IIR 数字滤波器的设计

数字滤波器的设计通常走一条"间接"路线：先在模拟域设计一个满足指标的原型滤波器，再通过某种变换把它映射到数字域。这是因为模拟滤波器（Butterworth、Chebyshev、椭圆）已有成熟的设计公式和表格，而数字域直接设计 IIR 滤波器则困难得多。第六讲的主线正是：先明确数字滤波器的技术指标，再学习三类模拟原型，最后用冲激响应不变法、阶跃响应不变法、双线性变换和频率变换得到目标数字滤波器。

数字滤波器的分类可以从两条线理解：一条是经典滤波器与现代滤波器的区分，另一条是经典选频滤波器内部按功能分成低通、高通、带通、带阻和全通。前者回答“滤波问题的建模方式是什么”，后者回答“频率轴上要保留或压制哪些成分”。

因此，本讲的 IIR 设计主要处理经典选频滤波器，而不是维纳、卡尔曼或自适应滤波这类现代滤波问题。

频率响应、幅频特性和相频特性应当放在一起理解：$H(e^{j\omega})$ 是“每个频率分量通过系统后的复数增益”，模长对应幅度变化，辐角对应相位移动。

因此，后面讲通带、阻带和滤波器指标时，默认关注的是幅度响应；而最小相位系统、全通系统和相位均衡，则是在讨论相位响应。

通带、过渡带和阻带是在频率轴上划出的三个区域。通带不是“完全等于 1”，阻带也不是“完全等于 0”，二者都允许一定误差；过渡带则是不强行规定指标的连接区域。

这正是上表里 $\omega_p$、$\omega_s$、$\delta_1$、$\delta_2$ 的作用：它们把“想要一个低通/高通”变成可计算的设计约束。

flowchart LR
    A["数字滤波器指标"] --> B["模拟低通原型"]
    B --> C{"目标类型"}
    C -->|"低通"| D["模拟到数字映射"]
    C -->|"高通 / 带通 / 带阻"| E["频率变换"]
    E --> D
    D --> F["数字系统函数 H(z)"]
    F --> G["结构实现与指标验证"]
  

频率选择滤波器首先看幅度响应，但系统函数的零点位置还会决定相位延时或相位超前。若两个系统有相同的幅度响应，它们的零点可以关于单位圆成镜像关系；零点放在单位圆内还是单位圆外，会改变相位，却不改变幅度包络。这就是最小相位、最大相位以及相位超前/延时系统要解决的问题。

2.1 最小相位延时系统的性质

因果稳定的 LTI 系统，若所有零点和极点都在单位圆内，则称为最小相位延时系统，通常也简称最小相位系统。它的特点是：

• 幅频响应相同时，相移最小。
• 能量集中在最前面（最小能量延迟）。
• 逆系统也是因果稳定的（所有零极点在单位圆内）。

最小相位系统的核心是零点位置：零点在单位圆内外移动时，系统相位延时会改变；把零点镜像到单位圆内，可以在保持幅度响应的同时降低相位延时。

因此本节的主线是：因果稳定看极点，逆因果稳定看零点；最小相位延时系统则同时把极点和零点都约束在单位圆内。

3.1 全通系统的定义

全通系统的幅度响应恒为 1，即 $|H(e^{j\omega})|=1$ 对所有 $\omega$ 成立。

对于实系数全通系统，高阶形式为

全通系统的核心应用：

• 相位均衡：级联全通系统可以调整相位响应而不改变幅度。
• 稳定性补偿：一个不稳定的因果系统可以通过级联全通系统，将单位圆外的极点"镜像"回单位圆内，变成稳定的因果系统。
• 最小相位分解：任何因果稳定系统可以分解为最小相位系统与全通系统的级联。

全通系统需要抓住三件事：第一，幅度响应恒为 1；第二，一阶实系数全通系统的零点和极点以单位圆为镜像；第三，复系数情形要成共轭对出现，才能得到实系数系统。

全通系统的应用可以按两条线理解：一是利用全通系统做相位均衡，在不改变幅度响应的前提下修正相位；二是利用零极点镜像关系，把单位圆外的零点或极点搬回单位圆内，从而得到稳定、可逆或最小相位的等幅系统。

