IIR 数字滤波器的设计

数字滤波器的设计通常走一条"间接"路线：先在模拟域设计一个满足指标的原型滤波器，再通过某种变换把它映射到数字域。这是因为模拟滤波器（Butterworth、Chebyshev、椭圆）已有成熟的设计公式和表格，而数字域直接设计 IIR 滤波器则困难得多。第六讲的主线正是：先明确数字滤波器的技术指标，再学习三类模拟原型，最后用冲激响应不变法、阶跃响应不变法、双线性变换和频率变换得到目标数字滤波器。

数字滤波器的分类可以从两条线理解：一条是经典滤波器与现代滤波器的区分，另一条是经典选频滤波器内部按功能分成低通、高通、带通、带阻和全通。前者回答“滤波问题的建模方式是什么”，后者回答“频率轴上要保留或压制哪些成分”。

因此，本讲的 IIR 设计主要处理经典选频滤波器，而不是维纳、卡尔曼或自适应滤波这类现代滤波问题。

频率响应、幅频特性和相频特性应当放在一起理解：$H(e^{j\omega})$ 是“每个频率分量通过系统后的复数增益”，模长对应幅度变化，辐角对应相位移动。

因此，后面讲通带、阻带和滤波器指标时，默认关注的是幅度响应；而最小相位系统、全通系统和相位均衡，则是在讨论相位响应。

通带、过渡带和阻带是在频率轴上划出的三个区域。通带不是“完全等于 1”，阻带也不是“完全等于 0”，二者都允许一定误差；过渡带则是不强行规定指标的连接区域。

这正是上表里 $\omega_p$、$\omega_s$、$\delta_1$、$\delta_2$ 的作用：它们把“想要一个低通/高通”变成可计算的设计约束。

flowchart LR
    A["数字滤波器指标"] --> B["模拟低通原型"]
    B --> C{"目标类型"}
    C -->|"低通"| D["模拟到数字映射"]
    C -->|"高通 / 带通 / 带阻"| E["频率变换"]
    E --> D
    D --> F["数字系统函数 H(z)"]
    F --> G["结构实现与指标验证"]
  

频率选择滤波器首先看幅度响应，但系统函数的零点位置还会决定相位延时或相位超前。若两个系统有相同的幅度响应，它们的零点可以关于单位圆成镜像关系；零点放在单位圆内还是单位圆外，会改变相位，却不改变幅度包络。这就是最小相位、最大相位以及相位超前/延时系统要解决的问题。

2.1 最小相位延时系统的性质

因果稳定的 LTI 系统，若所有零点和极点都在单位圆内，则称为最小相位延时系统，通常也简称最小相位系统。它的特点是：

• 幅频响应相同时，相移最小。
• 能量集中在最前面（最小能量延迟）。
• 逆系统也是因果稳定的（所有零极点在单位圆内）。

最小相位系统的核心是零点位置：零点在单位圆内外移动时，系统相位延时会改变；把零点镜像到单位圆内，可以在保持幅度响应的同时降低相位延时。

因此本节的主线是：因果稳定看极点，逆因果稳定看零点；最小相位延时系统则同时把极点和零点都约束在单位圆内。

3.1 全通系统的定义

全通系统的幅度响应恒为 1，即 $|H(e^{j\omega})|=1$ 对所有 $\omega$ 成立。

对于实系数全通系统，高阶形式为

全通系统的核心应用：

• 相位均衡：级联全通系统可以调整相位响应而不改变幅度。
• 稳定性补偿：一个不稳定的因果系统可以通过级联全通系统，将单位圆外的极点"镜像"回单位圆内，变成稳定的因果系统。
• 最小相位分解：任何因果稳定系统可以分解为最小相位系统与全通系统的级联。

全通系统需要抓住三件事：第一，幅度响应恒为 1；第二，一阶实系数全通系统的零点和极点以单位圆为镜像；第三，复系数情形要成共轭对出现，才能得到实系数系统。

全通系统的应用可以按两条线理解：一是利用全通系统做相位均衡，在不改变幅度响应的前提下修正相位；二是利用零极点镜像关系，把单位圆外的零点或极点搬回单位圆内，从而得到稳定、可逆或最小相位的等幅系统。

