差错控制编码｜通信原理笔记

2026/05/24 16:50:00

课程通信原理·20 min read

通信原理差错控制编码线性分组码循环码课程笔记

导论

学习目标

理解码距、最小码距与检纠错能力的关系
掌握奇偶监督码、二维奇偶监督码、恒比码等简单编码
重点掌握线性分组码的监督矩阵 $\mathbf{H}$ 、生成矩阵 $\mathbf{G}$ 、校正子译码全流程
理解汉明码的构造原理，能完成 $$(7,4)$$ 汉明码的编解码
掌握循环码的生成多项式与多项式除法编码方法

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§9.1

引言：为什么需要差错控制编码

在数字通信中，无论信道质量多好，加性噪声始终不可避免。当误码无法仅靠均衡消除时，就需要引入差错控制编码——在信息码元中人为插入监督（校验）码元，以降低有效信息速率为代价，换取传输可靠性的提升。

信道类型

按错码分布规律分为三类：

类型	特征	典型原因
随机信道	错码独立、随机出现	白噪声
突发信道	错码成串集中出现	脉冲干扰
混合信道	两者兼有	实际信道

差错控制方法

ARQ（检错重发）：接收端只检错，发现错误后请求重发。需要反向信道，适合非实时数据传输。
FEC（前向纠错）：接收端自行纠错，不需要反向信道，适合实时通信。
HEC（混合纠错）：先尝试纠错，纠不了再请求重发。
反馈校验法、差错删除法等。

核心思想：用"冗余"换"可靠"。定义多余度为增加的码元数除以总码元数，即

$(n-k)/n$

。

§9.2

纠错编码的基本原理

9.2.1 分组码的基本概念

分组码 $$(n, k)$$ ：将每 $$k$$ 位信息码元附加 $$r = n - k$$ 位监督码元，组成 $$n$$ 位码组。监督码元仅监督本码组中的信息码元。

编码效率 $$R = k/n$$ ，即信息位占总码长的比例。

9.2.2 码重与码距

码重（汉明重量）：码组中非零码元（即"1"）的数目。例如 $$10110$$ 的码重为 3。
码距（汉明距离）：两个码组在对应位上取值不同的位数。例如 $$10110$$ 与 $$01101$$ 的码距为 4。

一个码组的集合中，所有两两码距的最小值称为最小码距 $d_{\min}$ 。它是衡量码的检纠错能力的核心参数。

9.2.3 最小码距与检纠错能力 ⭐

这是本章最重要的定理之一。理解它的关键是几何直觉：码字是 $$n$$ 维空间中的点，码距就是点之间的距离。点离得越远，越容易区分——即使其中某个点发生了"偏移"（错误），只要偏移不大，仍能被正确识别。

类比理解

把码字想象成地图上的城市。如果城市之间距离很远，那么即使你走错了一段路（误码），仍然能判断出你原本想去的城市。最小码距就是最近两座城市之间的距离。

三条结论：

\boxed{d_{\min} \geq e + 1 \quad \text{（检测 } e \text{ 个错码）}}

\boxed{d_{\min} \geq 2t + 1 \quad \text{（纠正 } t \text{ 个错码）}}

\boxed{d_{\min} \geq e + t + 1 \quad \text{（同时纠 } t \text{、检 } e \text{ 个错码，} e > t）}

为什么？

检测 $$e$$ 个错码：发送码字 $\mathbf{A}$ ，错 $$e$$ 位后变成非码字 $\mathbf{A'}$ 。只要 $\mathbf{A'}$ 不是任何其他合法码字，接收端就能发现"出错了"。最近合法码字与 $\mathbf{A}$ 距离至少 $d_{\min}$ ，所以错 $d_{\min} - 1$ 位以内都不会碰到另一个码字。令 $e = d_{\min} - 1$ ，得第一条。
纠正 $$t$$ 个错码：要能从错误码字唯一还原出发送码字，要求"错误球"与"错误球"之间不重叠，因此需要 $$2t$$ 个距离来隔开相邻码字，再加 1 得到 $$2t + 1$$ 。