所以，全通系统不是为了改变选频幅度，而是在保持幅度不变的前提下重排相位与零极点位置，并把这种性质用于相位均衡、稳定补偿和最小相位分解。

前两节我们讨论了 IIR 的相位性质和全通系统,但还没回答一个工程问题：拿到一个 $H(z)$ 后,如何把它画成信号流图,再落地成差分方程、Python 代码或硬件乘法器?这一节补上这一步。结构选择之所以重要,是因为它直接影响存储开销、系数量化敏感度和内部状态动态范围——拿到同一个 $H(z)$ 后,选择直接型、级联型还是并联型,得到的实现是截然不同的。

4.1 IIR 递归结构的特点

IIR(Infinite Impulse Response)滤波器的特点是：单位冲激响应 $h(n)$ 无限长;$H(z)$ 在有限 $z$ 平面上有极点;结构上存在输出到输入的反馈,是递归型的。

递归结构带来两个直接后果。第一,IIR 可以用较低阶数得到很陡的过渡带,因此同样指标下通常比 FIR 更省乘法器;第二,极点位置决定稳定性,只要极点受量化影响跑到单位圆外,系统就会失稳。所以 IIR 结构设计最关心的是极点控制、系数量化敏感度和内部状态动态范围。

4.2 为什么同一个 IIR 要有多种结构

一个系统函数 $H(z)$ 只规定了输入和输出之间的关系,并没有规定中间变量怎么存、乘法器怎么排、反馈支路怎么组织。直接 I 型、直接 II 型、级联型、并联型本质上是同一个 $H(z)$ 的不同"施工方案"。

graph TD
  A["拿到同一个 H(z)"] --> B{"目标是什么?"}
  B -->|"先看懂公式怎么实现"| C["直接 I 型"]
  B -->|"尽量少用延迟/存储"| D["直接 II 型"]
  B -->|"高阶 IIR 要稳定可靠"| E["级联型二阶节"]
  B -->|"硬件能并行、多支路同时算"| F["并联型"]
  C --> G["学习、手算、低阶原型"]
  D --> H["存储省,但内部状态动态范围要小心"]
  E --> I["工程最常用:逐节控制零极点"]
  F --> J["误差不串行传递,适合并行架构"]

4.3 直接 I 型

按差分方程直接画出：先实现零点网络($M$ 个延迟+加权,对 $x$ 的横向抽头),再实现极点网络($N$ 个延迟+加权,对 $y$ 的反馈)。

直接 I 型与系统函数公式的对应关系：分子多项式对应输入抽头网络,分母多项式对应输出反馈网络。因此直接 I 型不是凭空画出来的,而是把 $H(z)$ 的分子、分母分别按 $z^{-1}$ 延迟链展开。

直接 I 型的直观好处是"零点在前、极点在后",与差分方程一一对应,容易手画。缺点是延迟单元多,系数 $a_k,b_k$ 对极点/零点的控制不直观,且极点对系数变化非常敏感,容易出现不稳定或较大误差。

4.4 直接 II 型(正准型)

直接 I 型的零点网络和极点网络是级联的,可以把它们交换顺序。交换后,两个网络中间的延迟单元完全重合,合并后只需 $\max(M,N)$ 个延迟单元。直接 II 型可以理解成一条共享的状态链：先由反馈系数 $a_k$ 递推得到中间状态 $x'(n)$,再由前向系数 $b_k$ 从这些状态合成输出 $y(n)$。

因此直接 II 型的核心不是"换一种画法",而是把原本分别服务于分子和分母的两组延迟记忆合并为同一组内部状态。若 $M=N$,直接 I 型需要 $2N$ 个延迟单元,直接 II 型只需要 $N$ 个;若 $M\ne N$,则需要 $\max(M,N)$ 个。它很省存储,所以也叫正准型(canonical form)。

