第四章 位移算子与指数映射

• 理解坐标变换与位移算子的区别
• 掌握 Rodrigues 公式的推导（从指数映射幂级数展开）
• 掌握 Rodrigues 向量与 Euler-Rodrigues 参数
• 理解指数映射 $so(3) \to SO(3)$ 和 $se(3) \to SE(3)$
• 理解四元数与对偶四元数作为 SE(3) 表示的优势

第三章给出了旋量的定义和互易积运算，本章将这些运算嵌入刚体运动学框架：如何用旋量轴参数化刚体的旋转和平移。

上一章留下了问题：旋量描述的是刚体运动的"静态"几何特征，但刚体从一个位姿到另一个位姿的变换如何用旋量表示？本章回答这个问题。

本章之后：第五章将有限位移旋量放到李群 SE(3) 的框架下，引入 $6 \times 6$ 伴随矩阵。

坐标变换：将向量从某一坐标系变换至另一坐标系。刚体坐标变换包括旋转、平移和镜像。

关于 $z$ 轴旋转角度 $\alpha$ 的变换（式 4.1）：

$R$ 为正交矩阵，满足 $R^T R = I$（式 4.3）。

定义 4.1：满足 $A = -A^T$ 的方阵为反对称矩阵（斜对称矩阵）。

向量叉积的矩阵形式：给定 $\mathbf{s} = (l, m, n)^T$，其反对称矩阵表示为：

性质：$[\hat{s}] \mathbf{v} = \mathbf{s} \times \mathbf{v}$。$[\hat{s}]$ 是李代数 $so(3)$ 的元素。

反对称矩阵的关键性质：

这是推导 Rodrigues 公式的核心。

旋转矩阵扩展为 $4 \times 4$ 齐次变换矩阵（式 4.7）：

其中 $R \in SO(3)$，$\mathbf{d} \in \mathbb{R}^3$。$SE(3)$ 维数为 6。

Rodrigues（1840）给出了绕单位轴 $\mathbf{u}$ 旋转角度 $\theta$ 的旋转矩阵。

指数映射推导：从 $\exp([\hat{u}]\theta)$ 出发，展开幂级数：

Rodrigues 公式：

Rodrigues 参数等价于 Hamilton 四元数的 Rodrigues 参数化。单位四元数 $q = (q_0, \mathbf{q})$ 描述旋转。

对偶四元数 $\hat{q} = q_0 + \epsilon q$：实部 $q_0$ 表示旋转，虚部 $\epsilon q$ 表示平移。Clifford（1873）发明。

对偶四元数的乘法规则：$(q_0 + \epsilon\mathbf{q})(r_0 + \epsilon\mathbf{r}) = q_0 r_0 + \epsilon(q_0\mathbf{r} + r_0\mathbf{q})$。

对偶四元数完整描述 SE(3) 的元素，比 $4 \times 4$ 齐次矩阵更简洁，在轨迹规划中有广泛应用。

se(3) 中的旋量 $\hat{\mathcal{S}}$ 到 SE(3) 的指数映射：

当 $\mathbf{s} \neq \mathbf{0}$ 时，旋量表示绕轴 $\mathbf{s}$ 旋转角度 $\theta$ 同时平移距离 $h\theta$（$h$ 为旋距）。当 $\mathbf{s} = \mathbf{0}$ 时，退化为纯平移 $\exp([\hat{v}]) = I + [\hat{v}]$。