例题：最小码距的应用

某码的最小码距 $d_{\min} = 5$ ，则最多检测 $$5-1=4$$ 个错码，最多纠正 $\lfloor(5-1)/2\rfloor = 2$ 个错码。

编码的效果：以 $$(4,3)$$ 偶监督码为例，设信道误码率 $$p = 0.001$$ 。未编码时单码元出错概率就是 $10^{-3}$ ；编码后，只有偶数个错码（至少2个）才检测不出来：

P_e = C_4^2 p^2(1-p)^2 + C_4^4 p^4 \approx 6 \times 10^{-6}

误码率降低了约三个数量级！

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§9.3

常用的简单编码

9.3.1 奇偶监督码

是什么：在 $$n-1$$ 位信息后加 1 位监督位，使码组中"1"的总数为偶数（偶校验）或奇数（奇校验）。

偶校验方程： $a_{n-1} \oplus a_{n-2} \oplus \cdots \oplus a_1 \oplus a_0 = 0$

接收端重新计算上述异或和，结果为 0 表示无误。

局限性：只能检测奇数个错误。若同时翻转 2 位、4 位……奇偶性不变，无法发现。因此

d_{\min} = 2

，适用于检测随机错误。

9.3.2 二维奇偶监督码（水平垂直奇偶监督码）

将信息排成矩阵，每行加一个水平校验位、每列加一个垂直校验位。这样形成一个"交叉校验网"。

能检测大多数偶数个错误（因为行列两个方向同时校验）。
但仍无法检测构成矩形的 4 个错码。
适用于检测突发错码。

9.3.3 恒比码

从固定码长的码组中，选取"1"和"0"个数之比为恒定值的码组作为许用码组。例如我国电传通信中的"5 中取 3 码"：5 位码组中必须有 3 个"1"，共 $$C_5^3 = 10$$ 种，恰好表示 0–9 十个数字。

能发现所有 1 位错误和所有奇数个错误（因为 1 位翻转改变了"1"的个数，破坏了恒比关系）。

§9.4

线性分组码（本章核心 ⭐⭐）

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9.4.1 为什么需要线性分组码

奇偶监督码只有 1 位监督位，只能判断"有没有错"，不能定位错在哪。如果我们有 $$r$$ 位监督位，校正子 $$S$$ 就有 $$2^r$$ 种组合，其中 1 种表示无错，其余 $$2^r - 1$$ 种可以标识不同错误位置。要纠正一位错码（码长 $$n$$ ，信息位 $$k$$ ），需要满足：

\boxed{2^r \geq n + 1 \quad \Longleftrightarrow \quad 2^r \geq n = k + r}

汉明不等式：它告诉我们

$r$

位监督位最多能给多少位码元做纠错。

9.4.2 监督矩阵 $\mathbf{H}$

线性分组码的核心思想：用线性方程组来定义监督关系。

以 $$(7, 4)$$ 码为例，设 3 位监督位 $$a_2, a_1, a_0$$ ，4 位信息位 $$a_6, a_5, a_4, a_3$$ ，规定如下监督关系（偶数监督）：

\begin{cases} S_1 = a_6 \oplus a_5 \oplus a_4 \oplus a_2 = 0 \\ S_2 = a_6 \oplus a_5 \oplus a_3 \oplus a_1 = 0 \\ S_3 = a_6 \oplus a_4 \oplus a_3 \oplus a_0 = 0 \end{cases}

把系数提出来，写成矩阵形式 $\mathbf{H} \cdot \mathbf{A}^T = \mathbf{0}^T$ ：

\mathbf{H} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = [\mathbf{P} \quad | \quad \mathbf{I}_r]

其中 $\mathbf{P}$ 是 $r \times k$ 矩阵， $\mathbf{I}_r$ 是 $$r$$ 阶单位阵。具有 $[\mathbf{P} \mid \mathbf{I}_r]$ 形式的 $\mathbf{H}$ 称为典型监督矩阵。