所以，全通系统不是为了改变选频幅度，而是在保持幅度不变的前提下重排相位与零极点位置，并把这种性质用于相位均衡、稳定补偿和最小相位分解。

这一节回答“为什么可以用模拟滤波器设计 IIR 数字滤波器，以及具体怎么做”。核心路线是：先根据数字指标换算出模拟指标，设计模拟低通原型 $H_a(s)$，再用冲激响应不变法、阶跃响应不变法或双线性变换得到数字系统函数 $H(z)$。

有了模拟原型 $H_a(s)$，需要把它变成数字滤波器 $H(z)$。第六讲依次给出三条路线：冲激响应不变法保持冲激响应采样点，阶跃响应不变法保持阶跃响应采样点，双线性变换则用一一映射避免频谱混叠。

4.1 冲激响应不变法（Impulse Invariance）

冲激响应不变法的目标很直接：让数字滤波器在采样时刻的冲激响应，尽量复现模拟滤波器的冲激响应。也就是说，先在模拟域设计 $H_a(s)$，再把 $h_a(t)$ 在 $t=nT$ 处采样，得到数字滤波器的 $h(n)$。

如果模拟系统中有一个极点 $s_k$，采样后对应的数字极点为

这就是冲激响应不变法最重要的极点映射关系。若 $s_k=\sigma_k+j\Omega_k$，则 $z_k=e^{\sigma_kT}e^{j\Omega_kT}$：模拟极点的实部决定数字极点半径，虚部决定数字极点角频率。

若 $H_a(s)$ 只有单极点，部分分式展开为

对应的模拟冲激响应为 $h_a(t)=\sum_{k=1}^{N}A_k e^{s_kt}u(t)$。采样后

再做 $z$ 变换，得到

因此冲激响应不变法适合低通、窄带带通这类模拟频谱主要集中在低频或有限频带内的场景；不适合高通和带阻，因为高频部分会被周期复制并折叠进低频，造成严重混叠。

冲激响应不变法的频率映射关系要抓住一个矛盾：$\\Omega$ 到 $\\omega$ 的关系局部是线性的，但数字频率以 $2\pi$ 为周期，模拟频谱会被周期复制，这正是混叠来源。

所以这一路线的优点是时域直观、频率轴低频段容易理解；缺点是不能干净处理高通和带阻。课件用一个完整算例验证了这一点：图 6-24 给出用冲激响应不变法设计出的六阶 Butterworth 低通数字滤波器的频率响应，分幅度、增益（dB）、相位三幅图（横轴 $\omega$ 从 0 到 $\pi$）。可以看到通带在 $0.2\pi$ 附近平坦下降、阻带衰减单调加深，正是 Butterworth“通带最平坦”的特征；同时高频段并未抬起，说明此例频谱基本带限、混叠不严重——这页是把“冲激响应不变法 + Butterworth 原型”落到实际设计效果上不可或缺的一页。

4.2 阶跃响应不变法（Step Invariance）

冲激响应不变法是让 $h(n)$ 模仿 $h_a(t)$ 的采样。第六讲还给出一种平行思路：让数字系统的阶跃响应模仿模拟系统阶跃响应的采样。它适合从"系统对阶跃输入的累积响应"角度理解模拟到数字的映射。

阶跃响应不变法的完整关系是：先从 $H_a(s)$ 得到 $G_a(s)$，再由采样后的 $G(z)$ 回到 $H(z)$。它比冲激响应不变法多了一个“先除以 $s$ 得到阶跃响应、最后再乘回 $(z-1)/z$”的步骤。

这样放置后，阶跃响应不变法的角色就很清楚：它仍是时域采样思想，只是采样对象从冲激响应换成了阶跃响应。

4.3 双线性变换法（Bilinear Transform）

双线性变换的核心特性：

• 无混叠：$s$ 平面整个 $j\Omega$ 轴一对一映射到 $z$ 平面单位圆，没有频率重叠。
• 频率畸变：模拟频率与数字频率的关系是非线性的：
  $$\Omega=\frac{2}{T}\tan\frac{\omega}{2},\qquad \omega=2\arctan\frac{\Omega T}{2}.$$
• 稳定性保持：$s$ 左半平面 $\to$ $z$ 单位圆内部，因果稳定的模拟滤波器一定映射为因果稳定的数字滤波器。

