同步原理

通信系统要正确传输信息，收发两端必须在时间上保持步调一致，这就是同步。可以这样理解：如果你在听别人说话，但你的"内部时钟"和对方不同步——要么听早了半拍，要么听晚了——信息就会出错。通信系统也一样，需要精确的时钟对齐。

通信系统中的四类同步（按层次排列）：

载波同步的目标：在接收端恢复出一个与发送载波同频同相的本地载波 $\cos \omega_c t$，用于相干解调。

以 2PSK 为例，接收信号是 $m(t)\cos\omega_c t$，相干解调需要乘以本地载波 $\cos\omega_c t$。如果本地载波的频率或相位有偏差，解调输出的信号幅度就会减小甚至畸变。载波同步就是解决"接收端怎么知道 $\omega_c$ 和初始相位"这个问题。

两大类方法：插入导频法（外同步）和直接法（自同步）。

1.1 插入导频法

为什么需要：对于抑制载波的调制（如 DSB-SC、2PSK），已调信号频谱中没有载波分量，无法直接提取。

核心思想：在发送端专门插入一个幅度很小的载波频率分量（导频），接收端用窄带滤波器提取出来。

发送端：在载频 $f_c$ 处插入正交导频 $A \sin \omega_c t$（注意是正弦，不是余弦！与已调信号 $s(t)\cos\omega_c t$ 正交）。

接收端流程：

1. 窄带滤波器提取导频分量 $\sin\omega_c t$
2. 移相 $90°$ 得到 $\cos\omega_c t$
3. 与接收信号相乘，完成相干解调

为什么插入正交导频？

设接收信号为 $s(t)\cos\omega_c t + A\sin\omega_c t$。与提取的载波 $\cos\omega_c t$ 相乘：

经过低通滤波后只剩 $\frac{1}{2}s(t)$——没有直流分量干扰。如果插入同相导频（$\cos\omega_c t$），则会出现额外的直流项，干扰基带信号。

1.2 直接法——从信号本身提取载波

核心思想：对抑制载波的信号进行非线性变换，产生载波的倍频分量，再分频恢复。

（1）平方变换法

以 2PSK 信号 $e(t) = m(t)\cos\omega_c t$ 为例（$m(t) = \pm 1$）：

$m^2(t) = 1$（因为 $m(t) = \pm 1$），所以调制信息被消除了！

经窄带滤波器提取 $2\omega_c$ 分量，再二分频得到 $\cos\omega_c t$。

关键问题——相位模糊：二分频器的初始状态有 0 和 1 两种可能，导致输出可能是 $\cos\omega_c t$ 或 $-\cos\omega_c t$——相差 $180°$。这就是载波相位模糊。解决方法：使用 2DPSK（差分编码）代替 2PSK。

（2）平方环法

将平方变换法中的"窄带滤波器"替换为锁相环（PLL），跟踪 $2f_c$ 分量：

输入 → 平方器 → PLL（锁定在 $2f_c$）→ 二分频 → $\cos\omega_c t$

优点：锁相环比窄带滤波器跟踪更精确、抗噪更好。

（3）同相正交环法（Costas 环）——重点！

Costas 环是载波同步的核心方法，它直接在载频 $f_c$ 上工作（不需要先倍频到 $2f_c$），结构更实用。

结构：接收信号 $e(t) = m(t)\cos\omega_c t$ 分成两路，分别与 VCO 输出的同相和正交分量相乘：

• 同相支路（I路）：$e(t) \cdot \cos(\omega_c t + \theta_e)$
• 正交支路（Q路）：$e(t) \cdot \sin(\omega_c t + \theta_e)$

其中 $\theta_e$ 是本地载波与接收信号的相位差。

推导（考试常考）：

I路相乘结果：

经低通滤波后：$u_3 = \frac{1}{2}m(t)\cos\theta_e$

Q路相乘结果：

经低通滤波后：$u_4 = \frac{1}{2}m(t)\sin\theta_e$

鉴相器输出（I路 × Q路）：

$m^2(t) = 1$，调制信息被消除！$u_5$ 只与相位误差 $\theta_e$ 有关。

环路锁定条件：当 $\theta_e = 0$ 时 $\sin 2\theta_e = 0$，环路锁定。锁定后 $u_1(t) = \cos\omega_c t$（或 $-\cos\omega_c t$）。

