最佳接收

课程：现代通信原理（中南大学 · 尹林子），教材：《通信原理（第2版）》王琪等。

核心问题：在有噪声的信道中，接收端怎样做才能尽可能少犯错？

学完本章后，你应该能够回答以下问题：

• 为什么接收问题本质上是一个统计判决问题？
• 最小差错概率准则如何推出最大似然准则？"谁大判谁"的直觉背后的数学依据是什么？
• 二进制确知信号的最佳接收机长什么样？为什么它是"最佳"的？
• 匹配滤波器的冲激响应为什么是信号的镜像翻转？它的输出信噪比为什么最大？
• 匹配滤波器和相关器有什么关系？它们可以互相替代吗？
• 什么是最佳基带传输系统？发送滤波器和接收滤波器应该怎么分配？

在实际通信系统中，信号经过信道后不可避免地叠加上噪声。接收端面对的是 $y(t) = s(t) + n(t)$——一个信号和噪声的混合物。问题来了：

这本质上是一个从含噪观测中做推断的问题。既然噪声是随机的，接收就不可能有 100% 的把握——总有判错的概率。那么，我们的目标就变成了：在所有可能的接收方式中，找到使判错概率最小的那个方案。这就是"最佳接收"的出发点。

本章的思路链条：

统计判决模型

通信过程可以抽象为四个"空间"之间的映射：

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似然函数

假设发送 $s_i(t)$ 时，接收到的 $y(t)$ 服从高斯分布——均值是 $s_i(t)$（因为噪声均值为 0），方差由噪声决定。

在发送 $s_i(t)$ 的条件下，$y(t)$ 的概率密度函数称为似然函数，记为 $f_{s_i}(y)$。

对于二进制系统（发送 $s_1(t)$ 或 $s_2(t)$），似然函数的含义是：

最小差错概率准则

假设发送 $s_1$ 的先验概率为 $P(s_1)$，发送 $s_2$ 的先验概率为 $P(s_2)$。总差错概率为：

其中 $P(s_2|s_1)$ 是发了 $s_1$ 却被判为 $s_2$ 的概率（漏报），$P(s_1|s_2)$ 是发了 $s_2$ 却被判为 $s_1$ 的概率（误报）。

经过推导（将差错概率用似然函数在判决区域的积分表示，然后对判决边界求极值），得到最优判决规则：

读法：如果似然比大于阈值 $P(s_2)/P(s_1)$，就判为 $s_1$；否则判为 $s_2$。

这就是最大后验概率（MAP）准则。

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最大似然准则（ML）

实际中最常见的情况：先验等概，即 $P(s_1) = P(s_2) = \frac{1}{2}$。

此时阈值 $P(s_2)/P(s_1) = 1$，判决规则简化为：

即：哪个似然函数大，就判为哪个信号。这就是最大似然（ML）准则，俗称"谁大判谁"。

推广到 $m$ 进制（$m$ 个信号先验等概、等能量）：

什么是确知信号？

本章重点讨论确知信号（恒参信道条件）。

二进制确知信号的最佳接收机结构

已知条件：两个确知信号 $s_1(t)$、$s_2(t)$，在码元周期 $(0, T)$ 内能量相等：

噪声 $n(t)$ 为高斯白噪声，均值为 0，单边功率谱密度为 $n_0$。

推导思路：将高斯白噪声的似然函数代入 MAP 准则，取对数化简后得到判决规则：

接收机结构（先验等概时，右端阈值为 0）：

接收信号 $y(t)$ 分别与本地模板 $s_1(t)$、$s_2(t)$ 做相关运算（相乘+积分），在 $t = T$ 时刻比较两个相关值，大的那个对应的信号即为判决结果。

误码率性能

先验等概、等能量条件下的误码率公式为：

其中 $\rho$ 是两信号之间的相关系数：

$\rho$ 的取值范围是 $[-1, 1]$，它刻画了两个信号的"相似程度"。

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二进制确知信号的最佳形式

从误码率公式可以看出，$P_e$ 完全由 $\frac{E_b(1-\rho)}{n_0}$ 决定。要使 $P_e$ 最小，就要让 $(1-\rho)$ 最大，即让 $\rho = -1$。

三种典型情况对比：

为什么需要匹配滤波器？

在上面的最佳接收机中，我们用相关器（乘法+积分）来实现最优判决。但相关器需要知道信号的精确波形，实现起来不太方便。

换个角度思考：接收信号 $y(t) = s(t) + n(t)$ 经过一个线性滤波器 $h(t)$ 后，输出为 $s_0(t) + n_0(t)$。如果存在一种滤波器，能在某个采样时刻 $t_0$ 使输出信噪比（SNR）最大化，那我们就可以用一个简单的"采样+比较"来做判决。