解读：

\mathbf{H}

的每一行就是一个监督方程的系数。只要码字

\mathbf{A}

满足

\mathbf{H}\mathbf{A}^T = \mathbf{0}

，它就是合法码字。

9.4.3 生成矩阵 $\mathbf{G}$

从监督方程出发，可以解出监督位与信息位的线性关系：

[a_2, a_1, a_0] = [a_6, a_5, a_4, a_3] \cdot \mathbf{Q}

其中 $\mathbf{Q} = \mathbf{P}^T$ （ $\mathbf{P}$ 的转置）。由此得到生成矩阵：

\mathbf{G} = [\mathbf{I}_k \quad | \quad \mathbf{Q}] = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}

编码操作非常简单：

\mathbf{A} = [a_6, a_5, a_4, a_3] \cdot \mathbf{G}

理解生成矩阵 $\mathbf{G}$

$\mathbf{G}$ 的每一行本身就是一个合法码字。 $$k$$ 个线性无关的行向量张成整个码字空间——任意信息组合与 $\mathbf{G}$ 相乘，就得到对应的码字。这就是"生成"的含义。

系统码： $\mathbf{G}$ 具有 $[\mathbf{I}_k \mid \mathbf{Q}]$ 形式时，码字前 $$k$$ 位就是原始信息，后 $$r$$ 位是计算出的监督位。信息位保持不变地出现在码字中，方便提取。

9.4.4 校正子（伴随式）译码 ⭐

译码过程是编码的"逆操作"，分三步：

第一步：计算校正子

设发送码字 $\mathbf{A}$ ，接收码字 $\mathbf{B}$ ，错误图样 $\mathbf{E} = \mathbf{B} - \mathbf{A} = \mathbf{B} \oplus \mathbf{A}$ （模2加法）。计算校正子：

\mathbf{S} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{H}^T = (\mathbf{A} \oplus \mathbf{E}) \cdot \mathbf{H}^T = \mathbf{A} \cdot \mathbf{H}^T + \mathbf{E} \cdot \mathbf{H}^T = \mathbf{E} \cdot \mathbf{H}^T

因为 $\mathbf{A}$ 是合法码字， $\mathbf{A}\mathbf{H}^T = \mathbf{0}$ 。所以校正子只与错误图样有关，与发送什么码字无关！

第二步：由校正子确定错误位置

在校正子表中查找 $\mathbf{S} = (S_1, S_2, S_3)$ 对应的错码位置。以 $$(7,4)$$ 码为例：

$$S_1 S_2 S_3$$	错码位置	$$S_1 S_2 S_3$$	错码位置
001	$$a_0$$	101	$$a_4$$
010	$$a_1$$	110	$$a_5$$
100	$$a_2$$	111	$$a_6$$
011	$$a_3$$	000	无错

第三步：纠正：将出错位取反即可恢复原始码字。

例题：校正子译码

收到码组 $$0000011$$ ，计算：

$S_1 = 0 \oplus 0 \oplus 0 \oplus 0 = 0$
$S_2 = 0 \oplus 0 \oplus 0 \oplus 1 = 1$
$S_3 = 0 \oplus 0 \oplus 0 \oplus 1 = 1$

校正子为 $$011$$ ，查表知 $$a_3$$ 位出错。纠正后码字为 $$0001011$$ 。

9.4.5 线性码的性质

封闭性：任意两个合法码字之和（模2）仍为合法码字。
推论：任意两个码字的码距等于第三个码字的码重，因此最小码距 = 非零码的最小重量。
线性码又称群码（在模2加法下构成 Abel 群）。

