信道
- 理解信道的分类体系（狭义/广义、调制/编码信道）
- 掌握恒参信道的失真机制与不失真传输条件
- 理解随参信道的多径效应、相关带宽与衰落类型
- 掌握分集接收的基本思想
- 熟练运用香农公式 $C = B\log_2(1 + S/N)$ 分析信道容量问题
第一章建立了通信系统的整体框架——信源→发送设备→信道→接收设备→信宿。第二章分析了信号和噪声的随机特性。本章聚焦中间那个最不可控的环节：信道。它决定了一个通信系统的"天花板"——无论你调制多精巧、编码多高级，信道特性始终是根本约束。后续第五章（基带传输）和第六章（载波传输）的所有设计，都必须向信道条件"低头"。
为什么需要分类信道？
现实中"信道"这个词在不同语境下含义不同。工程师讨论调制时说的信道，和讨论纠错编码时说的信道，其实不是同一个东西。所以我们需要一套清晰的分类体系。
1.1 狭义信道 vs 广义信道
| 类型 | 定义 | 举例 |
|---|---|---|
| 狭义信道 | 信号的传输媒质 | 双绞线、同轴电缆、光纤、自由空间 |
| 广义信道 | 传输媒质 + 相关变换装置（如调制器/解调器、滤波器等） | 调制信道、编码信道 |
1.2 调制信道 vs 编码信道
调制信道（连续信道）
研究已调信号通过信道后的波形失真和噪声影响。输入输出都是连续模拟信号，关心的是信号质量。
编码信道（离散信道）
研究数字信号从发送到接收的误码情况。输入输出都是离散符号（0/1），关心的是误码率。编码信道的误码本质上是由调制信道的不理想造成的。
2.1 调制信道模型
调制信道的输出可表示为：
其中：
- $e_i(t)$：信道输入（已调信号）
- $k(t)$：乘性干扰——信道对信号的衰减和时延，$k(t)$ 的变化决定了信道类型
- $n(t)$：加性噪声——独立于信号，始终存在（热噪声、干扰等）
调制信道的四个共性：
- 有一对（或多对）输入端和输出端
- 绝大多数信道是线性的
- 信号通过信道有延迟和损耗
- 即使没有信号输入，输出端仍有噪声功率
2.2 编码信道模型
编码信道用转移概率矩阵描述。以二进制无记忆对称信道（BSC）为例：
转移概率矩阵：
其中 $\varepsilon$ 为错误转移概率（误码率）。所谓"对称"，是因为正确转移概率相等（$1-\varepsilon$），错误转移概率也相等（$\varepsilon$）。
什么是恒参信道？
$k(t)$ 不随时间变化（或变化极慢）的信道。典型例子：有线信道（明线、对称电缆、同轴电缆）、光纤信道、无线电视距中继、卫星中继信道。
可建模为线性时不变系统（LTI），用传递函数 $H(\omega)$ 描述。
3.1 不失真传输条件
信号通过 LTI 系统后不失真的充要条件：
即幅频特性为常数，相频特性是通过原点的直线。等价地说，群迟延 $\tau(\omega) = \frac{d\Psi(\omega)}{d\omega} = -t_d$ 也是常数。
3.2 失真类型
| 失真类型 | 条件 | 影响 |
|---|---|---|
| 幅频失真 | $|H(\omega)| \neq K$ | 模拟信号波形失真；数字信号→码间串扰→误码 |
| 相频失真 | $\tau(\omega) \neq t_d$（常数） | 对语音信号影响小（人耳对相位不敏感）；对视频信号影响严重；数字信号→码间串扰 |
3.3 克服措施
- 模拟通信：频域均衡——设计均衡器使信道+均衡器的联合频率特性在信号带宽内无畸变
- 数字通信：合理设计收发滤波器消除码间串扰；信道缓慢变化时使用时域自适应均衡器
什么是随参信道？
$k(t)$ 随时间随机变化的信道。典型例子：短波电离层反射、对流层散射。核心特征：多径传播——信号经多条路径到达接收端，每条路径的衰减和时延都在变化。
4.1 多径效应的两种表现
(1) 发射单频信号 → 瑞利衰落 + 频率弥散
发射 $A\cos\omega_0 t$，经多径传输后：
其中 $a_i(t)$ 和 $\varphi_i(t)$ 都是随机时变的。结果：