注意：Costas 环同样存在相位模糊问题（$\theta_e = 0$ 或 $\pi$ 都能使 $\sin 2\theta_e = 0$）。

从 4PSK 提取载波：与 2PSK 思路相同，但需要四次方变换（而非平方）或四相 Costas 环。原理类似：$(\cos\omega_c t)^4$ 会产生 $4\omega_c$ 分量。

Costas 环的优势在于 VCO 工作在 $f_c$（而非 $2f_c$），在高速通信中避免了高频实现的困难。

载波同步系统的两大性能指标：高效率（少消耗发送功率）和高精度（相位误差尽量小）。

相位误差 = 稳态相差 + 随机相差

2.1 稳态相差

稳态相差是锁相环锁定后残余的固定相位偏移。

用窄带滤波器提取时：

其中 $\Delta f$ 是滤波器中心频率与载频的偏差，$f_0$ 是载频，$Q$ 是滤波器品质因数。可见 $Q$ 值越高，稳态相差越大。

用锁相环提取时：

其中 $K_v$ 是环路直流增益。只要 $K_v$ 足够大，稳态相差就可以很小。

2.2 随机相差

随机相差由噪声引起，用相位抖动的方差 $\sigma_\varphi^2$ 衡量。

直观理解：即使锁相环已经锁定，信道噪声仍会使鉴相器输出随机波动，导致本地载波相位在锁定值附近随机抖动。这种抖动就是随机相差。

对于窄带高斯噪声，相位误差近似服从正态分布，方差为：

其中 $r$ 是环路信噪比。$r$ 越大（噪声越小），随机相差越小。

用窄带滤波器时：

$Q$ 值越高 → 带宽越窄 → 噪声越少 → 随机相差越小。

2.3 建立时间与保持时间——一对矛盾

建立时间（从启动到同步建立，即输出包络达到 $kU$ 的时间）：

保持时间（信号中断后同步信号从 $U$ 衰减到 $kU$ 的时间）：

2.4 载波相位误差对解调的影响

对于 DSB 信号 $m(t)\cos\omega_c t$，若本地载波为 $\cos(\omega_c t + \varphi)$，解调输出：

• DSB：相位误差仅使输出幅度缩小 $\cos\varphi$ 倍，等效于信噪比下降
• SSB/VSB：相位误差不仅降低信噪比，还会引入信号畸变（因为边带不对称），影响更严重

位同步的目标：确定每个码元的最佳采样时刻（应在码元终止时刻附近），使采样值最能代表该码元。

3.1 插入导频法

在基带信号频谱的码速频率 $f_s$ 处插入导频。接收端用窄带滤波器提取后作为位同步信号。

注意：若基带信号在 $f_s$ 处已有离散谱分量（如归零码），则无需插入。

插入位置：通常在基带信号功率谱的零点处插入，避免对信号本身造成干扰。例如对于码速率为 $f_s$ 的双极性 NRZ 信号，其功率谱在 $f_s$ 处为零，正好可以插入导频。

3.2 直接法

（1）滤波法

原理框图：

接收信号 → 波形变换 → 窄带滤波 → 脉冲形成 → 移相 → 位同步信号

波形变换的作用：将接收信号变换为含有码速离散谱分量的信号。对于 BNRZ 码或 2DPSK 信号，波形变换由比较→微分→整流三步完成：

• 比较：提取信号极性变化
• 微分：检测信号的跳变沿（码元边界）
• 整流：将双向脉冲变为单向

滤波后提取 $f_s$ 分量，经脉冲形成和移相得到理想的位定时脉冲。

实际问题：

• 码间串扰和噪声使位同步信号产生相位抖动
• 连"1"或连"0"越多，滤波输出越弱，抖动越大
• 解决：基带传输用 HDB3 码，调制传输用扰码，减少长连码

（2）锁相环法——数字锁相环

数字锁相环用高稳定度晶振产生本地时钟，通过相位比较器不断调整，使之与接收码元同步。

微分整流型数字锁相环的工作原理：

1. 晶振产生频率为 $nf_0$（$n$ 为分频比）的脉冲序列
2. 经过 $n$ 次分频后得到频率为 $f_0$ 的本地位同步信号
3. 相位比较器比较本地同步信号与接收码元的跳变沿
4. 若本地脉冲超前，扣除一个脉冲（相位后移）
5. 若本地脉冲滞后，添加一个脉冲（相位前移）