§9.5

汉明码

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9.5.1 汉明码是什么

汉明码是一种能纠正单个错误的线性分组码，且在满足这个条件的前提下编码效率最高——被称为"高效码"。

9.5.2 参数特征

给定监督位数 $$r$$ ：

\text{码长}：n = 2^r - 1, \qquad \text{信息位}：k = 2^r - 1 - r, \qquad d_{\min} = 3

所以汉明码能纠正 1 位错码或检测 2 位错码。

常见汉明码： $$r=3$$ 时为 $$(7,4)$$ 码， $$r=4$$ 时为 $$(15,11)$$ 码。

9.5.3 $$(7,4)$$ 汉明码完整编解码示例

编码过程

信息位 $$a_6 a_5 a_4 a_3 = 1001$$ ，代入监督方程：

a_2 = a_6 \oplus a_5 \oplus a_4 = 1 \oplus 0 \oplus 0 = 1

a_1 = a_6 \oplus a_5 \oplus a_3 = 1 \oplus 0 \oplus 1 = 0

a_0 = a_6 \oplus a_4 \oplus a_3 = 1 \oplus 0 \oplus 1 = 0

编码输出： $$1001100$$ 。

译码过程

假设接收 $$1101100$$ （ $$a_5$$ 位出错），计算校正子：

S_1 = 1 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 1 = 1, \quad S_2 = 1 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 0 = 1, \quad S_3 = 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 0 = 0

校正子 $$110$$ ，查表知 $$a_5$$ 出错，取反纠正后恢复 $$1001100$$ 。✅

§9.6

循环码

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9.6.1 循环码的特点

循环码是线性分组码的子类，除了具有封闭性外，还有一个独特的循环性：任意许用码组循环移位（左移或右移）后，仍然是许用码组。

类比理解

循环码像一组旋转对称的图案——不管转多少度，看到的仍是集合中的某个图案。

这个特性使得循环码可以用多项式来表示和处理，极大地简化了编码和译码的硬件实现（移位寄存器即可完成）。

9.6.2 码多项式与模运算

将码组 $a_{n-1} a_{n-2} \cdots a_1 a_0$ 表示为多项式：

T(x) = a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0

系数取 0 或 1，加法为模 2 运算（即异或）。例如码组 $$1100101$$ 对应 $$T(x) = x^6 + x^5 + x^2 + 1$$ 。

循环移位对应多项式的乘 $$x$$ 运算（模 $$x^n + 1$$ ）。一个长为 $$n$$ 的循环码的所有码多项式都是模 $$x^n + 1$$ 运算下的余式。

9.6.3 生成多项式 $$g(x)$$ ⭐

循环码中存在一个唯一的生成多项式 $$g(x)$$ ，满足：

$$g(x)$$ 是 $$x^n + 1$$ 的一个 $$(n-k)$$ 次因式
$$g(x)$$ 的常数项不为零
所有码多项式 $$T(x)$$ 都能被 $$g(x)$$ 整除

如何找 $$g(x)$$ ：对

$x^n + 1$

做因式分解，选取其中一个

$(n-k)$

次因式。

例题：求生成多项式

构造 $$(7,4)$$ 循环码（ $$n=7$$ ， $$k=4$$ ， $$r=3$$ ）。

$$x^7 + 1 = (x+1)(x^3+x+1)(x^3+x^2+1)$$

需选取一个 3 次因式，有两个选择：

$$g(x) = x^3 + x + 1$$
$$g(x) = x^3 + x^2 + 1$$

选不同的因式就得到不同的 $$(7,4)$$ 循环码。

9.6.4 编码方法（三步法）

给定信息多项式 $$m(x)$$ （次数 $\leq k-1$ ），编码步骤：

左移： $m(x) \cdot x^{n-k}$ （为监督位腾出空间）
求余： $\frac{m(x) \cdot x^{n-k}}{g(x)} = Q(x) \cdots\cdots r(x)$ ，得余式 $$r(x)$$
拼接： $T(x) = m(x) \cdot x^{n-k} + r(x)$

为什么这样能保证是合法码字？ 因为

T(x) = m(x) \cdot x^{n-k} + r(x) = Q(x) \cdot g(x) + r(x) + r(x) = Q(x) \cdot g(x)

（模2下

$r(x) + r(x) = 0$

），即

$T(x)$

是

$g(x)$

的倍式，必为合法码字。

计算示例

信息位 $$m = 1100$$ （即 $$m(x) = x^3 + x^2$$ ）， $$g(x) = x^3 + x + 1$$ 。

$m(x) \cdot x^3 = x^6 + x^5$
$(x^6 + x^5) \div (x^3 + x + 1)$ ：余数 $$r(x) = x$$ （即 $$010$$ ）
$$T(x) = x^6 + x^5 + x$$ ，对应码字 $$1100010$$