4.5 级联型

先把 $H(z)$ 的分子分母分别因式分解为零点和极点:

其中 $g_k$ 为实零点,$h_k$ 为复零点,$c_k$ 为实极点,$d_k$ 为复极点;$M=M_1+2M_2$,$N=N_1+2N_2$。再把共轭对组合成实系数二阶因子:

级联型的信号流图法：每个一阶或二阶小节先单独画成信号流图,再按系统函数乘积的顺序首尾相接。这样读图时不需要一次面对完整高阶多项式,而是逐节检查每个子系统的零点、极点和延迟链。

级联型最关键的工程理解：当 $M=N=4$ 时,系统可拆成 2 个二阶节;当 $M=N=6$ 时,可拆成 3 个二阶节。每一节都有自己的 $\beta_{1k},\beta_{2k}$ 与 $\alpha_{1k},\alpha_{2k}$,所以调节第 $k$ 节时,主要影响第 $k$ 对零点和第 $k$ 对极点,而不是一次牵动整个高阶多项式。

级联型把高阶滤波器拆成若干个一阶/二阶小系统串联。每个二阶节(Biquad)只用 2 个延迟单元,负责一对共轭零点和一对共轭极点;整体 $H(z)$ 等于各节系统函数的乘积。这样:

• $\beta_{1k},\beta_{2k}$ 主要决定第 $k$ 节的零点位置,常用来塑造通带、阻带或陷波位置。
• $\alpha_{1k},\alpha_{2k}$ 决定第 $k$ 节的极点位置,直接影响峰值、带宽和稳定性。
• 每节只处理低阶多项式,系数量化误差不会一次性作用在高阶多项式上,数值灵敏度通常低于直接型。
• 实际实现时还可以调整二阶节顺序和每节增益分配,避免某一节内部信号过大而溢出。

4.6 并联型

把 $H(z)$ 做部分分式展开:

并联型的具体演示：先把系统函数展开成若干个简单支路,每条支路独立实现一个一阶或二阶子系统,最后在输出端求和。这个例子适合对照部分分式展开步骤,理解"相加的系统函数"如何变成"并行的结构图"。

并联型通过部分分式展开得到：把一个高阶有理函数拆成若干个一阶/二阶子系统的和。输入 $x(n)$ 同时送入所有支路,各支路分别产生一个分量响应,最后把这些输出相加得到 $y(n)$。

当 $M<N$ 时不含 $G_k$ 项;当 $M\ge N$ 时需要先做长除法,前面的 $G_k z^{-k}$ 是直接前馈项;当 $N$ 为奇数时通常会有一个一阶节。并联型的特点是:

• 各并联支路互相独立,某一支路的舍入误差不会继续传入下一节,误差传播路径短。
• 多个支路可以同时计算,再在末端相加,适合 FPGA、SIMD 或多乘法器 DSP 这类并行硬件。
• 每个分母因子对应一组极点,所以可以较清楚地观察每组极点贡献的模态响应。
• 零点不是由某个单独支路直接控制,而是所有支路相加后整体形成,因此不如级联型那样便于单独调整零点。

4.8 转置定理

至此,IIR 的两类底层性质——相位(第二章)和全通(第三章)——以及"给定 $H(z)$ 怎么实现成电路/代码"都已交代清楚。接下来的问题变成:已知滤波指标,如何反推出一个满足要求的 $H(z)$?这正是后面第五章 IIR 设计方法的主题。

这一节回答“为什么可以用模拟滤波器设计 IIR 数字滤波器，以及具体怎么做”。核心路线是：先根据数字指标换算出模拟指标，设计模拟低通原型 $H_a(s)$，再用冲激响应不变法、阶跃响应不变法或双线性变换得到数字系统函数 $H(z)$。

有了模拟原型 $H_a(s)$，需要把它变成数字滤波器 $H(z)$。第六讲依次给出三条路线：冲激响应不变法保持冲激响应采样点，阶跃响应不变法保持阶跃响应采样点，双线性变换则用一一映射避免频谱混叠。

