数字载波传输

第5章解决了"数字信号如何在基带（低通）信道中传输"的问题，但实际信道（如无线、光纤）大多是带通的——信号必须搬移到高频才能传输。本章的任务就是：用数字基带信号去控制载波的幅度、频率或相位，使其能在带通信道中传输。

第2章中我们学习了窄带高斯噪声的统计模型，第5章中我们掌握了基带信号功率谱和码间串扰的分析方法。这些知识将直接在本章复用——载波调制本质上就是把基带分析"搬"到高频去做。

数字基带信号 $m(t)$ 通常是 NRZ 或 BNRZ 码，频谱集中在低频甚至直流。但大多数实际信道是带通信道（如无线电频段 88–108 MHz），无法直接传输低频信号。

载波调制的基本思路：用一个高频正弦波 $A\cos(\omega_c t + \phi)$ 作为"搬运工"，让基带信号去控制 $A$（幅度）、$\omega$（频率）或 $\phi$（相位），就分别得到 ASK、FSK、PSK。

系统模型与基带系统类似：发送端有成形滤波器 $T(\omega)$，接收端有接收滤波器 $R(\omega)$，只是多了调制/解调环节。基带系统中关于码间串扰、眼图、均衡的结论，在载波传输系统中同样适用——因为解调后信号又回到了基带域。

调制分类：线性 vs 非线性

• 线性调制：已调信号频谱是基带频谱的简单搬移，不产生新的频率成分。如 ASK。
• 非线性调制：已调信号频谱不是基带频谱的简单搬移，会产生新的频率成分。如 FSK。

这个区分很重要，它影响我们对频谱带宽的计算方式。

为什么需要 2ASK？

最直观的调制方式——"有载波代表 1，无载波代表 0"，又称 OOK（On-Off Keying）。实现极其简单，只需要一个开关控制载波的通断。它是理解所有数字调制的起点，也是最早被使用的数字调制方式（如早期的电报系统）。

调制原理

时域表达式：

其中 $m(t) \in \{0, 1\}$ 是单极性 NRZ 基带信号。当 $m(t) = 1$ 时发送载波 $A\cos\omega_c t$；$m(t) = 0$ 时不发送（输出为零）。

实现方法：

• 模拟相乘法：基带信号 $m(t)$ 与载波 $\cos\omega_c t$ 通过乘法器相乘
• 键控法：用数字信号控制一个开关，决定载波是否通过

频谱分析

2ASK 信号的功率谱密度为：

其中 $P_m(f)$ 是基带信号 $m(t)$ 的功率谱密度。

关键结论：

• 频谱结构 = 基带频谱搬移到 $\pm f_c$ 处 → 属于线性调制
• 带宽 $B_{\text{ASK}} = 2R_B$（$R_B = 1/T_s$ 为码元速率），是基带带宽的 2 倍
• 频谱由连续谱 + 离散谱（$f_c$ 处有载波分量）构成——离散谱来自基带信号中的直流分量

解调方法

方法一：非相干解调（包络检波）

流程：带通滤波器 BPF → 包络检波器 → 低通滤波器 LPF → 抽样判决

原理：信号经过包络检波后，"有载波"时输出幅度大，"无载波"时输出接近零。设定一个门限 $V^*$ 进行判决即可。不需要恢复本地载波，实现最简单。

方法二：相干解调（同步检测）

流程：BPF → 与本地相干载波 $\cos\omega_c t$ 相乘 → LPF → 抽样判决

原理：接收信号乘以同频同相的本地载波后，高频分量被 LPF 滤除，低频分量保留了原始基带信号的信息。

抗噪声性能

设 $r = E_s / N_0$ 为归一化信噪比，$P(1) = P(0) = 1/2$（等概发送）。

信号经过信道后叠加了窄带高斯噪声 $n_i(t)$，经 BPF 后噪声功率为 $\sigma_n^2 = n_0 B$。

包络检波（大信噪比 $r \gg 1$ 条件下）：

发 "1" 时包络服从莱斯分布（近似高斯），发 "0" 时包络服从瑞利分布。最佳门限 $V^* = A/2$，代入可得：

相干解调：

相乘并低通滤波后，判决量为 $V = A + n_c$（发 "1"）或 $V = n_c$（发 "0"），其中 $n_c$ 为零均值高斯噪声。门限取 $A/2$：

为什么需要 2FSK？

2ASK 的信号包络不恒定（一半时间完全无信号），在非线性信道（如卫星转发器、功率放大器工作在饱和区）中容易产生失真和频谱扩展。2FSK 用两个不同频率分别表示 0 和 1，信号始终存在（包络恒定），对非线性信道的适应性更好。此外，2FSK 在随参信道（频率选择性衰落）中表现出色，因为两个频率同时被深度衰落的概率很低。

