数列与级数
数列和级数的核心问题是:面对无限多个数,我们什么时候可以说它们"趋向某个确定结果"?数列研究单个项 $a_n$ 的极限,级数研究部分和 $S_n=a_1+\\cdots+a_n$ 的极限,幂级数进一步把无穷求和变成一个关于 $x$ 的函数。
本节会把本地高数笔记中的"数列、数项级数、幂级数、傅里叶级数、泰勒级数"串起来。学完后应能判断常见数列/级数收敛性,求幂级数收敛半径,并用泰勒展开做近似。
在进入极限之前,我们先回顾两种最基本的数列--等差与等比,它们是理解更复杂数列行为的起点。
前置知识回顾
- 极限:判断"无限过程"是否靠近一个确定值。去哪里补:高等数学.org"数列的极限"。
- 函数与不等式:比较判别、夹逼定理都依赖不等式控制。
- 导数:泰勒展开用导数提取局部信息。去哪里补:导数与微分笔记。
在讨论极限和收敛之前,需要先认识两种最常见的数列类型。数列按正整数编号的一列数 $\{a_n\}$ 可以有无数种形态,但其中最基础、最实用的是两类:等差数列(相邻项差固定)和等比数列(相邻项比固定)。
等差数列
等差数列的每一项与前一项之差为常数 $d$(称为公差):
推导:由定义,$a_2 = a_1 + d$,$a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d$,归纳得 $a_n = a_1 + (n-1)d$。
求和公式:前 $n$ 项和
这个公式有一个著名的直觉来源:据说高斯(Gauss)十岁时,老师让学生算 $1+2+3+\cdots+100$。他把数列倒过来写一遍,首尾配对--1 配 100,2 配 99......每对都是 101,共 50 对,答案 $50 \times 101 = 5050$。这正是求和公式的核心思想:首项加末项乘以项数除以二。
重要性质:若 $m + n = p + q$,则 $a_m + a_n = a_p + a_q$。等差数列中到首末两端等距的两项之和相等。
例题 1a:等差数列求和
题目:等差数列 $a_1 = 3$,$d = 2$,求前 20 项和 $S_{20}$。
步骤:先算末项 $a_{20} = 3 + 19 \times 2 = 41$,再用公式:
答案:$S_{20} = 440$。
等比数列
等比数列的每一项与前一项之比为常数 $r$(称为公比):
求和公式:当 $r \neq 1$ 时,前 $n$ 项和
推导:经典方法是"乘 $r$ 相减法"。设 $S_n = a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + \cdots + a_1 r^{n-1}$,两边乘 $r$:
两式相减,中间项全部消掉:$S_n - rS_n = a_1 - a_1 r^n$,即得 $S_n = a_1\frac{1 - r^n}{1 - r}$。
等比求和有一个经典的直觉故事:国际象棋棋盘第一格放 1 粒麦子,每格翻倍--这就是公比 $r=2$ 的等比数列。64 格总共需要 $2^{64} - 1 \approx 1.8 \times 10^{19}$ 粒麦子,比全球年产量还多。等比数列增长之快,由此可见。
重要性质:若 $m + n = p + q$,则 $a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q$。等比中项 $G = \sqrt{ab}$($a, G, b$ 成等比)。
例题 1b:等比数列求和
题目:等比数列 $a_1 = 1$,$r = 2$,求前 10 项和 $S_{10}$。
步骤:代入公式:
答案:$S_{10} = 1023$。
无穷等比级数:从有限到无穷的桥梁
当 $|r| < 1$ 时,$r^n \to 0$(当 $n \to \infty$),所以有限求和公式中 $1 - r^n \to 1$,得到
这是高等数学中遇到的第一个无穷级数求和公式。它直接连接了基础数列和后续的级数理论--当你学比值判别法、几何级数判别时,用的就是这个公式的收敛性。
例题 1c:无穷等比级数
题目:求 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}$。
步骤:$a_1 = 1$,$r = 1/2$,$|r| < 1$:
答案:和为 2。直觉上看:你在数轴上走 1,再走 $1/2$,再走 $1/4$......永远靠近但永远不会超过 2。
等差 vs 等比 速查对比
| 等差数列 | 等比数列 | |
|---|---|---|
| 定义 | $a_{n+1} - a_n = d$ | $a_{n+1}/a_n = r$ |
| 通项 | $a_n = a_1 + (n-1)d$ | $a_n = a_1 r^{n-1}$ |
| 前 $n$ 项和 | $S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$ | $S_n = a_1\frac{1-r^n}{1-r}$($r\neq 1$) |
| 增长模式 | 线性增长 | 指数增长/衰减 |
| 中项性质 | $2b = a+c$(算术中项) | $b^2 = ac$(几何中项) |