4.4 预畸变（Pre-warping）

由于双线性变换的频率畸变，若要求数字滤波器在 $\omega_c$ 处有截止频率，需要先把模拟原型的截止频率"预畸变"为

然后用 $\Omega_c$ 设计模拟滤波器，再做双线性变换，最终数字滤波器的截止频率就恰好落在 $\omega_c$。

双线性变换的关键优点是一一映射：$s$ 平面的虚轴会映射到 $z$ 平面的单位圆，所以模拟频率不会像冲激响应不变法那样发生周期重叠，数字滤波器不会产生频率响应混叠。但这个一一映射不是线性的，而是

当 $\omega\to\pi$ 时，$\Omega\to\infty$，也就是说，整个模拟频率轴被压缩进有限的数字频率区间 $[-\pi,\pi]$。这种压缩不是均匀的：低频段近似线性，高频段被越来越强地拉伸。

非线性频率映射会带来一个直接后果：如果仍然按线性关系把模拟临界频率取成 $\Omega_1=\omega_1/T$，经过双线性变换后实际数字临界频率会变成

因此模拟滤波器的分段常数幅频响应映射到数字域后，通带边界和阻带边界会偏离原本希望的位置。这里的“畸变”不是混叠，而是频率轴被非线性压缩导致的指标位置偏移。

预畸变就是这个问题的补救：既然双线性变换会把模拟频率 $\Omega$ 非线性映射成数字频率 $\omega$，设计前就先反向计算。给定希望数字滤波器落在 $\omega_1$ 的临界频率，先取

再按这个 $\Omega_1$ 去设计模拟滤波器。这样经过双线性变换后，数字滤波器的临界频率就会落回目标 $\omega_1$。多边界滤波器也一样：通带边界、阻带边界都要分别做预畸变。

频率响应的几何表示法

双线性变换把模拟滤波器转化为数字滤波器后，$H(z)$ 的频率响应由零极点位置决定。理解这种关系最直观的方式是几何表示法：把单位圆上的点 $B=e^{j\omega}$ 看作一个沿圆周移动的“探针”，$|H(e^{j\omega})|$ 的大小就由零点和极点到 $B$ 的距离之比决定。

从图中可以读出三条核心规律：

• 极点靠近单位圆 → 幅度峰值：当 $B$ 点经过极点 $d_k$ 附近时，$\overrightarrow{d_kB}$ 变得很短，分母变小，$|H|$ 出现峰值。极点越靠近单位圆，峰值越尖锐。
• 零点靠近单位圆 → 幅度谷值：当 $B$ 点经过零点 $c_i$ 附近时，$\overrightarrow{c_iB}$ 变得很短，分子变小，$|H|$ 出现谷值（陷波）。零点恰好在单位圆上时该频率处 $|H|=0$。
• 相位跳变：$B$ 点经过极点或零点附近时，向量方向快速旋转，$\varphi(\omega)$ 出现剧烈变化（图中下方相位曲线在 $\omega=\pi$ 附近的跳变）。

这个几何视角在设计完数字滤波器后特别有用：拿到 $H(z)$ 的零极点分布图，不用算数值就能直观判断通带在哪个频段、过渡带有多陡、有没有不该有的峰值或谷值。反过来，如果设计指标要求在某个频率处有陷波，就往单位圆上对应位置放零点；要求通带峰值，就把极点放在靠近单位圆的对应角度。

课件用一个算例验证了双线性变换法的实际效果：图 6-25 给出用双线性变换法设计出的四阶 Chebyshev 低通数字滤波器幅频响应（纵轴 $20\lg|H(e^{j\omega})|$，单位 dB；横轴 $\omega/\pi$ 从 0 到 1.0）。可以看到通带边界在 $0.2\pi$ 附近、阻带衰减一路单调加深到 $-100$ dB 以下，且高频段没有因混叠而抬起——正好印证“双线性变换无混叠”的优点，也与前面冲激响应不变法的图 6-24 形成对照。这页是把双线性变换法落到实际设计效果上不可或缺的一页。