- 时域：包络 $R(t)$ 服从瑞利分布，接收信号幅度随机起伏 → 瑞利衰落（快衰落）
- 频域：单一频率变成了一个窄带频谱 → 频率弥散（色散）
(2) 发射频带信号 → 频率选择性衰落
以两条路径为例（强度相同、相对时延差 $\tau$），传输函数的幅频特性为：
这是一个以 $\tau$ 为周期的梳状滤波器——某些频率处增强，某些频率处衰减为零。这意味着信号带宽内不同频率分量遭受不同程度的衰落。
4.2 相关带宽
用最大多径时延差 $\tau_m$ 定义相关带宽：
物理意义：在 $\Delta f$ 范围内，各频率分量遭受的衰落近似相同（相关性高）。如果信号带宽 $B > \Delta f$，信号的不同频率分量将遭受不同程度的衰落 → 频率选择性衰落。
4.3 衰落类型小结
| 衰落类型 | 成因 | 时间尺度 |
|---|---|---|
| 快衰落 | 多径导致包络快速随机起伏 | 符号级（极短） |
| 慢衰落 | 大尺度障碍物遮挡（阴影效应） | 秒~分钟级 |
| 平坦衰落 | 信号带宽 __WP_2__lt; \Delta f$，各频率衰落一致 | — |
| 选择性衰落 | 信号带宽 __WP_2__gt; \Delta f$，各频率衰落不同 | — |
核心思想
多径衰落的本质是多个路径信号随机干涉。如果能够获取多个独立的携带同一信息的信号副本，由于它们不可能同时被深度衰落，合并后就能显著提升传输可靠性。
分集方法
| 方法 | 原理 |
|---|---|
| 空间分集 | 多根接收天线，间距足够大使各路信号独立 |
| 频率分集 | 用不同载波频率发送同一信息 |
| 角度分集 | 利用不同方向到达的信号分量 |
| 极化分集 | 利用不同极化方向（水平/垂直）的信号 |
合并方法
- 最佳选择式：选择信噪比最高的一路
- 等增益相加：各路等权相加
- 最大比相加（MRC）：按各路信噪比加权相加 → 最优
为什么这是本章最重要的知识点？
1948 年之前，人们普遍认为噪声信道的唯一出路就是降低传输速率来减少错误。香农（Claude Shannon）的天才贡献在于证明了一个反直觉的结论：只要传输速率不超过某个上限，就一定存在某种编码方案使错误率任意小。 这个上限就是信道容量 $C$。
6.1 离散信道容量
对离散无记忆信道，定义以下信息量：
- 信息量：$I(x_i) = -\log_2 P(x_i)$ bit（事件越不可能，信息量越大）
- 信源熵：$H(x) = -\sum_i P(x_i)\log_2 P(x_i)$ bit/符号（信源的平均不确定性）
- 条件熵：$H(x|y)$（收到输出 $y$ 后关于输入 $x$ 的剩余不确定性，即信道丢失的信息）
- 平均互信息量：$I(x;y) = H(x) - H(x|y)$ bit/符号（信道实际传输的信息量）
信息传输速率：$R = [H(x) - H(x|y)] \cdot r$，其中 $r$ 为码速率。
对二进制对称信道（BSC），信道容量为：
6.2 连续信道容量——香农公式（核心！）
对于带宽为 $B$（Hz）、信号功率为 $S$（W）、噪声功率谱密度为 $n_0$（W/Hz）的 AWGN 信道：
其中 $N = n_0 B$ 为频带内的噪声功率。
6.3 香农公式的物理意义
公式告诉我们什么？
1. $S/N$ 增大 → $C$ 增大：信噪比越高，信道容量越大。信号越"干净"，每秒能可靠传输的信息量就越多。
2. 带宽 $B$ 和信噪比 $S/N$ 可以互换：提高带宽可以补偿信噪比的不足，反之亦然，而 $C$ 保持不变。这就是 FM 广播比 AM 音质好的根本原因——FM 用更大的带宽换取了更高的抗噪声能力。
3. $B \to \infty$ 时，$C$ 有极限：
这是因为带宽增大时，噪声功率 $N = n_0 B$ 也同步增大，"买"来的带宽被更多的噪声抵消了。不可能靠无限增加带宽来获得无限容量。
6.4 香农极限 $E_b/N_0$
令 $E_b = S/R$ 为每比特能量，当 $R = C$ 时：
当 $C/B \to 0$（即带宽无限），得到香农极限：
