绪论

学完本章后，你应该能够：

1. 掌握通信原理所需的数学工具（傅里叶级数、欧拉公式、概率论基础）
2. 识别并绘制常用模拟信号与离散序列的波形
3. 理解卷积积分与卷积和的图解计算过程
4. 画出通信系统基本模型，解释每个方框的作用
5. 区分模拟通信与数字通信，列举数字通信的优缺点
6. 用信息量公式 $I = -\log_2 P(x)$ 计算离散信源的信息量
7. 计算离散信源的熵 $H(x)$，理解其物理意义
8. 熟练进行传码率 $R_B$ 与传信率 $R_b$ 的换算

绪论是整门课的"地图"与"工具箱"。前半部分梳理通信原理依赖的数学工具（傅里叶级数、概率论）和信号基础（冲激、阶跃、sinc、卷积），后半部分建立通信系统模型、信息度量与性能指标。后续所有章节——随机信号分析（第2章）、信道（第3章）、基带传输（第5章）等——都建立在本章的基础上。

通信原理之所以对数学有较高要求，是因为它在三个层面上使用数学工具：信号表示需要傅里叶分析，噪声建模需要概率论与随机过程，系统分析需要卷积与线性系统理论。本节梳理后续章节最常用的数学工具，作为"随时查阅"的参考。