4.5 双线性变换法设计例题

flowchart LR
    X(["x[n]"]) --> ADD1((+))
    ADD1 --> W(["w[n]"])
    W --> ADD2((+))
    ADD2 --> Y(["y[n]"])
    W --> D1["z⁻¹"] --> W1(["w[n-1]"])
    W1 --> D2["z⁻¹"] --> W2(["w[n-2]"])
    W2 --> D3["z⁻¹"] --> W3(["w[n-3]"])
    W3 --> D4["z⁻¹"] --> W4(["w[n-4]"])
    W4 --> D5["z⁻¹"] --> W5(["w[n-5]"])
    W5 --> D6["z⁻¹"] --> W6(["w[n-6]"])
    W1 -- "−a₁" --> ADD1
    W2 -- "−a₂" --> ADD1
    W3 -- "−a₃" --> ADD1
    W4 -- "−a₄" --> ADD1
    W5 -- "−a₅" --> ADD1
    W6 -- "−a₆" --> ADD1
    W -- "b₀" --> ADD2
    W1 -- "b₁" --> ADD2
    W2 -- "b₂" --> ADD2
    W3 -- "b₃" --> ADD2
    W4 -- "b₄" --> ADD2
    W5 -- "b₅" --> ADD2
    W6 -- "b₆" --> ADD2
    

4.6 方法选择：什么时候用冲激响应不变法，什么时候用双线性变换法

前面给了三种映射方法，实际做题时最关键的是判断该用哪一种。判断有两个层次：先看滤波器类型（是否高通／带阻），再看题目给的是模拟指标还是数字指标。

flowchart TD
    A["拿到 Butterworth 设计题"] --> B{"是高通 / 带阻？"}
    B -->|"是"| C["必须用双线性变换
（冲激不变法对高频混叠无解）"]
    B -->|"否（低通 / 带通）"| D{"给模拟指标且要
逼近模拟滤波器？"}
    D -->|"是"| E["用冲激响应不变法"]
    D -->|"否"| F{"要保留冲激 /
阶跃响应时域形状？"}
    F -->|"是"| E
    F -->|"否（只给数字指标）"| G["默认用双线性变换
（无混叠，最稳妥）"]
  

模拟低通滤波器的幅度平方函数通常写成 $A^2(\Omega)=|H_a(j\Omega)|^2$ 的形式。三种经典原型分别从"最平坦"、"等波纹"、"最陡过渡"三个角度逼近理想矩形特性。

5.1 Butterworth 滤波器

Butterworth 的特点是：

• $\Omega=0$ 处幅度最平坦（前 $2N-1$ 阶导数为零）。
• 极点均匀分布在 $s$ 平面左半圆的圆周上，角度间隔为 $\pi/N$。
• 过渡带较宽，相同指标下阶数最高。

极点分布

令 $|H_a(j\Omega)|^2$ 的分母为零，得到 $2N$ 个极点均匀分布在半径 $\Omega_c$ 的圆上：

取左半平面的 $N$ 个极点构成稳定的 $H_a(s)$。

这个极点公式并非凭空给出，而是从幅度平方特性推来的：把 $\Omega=s/j$ 代入得 $|H_a(j\Omega)|^2\big|_{\Omega=s/j}=H_a(s)H_a(-s)=1/[1+(s/j\Omega_c)^{2N}]$，可见 Butterworth 是一个全极点滤波器（分子为常数、无有限零点），令分母为零即解出上式的 $2N$ 个极点。这一步是极点公式的出处。

这些极点的几何分布有一组很整齐的规律，课件用图 6-18 系统总结：$2N$ 个极点在 $s$ 平面上象限对称、分布在半径 $\Omega_c$ 的 Butterworth 圆上，相邻极点角度间隔为 $\pi/N$，极点不落在虚轴上；当 $N$ 为奇数时实轴上有极点、$N$ 为偶数时实轴上无极点。图中分别画出 $N=3$（角度间隔 $\pi/3$）与 $N=4$（角度间隔 $\pi/4$）两种情形，是理解“怎样挑出左半平面极点”不可或缺的图示。