5.1 冲激响应不变法（Impulse Invariance）

冲激响应不变法的目标很直接：让数字滤波器在采样时刻的冲激响应，尽量复现模拟滤波器的冲激响应。也就是说，先在模拟域设计 $H_a(s)$，再把 $h_a(t)$ 在 $t=nT$ 处采样，得到数字滤波器的 $h(n)$。

如果模拟系统中有一个极点 $s_k$，采样后对应的数字极点为

这就是冲激响应不变法最重要的极点映射关系。若 $s_k=\sigma_k+j\Omega_k$，则 $z_k=e^{\sigma_kT}e^{j\Omega_kT}$：模拟极点的实部决定数字极点半径，虚部决定数字极点角频率。

若 $H_a(s)$ 只有单极点，部分分式展开为

对应的模拟冲激响应为 $h_a(t)=\sum_{k=1}^{N}A_k e^{s_kt}u(t)$。采样后

再做 $z$ 变换，得到

因此冲激响应不变法适合低通、窄带带通这类模拟频谱主要集中在低频或有限频带内的场景；不适合高通和带阻，因为高频部分会被周期复制并折叠进低频，造成严重混叠。

冲激响应不变法的频率映射关系要抓住一个矛盾：$\\Omega$ 到 $\\omega$ 的关系局部是线性的，但数字频率以 $2\pi$ 为周期，模拟频谱会被周期复制，这正是混叠来源。

所以这一路线的优点是时域直观、频率轴低频段容易理解；缺点是不能干净处理高通和带阻。课件用一个完整算例验证了这一点：图 6-24 给出用冲激响应不变法设计出的六阶 Butterworth 低通数字滤波器的频率响应，分幅度、增益（dB）、相位三幅图（横轴 $\omega$ 从 0 到 $\pi$）。可以看到通带在 $0.2\pi$ 附近平坦下降、阻带衰减单调加深，正是 Butterworth“通带最平坦”的特征；同时高频段并未抬起，说明此例频谱基本带限、混叠不严重——这页是把“冲激响应不变法 + Butterworth 原型”落到实际设计效果上不可或缺的一页。

5.2 阶跃响应不变法（Step Invariance）

冲激响应不变法是让 $h(n)$ 模仿 $h_a(t)$ 的采样。第六讲还给出一种平行思路：让数字系统的阶跃响应模仿模拟系统阶跃响应的采样。它适合从"系统对阶跃输入的累积响应"角度理解模拟到数字的映射。

阶跃响应不变法的完整关系是：先从 $H_a(s)$ 得到 $G_a(s)$，再由采样后的 $G(z)$ 回到 $H(z)$。它比冲激响应不变法多了一个“先除以 $s$ 得到阶跃响应、最后再乘回 $(z-1)/z$”的步骤。

这样放置后，阶跃响应不变法的角色就很清楚：它仍是时域采样思想，只是采样对象从冲激响应换成了阶跃响应。

5.3 双线性变换法（Bilinear Transform）

双线性变换的核心特性：

• 无混叠：$s$ 平面整个 $j\Omega$ 轴一对一映射到 $z$ 平面单位圆，没有频率重叠。
• 频率畸变：模拟频率与数字频率的关系是非线性的：
  $$\Omega=\frac{2}{T}\tan\frac{\omega}{2},\qquad \omega=2\arctan\frac{\Omega T}{2}.$$
• 稳定性保持：$s$ 左半平面 $\to$ $z$ 单位圆内部，因果稳定的模拟滤波器一定映射为因果稳定的数字滤波器。