调制原理

时域表达式：

可理解为两个交替的 2ASK 信号的叠加：

其中 $m_1(t)$ 和 $m_2(t)$ 互补（$m_1 = 1$ 时 $m_2 = 0$，反之亦然）。

实现方法：

• 频率键控法：基带信号控制压控振荡器（VCO）的输出频率
• 双振荡器切换法：用两个独立振荡器产生 $f_1$ 和 $f_2$，根据数据切换

频谱分析

2FSK 的功率谱可视为两个 2ASK 频谱的叠加：

当 $P(1) = P(0) = 1/2$ 时，$P_{m1}(f) = P_{m2}(f)$。

带宽：

解调方法

方法一：非相干解调（双包络检波）

两路 BPF 分别调谐在 $f_1$ 和 $f_2$，各自经过包络检波后，比较两路输出的大小来判决。如果 $f_1$ 支路输出大则判为 "1"，反之判为 "0"。

方法二：相干解调（双路同步检测）

两路分别与本地载波 $\cos\omega_1 t$、$\cos\omega_2 t$ 相干，LPF 后比较两路输出。性能更优，但需要两路载波同步。

方法三：过零检测法

统计单位时间内信号过零点的数目，过零点多说明频率高（判为 $f_1$），过零点少说明频率低（判为 $f_2$）。实现最简单，但性能不如前两种。

抗噪声性能

非相干解调：

相干解调：

注意公式中分母为 2，相比 2ASK 的 $r/4$ 提升了 3 dB。这是因为 2FSK 始终有信号发送（能量利用率更高），且双路比较消除了门限偏移的影响。

为什么需要 2PSK？

2ASK 功率效率低（一半时间不发送信号，浪费能量），2FSK 带宽浪费（两个频率占频谱）。2PSK 用载波相位的两种状态来表示信息——信号始终存在且幅度恒定，功率效率和频带效率都是二进制调制中最优的。

2PSK（绝对移相）

时域表达式：

其中 $\varphi_k = 0$（发送 '0'）或 $\varphi_k = \pi$（发送 '1'）。利用三角恒等式 $\cos(\omega_c t + \pi) = -\cos\omega_c t$，可改写为：

其中 $m(t) \in \{+1, -1\}$ 为双极性 NRZ 信号（+1 对应 "0"，-1 对应 "1"）。

频谱：与 2ASK 形状相同（都是线性调制），但在等概率条件下无离散谱——因为双极性基带信号无直流分量，所以不存在载波频率处的谱线。这对载波同步提出了挑战（需要用平方环等非线性方法提取载波）。

解调——必须相干解调：因为信息完全编码在相位中，必须用本地载波作为参考才能恢复相位信息。解调流程：BPF → 与 $\cos\omega_c t$ 相乘 → LPF → 抽样判决（门限为 0）。

判决规则极其简单：LPF 输出为正判 "0"，为负判 "1"。门限固定为 0，与信号幅度无关，这是 2PSK 相比 2ASK 的又一优势。

相位模糊问题（"倒 π" 现象）⭐⭐

这是 2PSK 的致命缺陷，也是理解 DPSK 存在意义的钥匙。

问题本质：接收端的载波同步电路（如平方环、Costas 环）从 2PSK 信号中提取本地载波时，由于 2PSK 信号无载波离散谱，必须经过非线性处理（平方）。而平方操作消除了相位信息——$\cos^2\omega_c t = \frac{1}{2}(1 + \cos 2\omega_c t)$——再经二分频恢复载波时，分频器的初始状态不确定，导致提取出的本地载波存在 180° 相位不确定性。

结果：本地载波可能是 $\cos\omega_c t$，也可能是 $-\cos\omega_c t$。一旦反相，所有判决结果全部取反（0 变 1，1 变 0），通信完全失败却不自知。

结论：纯 2PSK 在实际系统中不可直接使用，必须采用差分编码来消除相位模糊的影响 → 这就是 2DPSK。

2DPSK（差分相移键控）

核心思想：不依赖绝对相位（容易被模糊），改用前后码元之间的相位变化来携带信息。即使本地载波反相，相邻码元的相位差保持不变（两个负号抵消），信息得以正确恢复。

差分编码规则（口诀："1 变 0 不变"）：

• $a_k$：原始信息序列（绝对码）
• $b_k$：差分编码后的序列（相对码），用于实际调制
• 规则：$a_k = 1$ 时 $b_k$ 与 $b_{k-1}$ 相反（发生跳变）；$a_k = 0$ 时 $b_k = b_{k-1}$（保持不变）