这就是匹配滤波器的设计动机。

匹配滤波器的推导

目标：设计滤波器 $H(\omega)$，使得在 $t = t_0$ 时刻输出信噪比最大：

已知：输入信号频谱为 $S(\omega)$，噪声为白噪声 $P_n(\omega) = n_0/2$。

输出信号在 $t_0$ 时刻的值为：

输出噪声功率为：

代入信噪比表达式后，利用施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式：

等号成立条件为：

其中 $k$ 为任意常数。

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匹配滤波器的时域解释

对上式做傅里叶反变换，得到冲激响应：

最大输出信噪比

将最优 $H(\omega)$ 代回 SNR 表达式，得到：

其中 $E = \int_{-\infty}^{+\infty} s^2(t)\,dt$ 是输入信号的能量。

匹配滤波器的输出波形

输出信号 $s_0(t)$ 是输入信号与冲激响应的卷积：

其中 $R_s(\cdot)$ 是 $s(t)$ 的自相关函数。

结论：匹配滤波器的输出波形是输入信号自相关函数的 $k$ 倍。在 $t = t_0$ 时刻（自相关函数的峰值），输出达到最大。

匹配滤波器与相关器的等价性

在 $t = T$（码元结束时刻）采样：

这和最佳接收机中相关器的输出完全一致！

因此，匹配滤波器可以代替相关器构成最佳接收机：接收信号 $y(t)$ 分别通过冲激响应为 $h_1(t) = s_1(T-t)$ 和 $h_2(t) = s_2(T-t)$ 的匹配滤波器，在 $t=T$ 时刻采样比较。

物理可实现条件

匹配滤波器必须满足因果性：$t < 0$ 时 $h(t) = 0$。

由 $h(t) = s(t_0 - t)$，要求 $s(t) = 0$（$t > t_0$），即信号必须在 $t_0$ 之前结束。对于持续期为 $(0, T)$ 的码元信号，取 $t_0 = T$（码元结束时刻）即可。

实际实现方式：LC 谐振式动态滤波器、数字滤波器、声表面波滤波器等。

定义与目标

最佳基带传输系统 = 消除码间串扰（ISI）+ 抗噪声性能最优。

系统模型：发送滤波器 $G_T(\omega)$ → 信道 $C(\omega)$ → 接收滤波器 $G_R(\omega)$。

理想信道下的最佳基带系统

当信道特性理想时（$C(\omega) = 1$），系统总传输特性为：

为消除 ISI，$H(\omega)$ 应满足奈奎斯特第一准则。

为使抗噪声性能最优，接收滤波器应为发送滤波器的匹配滤波器：

综合两个要求，解得：

{{< docpage "pdf/通信原理/第八章.pdf" page=5 title="最佳基带系统收发滤波器设计" mode="ref" >}}

最佳基带系统的误码率

设输入为 $L$ 电平信号，相邻电平间距为 $2d$，判决门限设在 $0, \pm 2d, \pm 4d, \ldots$。

输出噪声方差为 $\sigma^2 = n_0 / (4\pi) \int |G_R(\omega)|^2\,d\omega$。

误码率：

其中 $d$ 与码元平均能量 $E_s$ 的关系为：

当 $L = 2$（二进制）时简化为：

非理想信道下的最佳基带系统

当 $C(\omega) \neq 1$ 时，匹配滤波器给出 $G_R(\omega) = G_T^*(\omega)C^*(\omega)e^{-j\omega T}$，但此时 $G_T \cdot C \cdot G_R$ 一般不满足奈奎斯特准则，仍有 ISI。

解决方法：在匹配滤波器后插入横向滤波器（时域均衡器），强制消除码间串扰，同时保持匹配滤波器的最优抗噪性能。

随相信号

相位 $\varphi$ 未知且服从均匀分布。此时似然函数不是确定值，需对相位积分求平均：

积分结果中出现零阶修正贝塞尔函数 $I_0(\cdot)$（单调递增），因此判决规则等价为比较包络值 $M_1$ 和 $M_2$。

接收机结构：匹配滤波器 + 包络检波器 + 比较。

性能（先验等概、等能量正交）：

起伏信号

振幅服从瑞利分布，相位均匀分布（对应瑞利衰落/快衰落信道）。接收机结构与随相信号相同（比较包络值），但误码率更差：