阶数公式

给定通带截止 $\Omega_p$（最大衰减 $\alpha_p$ dB）和阻带截止 $\Omega_s$（最小衰减 $\alpha_s$ dB），阶数必须满足

推导思路：在 $\Omega_p$ 处要求 $|H_a|^2\ge 10^{-0.1\alpha_p}$，在 $\Omega_s$ 处要求 $|H_a|^2\le 10^{-0.1\alpha_s}$，分别解出不等式后联立消去 $\Omega_c$ 即得 $N$。

把这些左半平面极点代回去，就得到 Butterworth 的系统函数 $H_a(s)=\Omega_c^N/\prod_{k=1}^N(s-s_k)$。课件还强调一个工程上常用的技巧：先取 $\Omega_c=\Omega_{cr}=1\,\text{rad/s}$ 写出归一化系统函数 $H_{an}(s)$（极点直接落在单位圆上、可查表），再用频率代换 $s\to\Omega_{cr}s/\Omega_c$ 做去归一化，即 $H_a(s)=H_{an}(\Omega_{cr}s/\Omega_c)$，把截止频率搬到实际指标要求的 $\Omega_c$ 上。这套“归一化设计 + 去归一化还原”是 Butterworth 实际计算不可或缺的一步。

Butterworth 低通逼近的关键是幅度平方函数和 3 dB 截止频率定义；设计步骤则按“先定指标，再归一化，再求阶数和截止频率”的顺序展开。上文已经完整转写并解释这些公式，因此这里作为出处和步骤对照。

课件用一页系统总结了 Butterworth 的幅度函数特点：$\Omega=0$ 处幅度为 1、$\Omega=\Omega_c$ 处恒为 $1/2$（3 dB 不变性）、通带内最大平坦且单调下降、过渡带与阻带内快速单调下降；图 6-17 还给出 $N=2,4,8$ 三条幅度曲线的对比，直观说明阶数越高过渡越陡。这页是理解“最平坦”含义与阶数作用不可或缺的图示。

也就是说，Butterworth 不是先随便选阶数，而是由通带、阻带指标倒推出最低阶数，再构造稳定的左半平面极点。而“怎样从幅度平方函数恢复出稳定的 $H_a(s)$”是这一步背后的通用方法：先令 $\Omega^2=-s^2$ 得到 $H_a(s)H_a(-s)$，再把左半平面的极点（以及合适的零点）归给 $H_a(s)$，最后由 $\Omega=0$（或其它已知点）定增益常数。课件用一道具体例题演示了这一恢复过程，是理解 Butterworth 极点选取逻辑不可或缺的一步。

5.2 Chebyshev 滤波器

Chebyshev 多项式 $T_N(x)$

Chebyshev 多项式的递推定义为

其封闭形式为 $T_N(x)=\cos(N\arccos x)$（当 $|x|\le 1$ 时），在 $[-1,1]$ 上等幅振荡于 $\pm 1$ 之间；当 $|x|>1$ 时，$T_N(x)=\cosh(N\cosh^{-1}x)$，这解释了 Chebyshev 阶数公式为什么会出现反双曲余弦函数。

Chebyshev I 型的特点是：

• 通带内等波纹（波纹大小由 $\varepsilon$ 控制），阻带单调下降。
• 过渡带比 Butterworth 更陡，相同指标下阶数更低。
• 极点分布在左半平面的椭圆上（而非 Butterworth 的圆上）。

Chebyshev 阶数公式

与 Butterworth 的对数公式不同，Chebyshev 阶数公式涉及反双曲余弦函数，这是因为 Chebyshev 多项式在 $|x|>1$ 时表现为 $\cosh$ 形式。