具体例子：设原始信息 $a = [1, 0, 1, 1, 0]$，初始 $b_0 = 1$

验证：$a_1 = 1$，所以 $b_1 = \overline{b_0} = 0$（跳变）；$a_2 = 0$，所以 $b_2 = b_1 = 0$（不变）。对 $b_k$ 序列做普通 2PSK 调制即得到 2DPSK 信号。

2DPSK 的两种解调方法

方法一：相干解调 + 码反变换（差分译码）

流程：BPF → 与本地载波相乘 → LPF → 判决得到 $\hat{b}_k$ → 差分译码 $\hat{a}_k = \hat{b}_k \oplus \hat{b}_{k-1}$

特点：性能接近 2PSK（差分译码只带来很小的性能损失），但仍需载波同步。

方法二：差分相干解调 ⭐

流程：将接收信号延迟一个码元，然后与当前码元信号直接相乘 → LPF → 判决。

优点：完全不需要载波同步，实现简单，特别适用于信道不稳定（载波相位随机漂移）的系统。

缺点：参考信号本身也含有噪声（前一个码元被噪声污染），相当于噪声被乘了两次，因此性能略差于方法一。

抗噪声性能

2PSK（相干解调）——利用第5章双极性基带系统的结论直接得出：

2DPSK（相干解调 + 码反变换）：

差分译码时，只有当相邻两个码元恰好一个对一个错时才会产生错误译码。因此：

（小误码率条件下近似成立，即误码率约为 2PSK 的 2 倍）

2DPSK（差分相干解调）：

B 方式星座图与码元定时

在 2DPSK 的 B 方式（矢量图）中，以虚线表示前一码元载波的参考相位。因为相邻码元之间必然发生载波相位的跳变（信息就编码在跳变中），所以可以通过监测这个跳变来确定每个码元的起始时刻——这就天然地提供了码元定时信息，不需要额外的位同步提取。

误码率公式汇总表

性能排序与 3 dB 规律

在相同误码率要求下，所需的信噪比关系为：

核心规律：

• 相干解调始终优于非相干解调（但差距随信噪比增大而缩小）
• 2PSK 适用于恒参信道的高速数据传输（功率效率最优）
• 2FSK 适用于随参信道（抗衰落能力强，不需要判决门限，实现简单）

频带利用率对比

结论：2FSK 频带利用率最低。从频带利用率角度，2ASK 和 2PSK 相同。

实际选择建议

• 恒参信道 + 追求功率效率 → 选择相干 2PSK 或 2DPSK，不选 2ASK
• 恒参信道 + 追求频带效率 → 同样选择 2PSK/2DPSK，不选 2FSK
• 随参信道 → 选择 2FSK（恒包络 + 无需门限 + 双频率抗衰落）
• 信道不稳定（载波相位漂移严重） → 选择 2DPSK 差分相干解调（无需载波同步）

为什么需要多进制？

二进制调制每个码元只携带 1 bit 信息，频带利用率最高只有 $\frac{1}{2}$ bit/s/Hz。要提高频带利用率，可以让每个码元携带更多比特 → 使用 $M$ 进制调制：

代价：在相同信号功率下，$M$ 越大，相邻信号状态之间的距离越小，抗噪声能力越差。这是有效性（频带利用率）与可靠性（误码率）之间的根本权衡，也是通信系统设计中永恒的主题。

MASK（多进制幅移键控）

用 $M$ 个不同的载波幅度来表示 $M$ 种信息。等效于 $M$ 电平基带信号对载波进行双边带调幅。

时域表达式：

带宽：$B = 2R_B$，与 2ASK 相同（因为码元速率不变），但每个码元携带 $\log_2 M$ bit。

误符号率（相干解调，等概发送）：

当 $M = 2$ 时退化为 2ASK 的公式。当 $M$ 增大时，分母 $M^2 - 1$ 急剧增长，说明 MASK 的抗噪声性能随 $M$ 增大而急剧恶化。

MFSK（多进制频移键控）

用 $M$ 个不同的频率来表示 $M$ 种信息。$M$ 个信号互相正交的条件是频率间隔满足 $\Delta f = R_B / 2$。

误码性能规律：

• $M$ 一定时，信噪比 $r$ 越大 → 误码率越低
• $r$ 一定时，$M$ 越大 → 误码率越高
• 相干与非相干解调的性能差距随 $M$ 增大而减小
• 同一 $M$ 下，信噪比增大时非相干解调性能趋于相干解调