5.4 预畸变（Pre-warping）

由于双线性变换的频率畸变，若要求数字滤波器在 $\omega_c$ 处有截止频率，需要先把模拟原型的截止频率"预畸变"为

然后用 $\Omega_c$ 设计模拟滤波器，再做双线性变换，最终数字滤波器的截止频率就恰好落在 $\omega_c$。

双线性变换的关键优点是一一映射：$s$ 平面的虚轴会映射到 $z$ 平面的单位圆，所以模拟频率不会像冲激响应不变法那样发生周期重叠，数字滤波器不会产生频率响应混叠。但这个一一映射不是线性的，而是

当 $\omega\to\pi$ 时，$\Omega\to\infty$，也就是说，整个模拟频率轴被压缩进有限的数字频率区间 $[-\pi,\pi]$。这种压缩不是均匀的：低频段近似线性，高频段被越来越强地拉伸。

非线性频率映射会带来一个直接后果：如果仍然按线性关系把模拟临界频率取成 $\Omega_1=\omega_1/T$，经过双线性变换后实际数字临界频率会变成

因此模拟滤波器的分段常数幅频响应映射到数字域后，通带边界和阻带边界会偏离原本希望的位置。这里的“畸变”不是混叠，而是频率轴被非线性压缩导致的指标位置偏移。

幅频特性失真：黑色直线 $\omega=\Omega T$ 超出 $\pi$（线性映射，存在混叠），红色曲线 $\omega=2\arctan(\Omega T/2)$ 始终在 $[-\pi,\pi]$ 内（双线性映射，无混叠但频率非线性）。低频段两者近似重合，高频段分歧越来越大。

预畸变就是这个问题的补救：既然双线性变换会把模拟频率 $\Omega$ 非线性映射成数字频率 $\omega$，设计前就先反向计算。给定希望数字滤波器落在 $\omega_1$ 的临界频率，先取

再按这个 $\Omega_1$ 去设计模拟滤波器。这样经过双线性变换后，数字滤波器的临界频率就会落回目标 $\omega_1$。多边界滤波器也一样：通带边界、阻带边界都要分别做预畸变。

5.5 频率响应的几何表示法

双线性变换把模拟滤波器转化为数字滤波器后，$H(z)$ 的频率响应由零极点位置决定。理解这种关系最直观的方式是几何表示法：把单位圆上的点 $B=e^{j\omega}$ 看作一个沿圆周移动的“探针”，$|H(e^{j\omega})|$ 的大小就由零点和极点到 $B$ 的距离之比决定。

图 3.11 频率响应的几何表示法：左图为 z 平面上零点 $c_1$、极点 $d_k$ 到单位圆上 $B=e^{j\omega}$ 的向量；右图为对应的 $|H(e^{j\omega})|$ 和 $\varphi(\omega)$ 曲线。幅度响应等于所有零点向量长度之积除以所有极点向量长度之积。

从图中可以读出三条核心规律：

• 极点靠近单位圆 → 幅度峰值：当 $B$ 点经过极点 $d_k$ 附近时，$\overrightarrow{d_kB}$ 变得很短，分母变小，$|H|$ 出现峰值。极点越靠近单位圆，峰值越尖锐。
• 零点靠近单位圆 → 幅度谷值：当 $B$ 点经过零点 $c_i$ 附近时，$\overrightarrow{c_iB}$ 变得很短，分子变小，$|H|$ 出现谷值（陷波）。零点恰好在单位圆上时该频率处 $|H|=0$。
• 相位跳变：$B$ 点经过极点或零点附近时，向量方向快速旋转，$\varphi(\omega)$ 出现剧烈变化（图中下方相位曲线在 $\omega=\pi$ 附近的跳变）。

这个几何视角在设计完数字滤波器后特别有用：拿到 $H(z)$ 的零极点分布图，不用算数值就能直观判断通带在哪个频段、过渡带有多陡、有没有不该有的峰值或谷值。反过来，如果设计指标要求在某个频率处有陷波，就往单位圆上对应位置放零点；要求通带峰值，就把极点放在靠近单位圆的对应角度。