9.6.5 译码方法

译码比编码复杂，分三步：

计算校正子：用 $$g(x)$$ 除接收多项式 $$B(x)$$ ，得余式 $$S(x)$$ 。若 $$S(x) = 0$$ ，无误码。
确定错误图样：根据校正子查表确定错误位置。
纠正：将错误位取反。

校正子的计算基础：设 $$B(x) = T(x) + E(x)$$ ，则 $S(x) = B(x) \mod g(x) = E(x) \mod g(x)$ 。校正子只与错误图样 $$E(x)$$ 有关。

9.6.6 缩短循环码

将 $$(n, k)$$ 循环码去掉前 $$i$$ 个信息位（全零），得到 $$(n-i, k-i)$$ 码。例如 $$(15,11)$$ 缩短为 $$(12,8)$$ 。

缩短后监督位数不变，因此最小码距至少不变，纠错能力不降低。但码不再是严格的循环码。

总结

复习速查表

概念	公式 / 要点
分组码 $$(n,k)$$	$$n$$ = 总码长， $$k$$ = 信息位， $$r = n-k$$ = 监督位
编码效率	$$R = k/n$$
码重	码组中"1"的个数
码距	两码组对应位不同的位数
检错 $$e$$ 位	$d_{\min} \geq e + 1$
纠错 $$t$$ 位	$d_{\min} \geq 2t + 1$
纠 $$t$$ 检 $$e$$	$d_{\min} \geq e + t + 1$ （ $$e > t$$ ）
奇偶监督码	$d_{\min}=2$ ，检奇数个错
汉明不等式	$2^r \geq n + 1$
监督矩阵	$\mathbf{H} = [\mathbf{P} \mid \mathbf{I}_r]$ ，满足 $\mathbf{H}\mathbf{A}^T = \mathbf{0}$
生成矩阵	$\mathbf{G} = [\mathbf{I}_k \mid \mathbf{Q}]$ ， $\mathbf{Q} = \mathbf{P}^T$
校正子	$\mathbf{S} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{H}^T = \mathbf{E} \cdot \mathbf{H}^T$ （只与错误图样有关）
汉明码	$$n = 2^r - 1$$ ， $$k = n - r$$ ， $d_{\min} = 3$ ，纠1位错
循环码生成多项式	$$g(x)$$ 是 $$x^n + 1$$ 的 $$(n-k)$$ 次因式
循环码编码	$T(x) = m(x) \cdot x^{n-k} + [m(x) \cdot x^{n-k} \mod g(x)]$
循环码译码	$S(x) = B(x) \mod g(x)$ ，查表纠错

本章知识主线：码距 → 检纠错能力界限 → 简单编码（奇偶校验）→ 线性分组码（矩阵描述）→ 汉明码（高效纠1位错）→ 循环码（多项式描述，硬件友好）。每一步都是前一步的推广和系统化。

差错控制编码

信道类型

差错控制方法

9.2.1 分组码的基本概念

9.2.2 码重与码距

9.2.3 最小码距与检纠错能力 ⭐

类比理解

例题：最小码距的应用

9.3.1 奇偶监督码

9.3.2 二维奇偶监督码（水平垂直奇偶监督码）

9.3.3 恒比码

9.4.1 为什么需要线性分组码

9.4.2 监督矩阵 $\mathbf{H}$

9.4.3 生成矩阵 $\mathbf{G}$

理解生成矩阵 $\mathbf{G}$

9.4.4 校正子（伴随式）译码 ⭐

例题：校正子译码

9.4.5 线性码的性质

9.5.1 汉明码是什么

9.5.2 参数特征

9.5.3 $(7,4)$ 汉明码完整编解码示例

编码过程

译码过程

9.6.1 循环码的特点

类比理解

9.6.2 码多项式与模运算

9.6.3 生成多项式 $g(x)$ ⭐

例题：求生成多项式

9.6.4 编码方法（三步法）

计算示例

9.6.5 译码方法

9.6.6 缩短循环码

参考来源

9.5.3 $$(7,4)$$ 汉明码完整编解码示例

9.6.3 生成多项式 $$g(x)$$ ⭐