过渡带的宽度。系统实际占用带宽为：
频带利用率：
| 滚降系数 $\alpha$ | 带宽 $B$ | 频带利用率 $\eta$ | 特点 |
|---|---|---|---|
| $\alpha = 0$ | $f_N$ | 2 Baud/Hz | 理想低通，不可实现 |
| $\alpha = 0.5$ | $1.5 f_N$ | 4/3 Baud/Hz | 工程常用折中 |
| $\alpha = 1$ | $2 f_N$ | 1 Baud/Hz | 升余弦滚降，最易实现 |
理想低通 vs 余弦滚降总结：
| 对比项 | 理想低通 | 余弦滚降 |
|---|---|---|
| 频带利用率 | 最高（2 Baud/Hz） | 低于理论值（$\frac{2}{1+\alpha}$） |
| 时域衰减速度 | 慢（$1/t$） | 快（$1/t^3$） |
| 对定时抖动的敏感度 | 极高 | 较低 |
| 物理可实现性 | 不可实现 | 可实现 |
5.4.1 设计动机
理想低通利用率高但对定时敏感、难以实现；余弦滚降容易实现但利用率低。部分响应系统巧妙地解决了这个矛盾：
目标： 频带利用率达到理论最大值 2 Baud/Hz，同时时域衰减快，对定时精度要求低。
5.4.2 第I类部分响应系统
形成方法： 将相邻两个理想低通的 $\text{sinc}$ 脉冲相加，形成新的波形 $g(t)$：
这个波形的频谱为：
码间串扰的规律： 在 $kT_s$ 时刻抽样，得到：
即第 $k$ 个码元的抽样值只受前一个码元 $a_{k-1}$ 的影响（确定的ISI），不受更早码元的影响。
消除ISI的方法——预编码 + 模2判决：
预编码（发送端）：
其中 $\oplus$ 为模2加法（异或），$b_k$ 为预编码后的序列。
相关编码：
模2判决（接收端）：
编码示例：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $a_k$ | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| $b_{k-1}$ | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| $b_k$ | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| $c_k$ | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| $[c_k]_{\text{mod2}}$ | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
5.4.3 第IV类部分响应系统
波形： 用两个错开 $2T_s$ 的 sinc 脉冲相减：
抽样值：$c_k = b_k - b_{k-2}$
特点： 频谱无直流分量（因为 $G(0) = 0$），适合不能传直流的信道。
5.5.1 分析框架
假设系统已满足无ISI条件（奈奎斯特准则），只考虑加性高斯白噪声的影响。
设接收滤波器输出端噪声 $n_R(t)$ 为零均值高斯随机变量，方差 $\sigma_n^2 = n_0 B$（$n_0$ 为噪声单边功率谱密度，$B$ 为接收滤波器等效带宽）。
5.5.2 双极性信号的误码率
发送 $+A$（"1"）和 $-A$（"0"），等概 $P(0) = P(1) = 1/2$。
接收端抽样值 $V$ 服从高斯分布：
- 发"1"时：$V \sim \mathcal{N}(+A, \sigma_n^2)$
- 发"0"时：$V \sim \mathcal{N}(-A, \sigma_n^2)$
最佳判决门限（令误码率最小）：$V_d^* = 0$（等概时门限在两个信号电平的中点）
误码率：
其中 $\text{erfc}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^{\infty} e^{-t^2} dt$ 为互补误差函数，$Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_x^{\infty} e^{-t^2/2} dt$。