课件用一个算例验证了双线性变换法的实际效果：图 6-25 给出用双线性变换法设计出的四阶 Chebyshev 低通数字滤波器幅频响应（纵轴 $20\lg|H(e^{j\omega})|$，单位 dB；横轴 $\omega/\pi$ 从 0 到 1.0）。可以看到通带边界在 $0.2\pi$ 附近、阻带衰减一路单调加深到 $-100$ dB 以下，且高频段没有因混叠而抬起——正好印证“双线性变换无混叠”的优点，也与前面冲激响应不变法的图 6-24 形成对照。这页是把双线性变换法落到实际设计效果上不可或缺的一页。

5.7 方法选择：什么时候用冲激响应不变法，什么时候用双线性变换法

前面给了三种映射方法，实际做题时最关键的是判断该用哪一种。判断有两个层次：先看滤波器类型（是否高通／带阻），再看题目给的是模拟指标还是数字指标。

flowchart TD
    A["拿到 Butterworth 设计题"] --> B{"是高通 / 带阻？"}
    B -->|"是"| C["必须用双线性变换
（冲激不变法对高频混叠无解）"]
    B -->|"否（低通 / 带通）"| D{"给模拟指标且要
逼近模拟滤波器？"}
    D -->|"是"| E["用冲激响应不变法"]
    D -->|"否"| F{"要保留冲激 /
阶跃响应时域形状？"}
    F -->|"是"| E
    F -->|"否（只给数字指标）"| G["默认用双线性变换
（无混叠，最稳妥）"]
  

上述方法设计的是低通滤波器。若需要高通、带通或带阻，可以通过频率变换把低通原型变成目标类型。

6.1 模拟频率变换

在模拟域直接对 $s$ 做变换，再把结果用双线性变换映射到数字域。

6.2 数字频率变换

第六讲最后一组内容是数字域频带变换法：先得到一个数字低通 $H_L(z)$，再把其中的 $z^{-1}$ 替换为一个全通函数 $G(Z^{-1})$，得到目标数字滤波器

这种方法完全在数字域中操作，要求 $G(Z^{-1})$ 把 $z$ 平面单位圆映射到 $Z$ 平面单位圆，并且把单位圆内部映射到单位圆内部，从而保持因果稳定。

flowchart LR
    A["数字低通 H_L(z)"] --> B["全通替换 z^-1 = G(Z^-1)"]
    B --> C{"相位映射"}
    C -->|"保持低频"| D["数字低通"]
    C -->|"旋转 180°"| E["数字高通"]
    C -->|"0 → π → 0"| F["数字带通"]
    C -->|"π → 0 → π"| G["数字带阻"]
  

这正是前面第二章全通系统埋下的伏笔在这里兑现：替换函数 $G(Z^{-1})$ 必须是全通函数，靠它“幅度恒为 1”保住原数字低通的通带／阻带形状，靠它“相位随频率变化”把频带搬到高通／带通／带阻的位置——所以那时强调的“只改相位、不改幅度”，到这一步才显出真正用途。

IIR 设计方法可以总览成一条完整路线：先定指标，再选模拟原型，再选择冲激响应不变法、阶跃响应不变法或双线性变换，最后必要时做频带变换。

数字域频带变换的入口是两个要求：第一，替换函数必须把单位圆映射到单位圆；第二，满足这个要求的替换函数本质上就是全通函数。

数字低通到数字高通的全通替换公式，以及多通带/带阻情形下全通函数阶数与符号的选择，已经被整理进上面的公式表；这里用轻量引用标注出处。

这样读下来，数字频率变换的逻辑是连续的：用全通替换重排单位圆上的频率位置，而不是重新设计一个新的模拟原型。

6.3 工程实现提示

设计完成后，还需要考虑实际实现中的数值问题：

• 系数量化：$a_k,b_k$ 用有限位表示后，零极点位置会偏移。高阶直接型对系数极其敏感，通常拆成二阶级联实现。
• 运算溢出：IIR 滤波器有反馈，中间变量可能很大。需要缩放输入或采用饱和算术。
• 极限环振荡：有限字长下，零输入时输出可能不收敛到零，而是进入小幅度周期振荡。