数列是按正整数编号的一列数，记作 $\{a_n\}$。数列极限要回答的问题是：随着 $n$ 越来越大，$a_n$ 是否靠向一个确定的数？这节从定义出发，逐步建立判断极限的工具箱。
ε-N 定义：极限的形式化
如果存在数 $L$，使得对任意 $\varepsilon>0$，总能找到 $N$，当 $n>N$ 时有
就称 $a_n$ 收敛到 $L$，记作 $\lim_{n\to\infty} a_n = L$。如果不存在这样的 $L$，则数列发散。
直觉：不管你要求多窄的误差带（宽度 $2\varepsilon$），数列从某一项之后都会全部钻进去，而且再也不出来。$N$ 是"从哪一项开始保证"的门槛，$\varepsilon$ 是你对精度的要求——要求越精细，需要的 $N$ 通常越大。
例题 2a：用 ε-N 定义证明极限
题目：用 ε-N 定义证明 $\lim_{n\to\infty} \frac{2n+1}{n+3} = 2$。
步骤：要使 $\left|\frac{2n+1}{n+3} - 2\right| < \varepsilon$，化简左边：
只要 $\frac{5}{n+3} < \varepsilon$，即 $n > \frac{5}{\varepsilon} - 3$。取 $N = \max\left\{1,\, \lceil \frac{5}{\varepsilon} - 3 \rceil\right\}$，则当 $n > N$ 时不等式成立。
答案：取 $N = \lceil 5/\varepsilon - 3 \rceil$，对任意 $\varepsilon>0$ 验证完毕。
收敛数列的性质
一旦数列收敛，它就自带几条非常实用的性质：
| 性质 | 内容 |
|---|---|
| 唯一性 | 若 $\lim a_n = L$，则 $L$ 唯一。一个数列不可能同时趋于两个不同的值。 |
| 有界性 | 收敛数列必有界——存在 $M>0$，使 $|a_n| \leq M$ 对所有 $n$ 成立。 注意：有界不一定收敛（反例：$(-1)^n$）。 |
| 保号性 | 若 $\lim a_n = L > 0$，则从某项起 $a_n > 0$；若 $L < 0$，从某项起 $a_n < 0$。 |
| 子列收敛 | 收敛数列的任何子列也收敛到同一个极限。 |
其中有界性特别值得留意：它是收敛的必要条件而非充分条件。$a_n = (-1)^n$ 是有界的（$|a_n| \leq 1$），但它在 1 和 -1 之间来回跳动，不收敛。
夹逼定理（Squeeze Theorem）
当你直接算 $\lim a_n$ 不好下手时，可以找两个"更容易处理的"数列从上下两侧夹住它：
夹逼定理的威力在于：你不需要知道 $b_n$ 本身怎么变，只要上下两边趋于同一个值，中间的就被"挤"过去了。
例题 2b：夹逼定理
题目：求 $\lim_{n\to\infty} \frac{\sin n}{n}$。
步骤：因为 $-1 \leq \sin n \leq 1$，所以
两侧 $\lim(-1/n) = 0$，$\lim(1/n) = 0$，由夹逼定理：
单调有界定理
前面说过"有界不一定收敛"，但如果再加上单调条件，就一定能收敛：
直觉很自然：一列数如果一直往上走（单调递增）但又被天花板卡住（有上界），它只能越来越挤，最终必然趋于某个极限。这是后面证明 $\lim(1+1/n)^n = e$ 的关键工具。
例题 2c：单调有界定理
题目：设 $a_1 = \sqrt{2}$，$a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$。证明 $\{a_n\}$ 收敛并求极限。
步骤（1）单调性：先算前几项感受：$a_1 = \sqrt{2} \approx 1.414$，$a_2 = \sqrt{2 + \sqrt{2}} \approx 1.848$，$a_3 \approx 1.962$，明显递增。 数学归纳：假设 $a_{n} \geq a_{n-1}$，则 $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} \geq \sqrt{2 + a_{n-1}} = a_n$。
步骤（2）有界性：猜测上界为 2。$a_1 = \sqrt{2} < 2$；假设 $a_n < 2$，则 $a_{n+1} = \sqrt{2+a_n} < \sqrt{2+2} = 2$。由归纳，$a_n < 2$ 对所有 $n$ 成立。
步骤（3）求极限：由单调有界定理，$\{a_n\}$ 收敛。设 $\lim a_n = L$，在递推式 $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ 两边取极限：
因为 $a_n > 0$ 且递增，舍去 $L=-1$，得 $L=2$。
答案：$\lim a_n = 2$。
两个重要极限
高等数学中有两个极限出现频率极高，几乎所有涉及指数和对数的极限推导都依赖它们：
第一个重要极限：
证明思路：先证 $a_n = (1+1/n)^n$ 单调递增，再证 $b_n = (1+1/n)^{n+1}$ 单调递减且 $a_n < b_n$，于是 $a_n$ 有上界 $b_1 = 4$，由单调有界定理得到收敛，这个极限值定义为 $e$。更一般的形式：