5.5.3 单极性信号的误码率
发送 $A$（"1"）和 $0$（"0"），等概时：
5.5.4 影响误码率的因素
- 信号功率越大 → $P_e$ 越小
- 噪声功率越小 → $P_e$ 越小
- 码间串扰越小 → $P_e$ 越小
- 位同步抖动越小 → $P_e$ 越小
- 码速率越低 → 接收滤波器带宽可做得更窄 → 噪声功率更小 → $P_e$ 越小
5.6.1 什么是眼图
定义： 用示波器将接收滤波器输出的多个码元波形叠加显示，当无ISI时图形像一只张开的眼睛，故称"眼图"。
做法： 示波器跨接在接收滤波器输出端，水平扫描周期调整为码元周期 $T_s$ 的整数倍——于是所有码元波形重叠在一起。
5.6.2 从眼图能读出什么
| 眼图参数 | 对应系统性能 |
|---|---|
| 眼睛张开的最大高度 | 噪声容限（张开越大，抗噪声能力越强） |
| 眼睛张开的最大宽度 | 定时误差容限（越宽，对位同步抖动越不敏感） |
| 眼图中心的横轴位置 | 最佳判决门限电平 |
| 眼图中心的垂直线 | 最佳抽样时刻 |
| 眼图斜边的斜率 | 对定时误差的敏感度（越陡，越敏感） |
| 眼图的"眼角"厚度 | 噪声和ISI的严重程度 |
5.7.1 为什么需要均衡
实际系统中，信道特性不是理想的（有设计误差、信道会变化），即使发送/接收滤波器设计得再好，抽样时刻仍会存在ISI。
均衡器的作用
均衡器就是插入在接收滤波器之后的一个可调滤波器，用来补偿系统的不理想特性，使最终的输出尽量满足无ISI条件。
5.7.2 横向滤波器（时域均衡器的基本结构）
横向滤波器由 $2N+1$ 个抽头组成，每个抽头有可调增益 $C_n$：
其中 $x(t)$ 是均衡器的输入（有ISI的信号），$y(t)$ 是均衡后的输出。
设计目标： 调整 $C_n$ 使 $y(t)$ 在抽样时刻满足无ISI条件。
5.7.3 均衡效果的衡量指标
峰值畸变：
均方畸变：
5.7.4 均衡器的实现
- 预置式自动均衡： 发送端定期发送测试脉冲，接收端根据迫零原理调整抽头增益（精度与调整时间的矛盾）
- 自适应均衡： 在正常数据传输期间，利用信号本身来实时调整，无需专门测试信号。实际系统中广泛使用。
核心公式
| 内容 | 公式 |
|---|---|
| 功率谱密度 | $P_s(f) = f_s P(1-P)|G_1 - G_2|^2 + f_s^2 \sum|P G_1 + (1-P)G_2|^2 \delta(f - mf_s)$ |
| 奈奎斯特时域条件 | $h(kT_s) = 0,\; k \neq 0$ |
| 奈奎斯特频域条件 | $\sum_i H(\omega + 2\pi i / T_s) = T_s,\; |\omega| \leq \pi/T_s$ |
| 余弦滚降带宽 | $B = \frac{R_B}{2}(1 + \alpha)$ |
| 频带利用率 | $\eta = \frac{2}{1 + \alpha}$ Baud/Hz |
| 双极性误码率 | $P_e = Q(A / \sigma_n)$ |
| 单极性误码率 | $P_e = Q(A / 2\sigma_n)$ |
关键概念速记
| 概念 | 一句话 |
|---|---|
| 基带传输 | 不经调制直接传输数字信号 |
| 码间串扰（ISI） | 前后码元的波形拖尾在抽样时刻的叠加 |
| 奈奎斯特准则 | 平移叠加后为常数 → 无ISI |
| 余弦滚降 | 理想低通的"磨圆版"，牺牲带宽换可实现性 |
| 部分响应 | 有控制的ISI + 预编码消除 = 高利用率 |
| AMI | "1"交替正负脉冲，无直流，但怕连0 |
| HDB₃ | AMI + 连0限制（取代节），工程实用 |
| 眼图 | 多码元叠加观察ISI和噪声 |
| 均衡 | 可调滤波器补偿信道不理想 |
本章逻辑链
数字基带信号波形 → 功率谱分析（频域特征）
↓
码型设计（AMI/HDB₃解决直流和定时问题）
↓
传输 → ISI问题 → 奈奎斯特准则（无ISI条件）
↓
余弦滚降（实用化） / 部分响应（高效率）
↓
噪声影响 → 误码率分析
↓
工程评估 → 眼图（定性） / 均衡（定量补偿）