Chebyshev II 型（逆 Chebyshev）则相反：阻带等波纹，通带单调。

Chebyshev 概念后面要重点看通带内的等波纹形状：它不是 Butterworth 那种“尽量平”，而是有意把误差均匀分摊到通带里，从而换来更陡的过渡带。课件用一页把两种型号的幅度特性并排画出：图 6-19 是 Chebyshev I 型（通带等波纹、阻带单调，画出 $N$ 为奇数与偶数两种情形，波纹 2 dB），图 6-20 是 Chebyshev II 型（通带单调、阻带等波纹）。对照 $1/\sqrt{1+\varepsilon^2}$、$1/A$ 这两条幅度参考线，可以一眼看出“波纹放在通带还是阻带”决定了 I 型与 II 型的区别——这是理解 Chebyshev 两型差异不可或缺的图页。

Chebyshev 的设计步骤围绕波纹参数 $\varepsilon$、多项式 $T_N(x)$ 和阶数公式展开；上文已经写出这些关键公式，因此这里作为公式出处和步骤对照。

常用模拟低通原型可以放在同一张对比表里理解：Butterworth 最平坦但过渡慢，Chebyshev 用波纹换过渡陡峭，椭圆滤波器过渡最快但相位代价最大。

这张表对应上面的原型对比表，也解释了为什么工程设计要在“阶数、过渡带、波纹、相位”之间取舍。

5.3 Ellipse / Elliptic 椭圆滤波器

椭圆滤波器也叫 Cauer 滤波器。它同时允许通带和阻带出现等波纹，因此在相同阶数下可以获得最窄的过渡带，也就是“最陡”的幅频下降。

5.4 Bessel 贝塞尔滤波器

Bessel 滤波器的核心目标不是最陡过渡，而是尽量平坦的群时延。它常用于更看重波形形状、瞬态响应和相位线性的场景。

上述方法设计的是低通滤波器。若需要高通、带通或带阻，可以通过频率变换把低通原型变成目标类型。

6.1 模拟频率变换

在模拟域直接对 $s$ 做变换，再把结果用双线性变换映射到数字域。

6.2 数字频率变换

第六讲最后一组内容是数字域频带变换法：先得到一个数字低通 $H_L(z)$，再把其中的 $z^{-1}$ 替换为一个全通函数 $G(Z^{-1})$，得到目标数字滤波器

这种方法完全在数字域中操作，要求 $G(Z^{-1})$ 把 $z$ 平面单位圆映射到 $Z$ 平面单位圆，并且把单位圆内部映射到单位圆内部，从而保持因果稳定。

flowchart LR
    A["数字低通 H_L(z)"] --> B["全通替换 z^-1 = G(Z^-1)"]
    B --> C{"相位映射"}
    C -->|"保持低频"| D["数字低通"]
    C -->|"旋转 180°"| E["数字高通"]
    C -->|"0 → π → 0"| F["数字带通"]
    C -->|"π → 0 → π"| G["数字带阻"]
  

这正是前面第二章全通系统埋下的伏笔在这里兑现：替换函数 $G(Z^{-1})$ 必须是全通函数，靠它“幅度恒为 1”保住原数字低通的通带／阻带形状，靠它“相位随频率变化”把频带搬到高通／带通／带阻的位置——所以那时强调的“只改相位、不改幅度”，到这一步才显出真正用途。

IIR 设计方法可以总览成一条完整路线：先定指标，再选模拟原型，再选择冲激响应不变法、阶跃响应不变法或双线性变换，最后必要时做频带变换。

数字域频带变换的入口是两个要求：第一，替换函数必须把单位圆映射到单位圆；第二，满足这个要求的替换函数本质上就是全通函数。

数字低通到数字高通的全通替换公式，以及多通带/带阻情形下全通函数阶数与符号的选择，已经被整理进上面的公式表；这里用轻量引用标注出处。

这样读下来，数字频率变换的逻辑是连续的：用全通替换重排单位圆上的频率位置，而不是重新设计一个新的模拟原型。

6.3 工程实现提示

设计完成后，还需要考虑实际实现中的数值问题：

• 系数量化：$a_k,b_k$ 用有限位表示后，零极点位置会偏移。高阶直接型对系数极其敏感，通常拆成二阶级联实现。
• 运算溢出：IIR 滤波器有反馈，中间变量可能很大。需要缩放输入或采用饱和算术。
• 极限环振荡：有限字长下，零输入时输出可能不收敛到零，而是进入小幅度周期振荡。