第二个重要极限：
这可以通过单位圆上扇形面积与三角形面积的比较（几何夹逼）来证明。它的含义是：当 $x$ 非常小时，$\sin x$ 几乎等于 $x$（弧度制下）。常用变形：$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x} = 1$。
例题 2d：重要极限的应用
题目：求 $\lim_{n\to\infty} n\sin\frac{1}{n}$。
步骤：令 $x = 1/n$，当 $n\to\infty$ 时 $x\to 0^+$：
答案：极限为 1。
例题 2e：有理式数列极限
题目：求 $a_n=\frac{n^2+2n}{3n^2+1}$ 的极限。
步骤：分子分母同除以最高次 $n^2$：
答案：$\lim a_n=1/3$。
收敛判据总结
数列收敛的判断流程
- 直接能算的（有理式、根式、指数式）→ 用基本极限和运算法则
- 有振荡或三角函数 → 考虑夹逼定理
- 递推定义的数列 → 单调有界定理（证单调 + 证有界 + 取极限解方程）
- 证明不收敛 → 找两个子列趋于不同值（如 $(-1)^n$ 的奇子列→-1，偶子列→1）
数项级数
不是直接把无限多个数一次性相加,而是先定义部分和
若 $S_N$ 有有限极限,则级数收敛。也就是说,级数收敛性其实是部分和数列的收敛性。
| 判别法 | 核心想法 | 适合对象 |
|---|---|---|
| 比较判别法 | 用已知收敛/发散的级数夹住它 | 正项级数 |
| 比值判别法 | 看相邻项比例的极限 | 含阶乘、指数的级数 |
| 根值判别法 | 看第 $n$ 项的 $n$ 次根 | 含 $n$ 次幂的级数 |
| 交错级数判别 | 符号交替且绝对值单调趋零 | $(-1)^n b_n$ 型 |
例题 3:比值判别法
题目:判断 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}$ 是否收敛。
步骤:令 $a_n=n/2^n$,计算
答案:级数收敛。
幂级数是
它是关于 $x$ 的函数。Paul's Online Notes 强调,幂级数与普通数项级数的区别在于:收敛性依赖输入的 $x$。通常存在收敛半径 $R$,使得 $|x-a|
常用公式是柯西-阿达马公式:
例题 4:求收敛半径
题目:求 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ 的收敛半径。
步骤:用比值法:
对任意有限 $x$ 都小于 1。
答案:收敛半径 $R=\infty$,这就是 $e^x$ 的幂级数。
若函数在 $a$ 附近足够光滑,则可以尝试写成
泰勒级数的直觉是:函数在 $a$ 点的值、一阶变化率、二阶弯曲程度等信息,逐层决定多项式近似。
例题 5:用几何级数推导对数展开
题目:说明为什么 $\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}$。
步骤:先从几何级数出发:
两边从 $0$ 到 $x$ 积分:
答案:$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}x^n/n$,至少在 $|x|<1$ 内成立。
对周期为 $2\pi$ 的函数,傅里叶级数写成
其中
这和 DSP 里的 Fourier 分析是同一条思想线:用一组正交基函数测量原函数含有哪些频率成分。后续可连接 Z 变换笔记 中"Fourier 到 Z 变换"的部分。
复习速查
- 等差数列:通项 $a_n=a_1+(n-1)d$,求和 $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。
- 等比数列:通项 $a_n=a_1r^{n-1}$,求和 $S_n=a_1\frac{1-r^n}{1-r}$($r\neq 1$)。
- 无穷等比级数:$|r|<1$ 时 $\sum a_1r^n=\frac{a_1}{1-r}$--连接基础数列与无穷级数。
- 数列收敛看 $a_n$;级数收敛看部分和 $S_N$。
- ε-N 定义是收敛的形式化:关键在"反解" $n$ 需要多大。
- 收敛数列必唯一、必有界、有保号性。
- 有界量/∞ 型极限 → 夹逼定理;递推数列 → 单调有界定理。
- 两个重要极限:$(1+1/n)^n \to e$,$\sin x/x \to 1$($x\to 0$)。
- 正项级数优先比较、比值、根值;交错级数看单调趋零。
- 幂级数先求收敛半径,再单独检查端点。
- 泰勒展开是用导数编码函数局部形状。
- 傅里叶级数是用正弦/余弦编码周期函数的频率结构。
参考来源
- 本地笔记:/Users/zhengxinyu/org/roam/note/高等数学.org,"数列""级数"部分。
- Paul's Online Notes · Series & Sequences:用于补充级数章节结构和应用动机。
- Paul's Online Notes · Power Series:用于核对幂级数定义、收敛半径和收敛区间说明。