带宽：$B \geq M \cdot R_B / 2$，带宽随 $M$ 线性增长，这是 MFSK 的主要缺点。

MPSK（多进制相移键控）

用载波的 $M$ 个不同相位来表示信息。以最常用的 4PSK (QPSK) 为代表：

4PSK 调制原理：

输入串行数据（速率 $R_b$）经串/并变换分为 I、Q 两路（各 $R_b/2$），分别对 $\cos\omega_c t$ 和 $\sin\omega_c t$ 进行 2PSK 调制后相加：

4PSK 本质上是两个正交的 2PSK 的叠加。每个支路的码元宽度为 $2T_s$（是原始码元的两倍），每个 4PSK 码元携带 2 bit。

星座图：4PSK 的 4 个信号点均匀分布在半径为 $A$ 的圆上，相邻点间隔 90°。常见映射关系（A 方式）：00→45°, 01→135°, 10→-45°, 11→-135°。

带宽：$B = 2R_B$（与 2PSK 相同），但每个码元携带 2 bit → 频带利用率翻倍至 1 bit/s/Hz。

MQAM（正交幅度调制）⭐

问题提出：MPSK 当 $M$ 较大时（如 16PSK），所有信号点被约束在同一个圆上，相邻点之间的距离越来越小，误码率急剧上升。有没有办法让信号点分布得更"开"？

QAM 的核心思路：让信号点在幅度和相位两个维度上分布（$4 \times 4$ 方阵），而不是仅在一个圆上。

16QAM vs 16PSK 星座图对比：

• 16PSK：16 个点均匀分布在一个圆上 → 相邻点距离 $d_{16\text{PSK}} \approx 2A\sin(\pi/16) \approx 0.39A$
• 16QAM：16 个点分布在 $4 \times 4$ 方阵上 → 相邻点距离 $d_{16\text{QAM}} \approx \frac{2A}{\sqrt{3}\cdot(\sqrt{16}-1)} \approx 0.47A$

QAM 的本质：$I(t)$ 和 $Q(t)$ 分别是多电平的双极性基带信号（16QAM 中各为 4 电平），同时利用了幅度和相位两个自由度来携带信息。

特例：$M = 4$ 时，4QAM = 4PSK（QPSK），两者完全等价。

4PSK/QPSK 的特殊优势：

由于 4PSK 的码元宽度是 2PSK 的两倍，在相同信息速率下，4PSK 的 BPF 带宽只有 2PSK 的一半。这使得 $r_4 = 2r_2$（信噪比翻倍），因此：

相位模糊与实际系统

所有载波频率处无离散谱的调制（PSK、QAM）都存在相位模糊问题：

• BPSK/2PSK：2 种模糊（0°/180°）
• QPSK/4QAM：4 种模糊
• 16QAM/64QAM：4 种模糊（四次方处理）

解决方法：对信息代码进行差分编码（码变换），接收端解调后进行码反变换。这是所有实际 PSK/QAM 系统必须处理的工程问题。

MPSK/QAM 的实际限制

1. 频谱衰减慢：相位不连续导致频谱旁瓣高，带外能量大。若信道是非线性的（如卫星功率放大器），会产生非线性失真
2. 不适合随参信道：MPSK/QAM 只有一个载频，通过随参信道时可能被频率选择性衰落完全"抹掉"
3. 星座点密度受限于信噪比：在低信噪比环境下（如深空通信），只能使用低阶调制（BPSK/QPSK）；在高信噪比环境（如光纤、短距无线），才能使用高阶调制（64QAM/256QAM）

MSK（最小移频键控）

2FSK 的改进版本。最小频差使得两个频率恰好正交（调制指数 $h = 0.5$），且保证相位连续变化（一个码元内相位变化 $\pm \pi/2$）。频谱衰减快，带外辐射小，谱零点带宽仅为 $1.5R_b$，低于 2PSK 的 $2R_b$。又称"快速 FSK"。

GMSK（高斯最小移频键控）

在 MSK 前端增加一个高斯低通滤波器，使基带脉冲更平滑，相位路径的斜率不发生突变。频谱衰减更快，带外辐射极小。GSM 移动通信系统（2G）使用的就是 GMSK 调制。

时频编码调制

通过在不同时隙发送不同频率的组合来克服频率选择性衰落。例如四时四频编码：在一个码元宽度 $T_s$ 内传输 4 个频率，它们分别处于不同时隙。4 个频率同时被衰落的概率极低，只要接收到其中任意一个频率即可正确解调。适用于短波通信等随参信道。