1.1 欧拉公式

欧拉公式是连接指数函数与三角函数的桥梁，在通信原理中频繁出现于傅里叶变换、调制解调、相位分析等所有涉及复数信号处理的场合。

由它可以直接得到两个重要变形：

1.2 傅里叶级数

任何周期信号都可以分解为一系列不同频率的正弦波的叠加。这是通信原理中"频域"概念的数学基础——调制就是频谱搬移，滤波就是频域选通。

三角形式

周期为 $T$ 的信号 $f(t)$ 满足 $f(t) = f(t + T)$，基频 $\omega_0 = 2\pi/T$：

其中系数：

复指数形式

利用欧拉公式，三角形式可以改写为更紧凑的复指数形式：

复系数 $c_k$ 同时包含了幅度和相位信息，且 $c_{-k} = c_k^*$（实信号共轭对称）。

1.3 傅里叶变换

当周期信号的周期 $T \to \infty$，傅里叶级数过渡为傅里叶变换，用于分析非周期信号：

傅里叶变换揭示了信号的频谱（即信号在不同频率上的能量分布），这是通信中最核心的概念之一。以下几条性质在后续章节反复用到：

1.4 概率论基础

通信中遇到的噪声（热噪声、散弹噪声）本质上是随机过程。理解噪声对系统的影响，需要概率论工具。

1.5 信号的基本分类

贯穿通信原理始终的分类维度：

这里的"模拟信号"指的是连续时间常用信号，是后续所有波形分析的积木。它们用于描述开关、脉冲、取样、窗口截断和理想化瞬时作用。

2.1 单位冲激信号 $\delta(t)$

单位冲激不是普通函数，而是广义函数。可以把它理解成"宽度无限窄、幅度无限高、面积等于 1"的理想脉冲。

移位冲激 $\delta(t-t_0)$ 位于 $t=t_0$；加权冲激 $A\delta(t-t_0)$ 的面积是 $A$。

2.2 单位阶跃信号 $u(t)$

单位阶跃表示"从某一时刻开始打开"。它常用于描述系统输入突然接通、信号从某时刻开始存在。

$u(0)$ 的取值在不同教材中可能取 $0$、$1$ 或 $\frac12$，一般不影响连续时间积分结果。

2.3 符号函数 $\operatorname{sgn}(t)$

符号函数只保留正负号信息：

它和单位阶跃函数之间有简单关系：

2.4 抽样函数 $\operatorname{sinc}(t)$

通信与信号处理中常见两种 sinc 定义，使用时必须先看教材约定。

在抽样定理、理想低通滤波器冲激响应、带限插值中，sinc 是核心函数。

2.5 矩形窗函数 $\operatorname{rect}(t/T)$

矩形窗表示有限持续时间的开关。常见定义为：

边界点 $|t|=T/2$ 的取值常取 $\frac12$，用于保持傅里叶变换对称性。

2.6 三角波函数 $\operatorname{tri}(t/T)$

三角函数可以看作两个等宽矩形窗卷积后的形状。常见定义为：

它的峰值在原点，向两侧线性下降。很多"两个矩形脉冲卷积"的结果都会出现三角形。

连续时间 LTI 系统的零状态响应由输入 $x(t)$ 和冲激响应 $h(t)$ 的卷积决定：

这条公式可以拆成一个图解过程：

1. 换元：把 $x(t)$、$h(t)$ 改写成 $x(\tau)$、$h(\tau)$。
2. 翻转：把 $h(\tau)$ 变成 $h(-\tau)$。
3. 平移：把 $h(-\tau)$ 平移为 $h(t-\tau)$。$t$ 是观察时刻，不是积分变量。
4. 相乘：找 $x(\tau)$ 与 $h(t-\tau)$ 的重叠区间。
5. 积分：在重叠区间内计算面积 $\int x(\tau)h(t-\tau)d\tau$。

3.1 常用性质

3.2 例：两个单位宽矩形窗的卷积

设 $x(t)=\operatorname{rect}(t)$，$h(t)=\operatorname{rect}(t)$，两个宽度为 1 的矩形窗卷积。随着一个矩形滑过另一个矩形，重叠长度先线性增加再线性减少，因此结果是三角形：

这个例子说明：卷积结果的形状，本质上来自两个信号重叠面积如何随 $t$ 改变。

离散时间信号写作 $x[n]$，自变量 $n$ 只取整数。连续时间中的冲激、阶跃、矩形窗都有离散版本。

4.1 单位样值序列 $\delta[n]$

它是离散卷积的单位元：

筛选性质为：

4.2 单位阶跃序列 $u[n]$

它可以看作从 $n=0$ 开始一直为 1 的序列。单位样值和单位阶跃有差分关系：

4.3 矩形窗序列 $R_N[n]$

长度为 $N$ 的矩形窗序列常定义为：

也可用阶跃序列表达：

离散时间 LTI 系统的输出由卷积和给出：

它和连续卷积积分完全平行：连续情况把重叠部分"积分成面积"，离散情况把重叠样值"相乘后求和"。

5.1 图解法：翻转、平移、相乘、求和

1. 换元：写出 $x[k]$ 和 $h[k]$。
2. 翻转：把 $h[k]$ 变成 $h[-k]$。
3. 平移：得到 $h[n-k]$。
4. 找重叠：判断哪些 $k$ 同时让 $x[k]$ 和 $h[n-k]$ 非零。
5. 相乘求和：把重叠点上的乘积加起来。

5.2 表格滑动法

当两个有限长序列较短时，可以把其中一个序列翻转后在另一个序列上滑动，每滑动一个位置就把对齐项相乘求和。这个方法直观，但容易漏项；适合检查支持区间和边界。

5.3 竖式乘法法

如果把有限长序列看成多项式系数，离散卷积就等价于多项式乘法。设：

对应多项式：

竖式乘法：

      1 + 2z + z²
×         1 + z
----------------
      1 + 2z + z²
  z + 2z² + z³
----------------
      1 + 3z + 3z² + z³