同相正交积分型数字锁相环：用积分器代替微分整流，对信号先积分再判决，抗噪性能更好。其核心思想是：在每个码元周期的"前半段"和"后半段"分别积分，比较两个积分值的大小来判断采样时刻是偏早还是偏晚，从而调整分频器的输出相位。这种结构等效于"早迟门"法的数字化实现。

3.3 位同步的性能指标

位同步误差对误码率的影响：

以 2PSK 为例，最佳接收误码率为 $P_e = \frac{1}{2}\text{erfc}(\sqrt{E_b/N_0})$。存在同步误差 $\Delta\tau$ 时，等效信噪比下降，误码率增大。

帧同步的目标：在接收到的比特流中找到一帧数据的起始位置，实现正确的分帧。

4.1 帧同步码的插入方式

（1）集中插入（连贯式）

在一帧开头的 $n$ 位集中插入 $n$ 比特帧同步码。优点是识别速度快。

• 应用：A律PCM基群（帧同步码 0011011）、SDH各等级

（2）分散插入（间隔式）

$n$ 比特帧同步码分散插入到 $n$ 帧中，每帧插 1 比特。优点是不占用连续比特位。

• 应用：μ律PCM基群、ΔM系统

4.2 帧同步码的选择原则

1. 假同步概率小：随机数据恰好与帧同步码相同的概率要小
2. 自相关特性尖锐：减小漏同步概率

A律PCM基群的帧同步码为 0011011（7位），其自相关特性呈尖锐的单峰形状——只有完全对齐时相关值最大，稍有偏移就迅速下降。

4.3 帧同步码识别器

以 0011011 为例，识别器由 7 级移位寄存器和相加器组成：

• 帧同步码全部进入时，7 个输出端按加权（1,2,4）相加，总和 $= 7$
• 设门限 $L$（如 $L = n - m$，允许错 $m$ 位），超过门限则判定为同步

4.4 识别器性能

设误码率为 $P_e$，帧码位数为 $n$，门限 $L = n - m$（允许错 $m$ 位）。

漏识别概率 $P_1$（帧同步码存在但未被识别）：

门限越低（$m$ 越大），$P_1$ 越小——更容易识别到。

假识别概率 $P_2$（非帧同步码被误判为帧同步码）：

假设随机比特等概。门限越高（$m$ 越小），$P_2$ 越小——更难误判。帧码位数越多，$P_2$ 也越小。

同步建立时间：

集中插入式远小于分散插入式，这也是集中插入被广泛采用的原因。

4.5 帧同步保护

帧同步系统有两种工作状态：捕捉态（寻找帧同步码）和同步态（已锁定，维持同步）。

后方保护（减小假同步概率）：

这样，即使偶尔有随机数据碰巧像帧同步码，也不会立即锁定——必须连续 $\alpha$ 次确认。

前方保护（减小漏同步/假失步概率）：

这样，即使偶尔因噪声丢失一次帧同步码，也不会立即失步——必须连续 $\beta$ 次丢失才判定。

同步性能公式（门限等于 $n$ 时）：

• 漏同步概率：$P_l = 1 - (1-P_e)^n \approx nP_e$
• 假同步概率：$P_f = (1/2)^n$
• 平均同步建立时间：$\bar{t}_s \approx \frac{(1 + P_f + P_l) N T_F}{1 - P_f - P_l}$

其中 $N$ 为帧长，$T_F$ 为帧周期。

当通信网中有多个站点需要互相通信时，各站的时钟必须同步。