这是任何通信系统可靠传输所需的最低信噪比，不可逾越。
6.5 典型例题
例题
某信道带宽 $B = 3000$ Hz，信噪比 $S/N = 30$ dB，求信道容量。若要求容量不变但带宽增至 6000 Hz，需要多少信噪比？
解：
$S/N = 30\,\text{dB} \Rightarrow S/N = 10^3 = 1000$
带宽加倍后，令 $C$ 不变：
带宽从 3 kHz 增到 6 kHz，所需信噪比从 30 dB 降到约 14.8 dB——这就是带宽与信噪比互换的威力。
噪声分类
| 类型 | 来源 | 特点 |
|---|---|---|
| 单频噪声 | 外台无线电干扰 | 频带窄，位置可测，可视为正弦波 |
| 脉冲噪声 | 电火花、闪电 | 幅度大、时间短、频谱宽 |
| 起伏噪声 | 热噪声、散弹噪声 | 普遍存在、不可避免，高斯分布 |
热噪声（最重要的噪声模型）
电阻中自由电子布朗运动产生的噪声，服从高斯分布。功率谱密度：
其中 $k = 1.38 \times 10^{-23}$ J/K 为玻尔兹曼常数，$T$ 为绝对温度，$G$ 为电导。
在带宽 $B$ 内，噪声电压有效值为：
三种噪声的统一结论
热噪声、散弹噪声、宇宙噪声均可建模为高斯噪声，且在很宽频率范围内具有平坦功率谱 → 统称为高斯白噪声。经接收机带通滤波器后变为窄带高斯噪声。
| 概念 | 核心公式/要点 | 常考形式 |
|---|---|---|
| 狭义/广义信道 | 广义 = 媒质 + 变换装置 | 选择题判断 |
| 调制信道模型 | $e_o = k(t)\cdot e_i(t) + n(t)$ | 写出模型、解释 $k(t)$ 含义 |
| 编码信道模型 | BSC 转移概率矩阵 | 计算转移概率 |
| 恒参不失真条件 | $|H(\omega)| = K$，$\tau(\omega) = t_d$ | 判断是否失真 |
| 群迟延 | $\tau(\omega) = d\Psi/d\omega$ | 计算群迟延 |
| 多径效应 | 瑞利衰落（单频）、选择性衰落（频带） | 现象分析 |
| 相关带宽 | $\Delta f = 1/\tau_m$，信号带宽取其 $1/5 \sim 1/3$ | 计算题 |
| 分集接收 | 空间/频率/角度/极化 + 最佳选择/等增益/最大比 | 简答题 |
| 香农公式 | $C = B\log_2(1 + S/N)$ | 计算题核心 |
| 香农极限 | $E_b/N_0 \geq -1.59$ dB | 理论分析 |
| 噪声等效带宽 | $B_{eq} = \frac{1}{2P_0}\int P_n(f)\,df$ | 概念题 |
参考来源
- [W01] 北邮通信原理知识点笔记小结 — 北邮学长系统化笔记，信息量公式、传码率/传信率换算等推导清晰
- [W02] 《通信原理》复习笔记1——第一章绪论 + 系列文章 — 12篇系列复习笔记，每章分"知识点整理"和"例题解析"
- [W03] How Shannon Entropy Imposes Fundamental Limits on Communication — 用"双面硬币 vs 正常硬币"比喻解释信息熵
- [W04] 随机信号复习笔记（Chenfan Blog） — 截断→傅里叶→Parseval→功率谱密度完整推导链
- [W05] 通信原理笔记——平稳随机过程 — "两个骰子"例子解释遍历性，广义平稳vs严平稳辨析清晰
- [W06] 应用随机过程08：功率谱密度 — 维纳-辛钦公式完整证明，PSD的实/非负/偶函数性质证明
- [W07] 通信原理基础知识——第四章 信道 — 21节结构化整理，恒参/随参信道、多径效应、香农公式等
- [W08] Shannon Theorem Demystified — Channel Capacity — C=B·log₂(1+SNR)各参数直觉解释，带宽与SNR权衡讨论
- [W09] 《通信原理》复习笔记——第四章信道 + 例题 — 配套例题包含香农公式计算、信道容量分析