所以卷积结果为：

5.4 直接求和核对

按定义：

5.5 长度规律

若 $x[n]$ 长度为 $L_x$，$h[n]$ 长度为 $L_h$，且都从 0 开始，则线性卷积长度为：

这个规律可以用来快速检查是否漏算了首尾项。

6.1 什么是通信？

通信（Communication）的本质是传输消息、交流信息。当用电信号来处理和传输时，就是电信（Telecommunication）。

通信的发展经历了五个阶段：

6.2 通信系统分类

6.3 通信方式

按方向和时间关系分：

按传输顺序分：

• 串行传输：数据一位一位顺序传输（成本低，适合长距离）
• 并行传输：数据多位同时传输（速度快，适合短距离，如计算机内部总线）

7.1 通信系统的一般模型

最通用的模型是一条五元链路——无论模拟还是数字通信，都遵循这个基本框架：

各模块的功能：

7.2 模拟通信系统模型

信道中传输的是模拟信号（时间连续、幅度连续）。模型简化为：

• 基带信号：未经调制的原始信号（频谱从零频开始）
• 频带信号（已调信号）：经调制后的信号，具有两大特征——①携带有消息；②适应在信道中传输

7.3 数字通信系统模型

信道中传输的是数字信号（时间离散、幅度离散）。模型比模拟系统多出了编码环节：

flowchart LR
    A[信源] --> B[信源编码 A/D转换+压缩]
    B --> C[信道编码 抗干扰冗余]
    C --> D[数字调制]
    D --> E[信道 +噪声源]
    E --> F[数字解调]
    F --> G[信道译码 检错/纠错]
    G --> H[信源译码 D/A转换]
    H --> I[信宿]
    style E fill:#f0f0f0,stroke:#999,stroke-width:1
  

各编码模块的功能：

7.4 数字通信的优缺点

8.1 从直觉到公式：为什么需要度量信息？

日常生活中，"信息"是个模糊的概念。但在通信工程中，我们需要精确量化信息，才能计算信道容量、比较系统效率。

Hartley 和 Shannon 从消息的统计特性出发，给出了关键洞察：

• 事件越不可能发生，它发生时带来的信息量越大。（太阳从东边升起 → 信息量 ≈ 0；某冷门球队夺冠 → 信息量很大）
• 必然事件的信息量为 0。
• 多个独立事件的信息量 = 各事件信息量之和。

这三条直觉，直接导出了信息量的数学定义。

8.2 离散信源的信息量

设离散信源输出符号 $x_j$，出现概率为 $P(x_j)$。

单一符号的信息量

单位取决于对数的底：

8.3 随机序列的信息量

若一条消息由 $N$ 个符号组成，其中符号 $x_j$ 出现了 $n_j$ 次，且各符号相互独立，则该消息的总信息量为：

8.4 离散信源的熵（平均信息量）

单看一条消息的信息量还不够——我们更关心信源的统计平均信息量，即平均每个符号携带多少信息。这就是香农熵：

熵的性质：

1. 非负性：$H(x) \geq 0$（概率在 0~1 之间，$-\log P \geq 0$，加权求和当然非负）
2. 上凸性：$H(x)$ 是 $P(x)$ 的上凸函数（概率分布越均匀，熵越大）
3. 最大熵：当所有符号等概出现 $P(x_i) = \frac{1}{k}$ 时，熵取最大值：

8.5 M 进制波形与二进制的关系

设需要传递 $M$ 个等概消息之一，$P(x) = \frac{1}{M}$：

• 用 M 进制波形：1 个波形即可传递，信息量为 $I = \log_2 M$ bit
• 用 二进制波形：需要 $K = \log_2 M$ 个波形，每个 1 bit，总信息量也是 $K$ bit

结论：一个 M 进制波形携带的信息量 = $\log_2 M$ 个二进制波形的信息量。

通信系统的两大核心目标：

9.1 传码率（码元速率）$R_B$

• $T_B$：每个码元的持续时间（秒）
• 定义：每秒传送的码元数目
• 单位：波特（Baud, B）

9.2 传信率（信息速率）$R_b$

• 定义：每秒传送的信息量
• $N$：码元的进制数
• 单位：比特/秒（bit/s, bps）

关键换算：

9.3 频带利用率 $\eta$

• $B$：系统带宽（Hz）
• 衡量的是每 Hz 带宽能传多少 bit/s
• 同样带宽下，$\eta$ 越大，系统越"高效"

9.4 误码率与误信率

• 二进制中：$P_e = P_b$（一个码元就是一个比特）
• 多进制中：$P_b < P_e$（一个码元错不一定所有比特都错）

典型要求：

常用信号与卷积

信息论与性能指标