数字信号处理·复习地图
这份地图不是把每章笔记再抄一遍，而是把 10 章主线 DSP 课程压缩成"最小可复习单元"：每章只留 3-5 个核心概念、5-8 个关键公式、1-2 道经典例题、1 个最常踩的坑，以及它和后文的关联。适合考前快速回顾、查漏补缺，或作为写题时翻查公式的起点。
章节编号与 课程笔记中枢页 完全对齐：Ch 00 → Ch 09 连续无跳号；采样定理与信号变换全景作为附录 A、B 放在末尾，不计入主线编号。每章末尾的"经典例题"卡片只放最典型的题型，详细步骤仍在原章节里。
DSP 课程只有一条主线：先建立离散时域语言（序列、卷积、差分方程），再引入变换域工具（DTFT、Z 变换、DFT/FFT），然后学习 系统结构（框图、流图、梅森公式）作为变换到实现的桥梁，最后用这些工具设计数字滤波器（IIR/FIR）并分析工程实现中的有限字长误差。
flowchart TB
A["前置：连续域信号与系统
FT · Laplace"] --> B["Ch 01 离散时间信号与系统
序列 · 卷积 · 差分方程"]
B --> C["Ch 02 DTFT
连续频域 2π 周期"]
B --> D["Ch 03 Z 变换
代数视角 + ROC"]
D --> E["Ch 05 离散时间系统模拟
框图 · 流图 · 梅森公式"]
C --> E
D --> F["Ch 04 DFT/FFT
频域离散化 + NlogN"]
C --> F
E --> G["Ch 06 数字滤波器基础
FIR/IIR 区分 · 理想响应 · 巴特沃斯原型"]
D --> G
F --> G
G --> H["Ch 07 IIR 设计
模拟原型 + s→z 映射"]
G --> I["Ch 08 FIR 设计
窗函数 · 频率采样 · 等波纹"]
H --> J["Ch 09 量化误差
A/D · 系数 · 运算舍入"]
I --> J
G --> J
K["附录 A · 采样定理
奈奎斯特 · 混叠 · 重建"] -.旁路补充.-> B
K -.旁路补充.-> F
L["附录 B · 信号变换全景
FT·FS·DTFT·DFT·Laplace·Z"] -.横向串讲.-> C
L -.横向串讲.-> D
L -.横向串讲.-> F
下面 10 张主线卡片按章节顺序排列，章节编号与 Hub 完全对齐。每张卡片保留"考前必须能回忆起来"的内容：概念、公式、易错点、跨章关联，以及从原章节笔记精选的 1-2 道经典例题。
Ch 00 · 数字信号处理绪论
主题
DSP 是什么、数字信号从哪来、为什么用数字方法处理。
核心概念
- DSP = 用数值计算方法处理信号。
- 数字信号三类来源：计算机 I/O、数码设备直接输出、模拟信号经采样+量化+编码。
- 四大特点：灵活性、高精度与高稳定性、易大规模集成、可实现严格线性相位。
- 与先行课《信号与系统》的平行关系：连续 ↔ 离散、FT ↔ DTFT、Laplace ↔ Z。
- 增量调制误差 $e(t)=S(t)-S_p(t)$，编码为 $C(n)=\pm V$。
关键公式
- 模拟信号数字化三步：采样 → 量化 → 编码。
- 余弦采样：$x[n]=\cos\!\left(2\pi\tfrac{f_m}{f_s}n+\theta\right)$。
- 数字信号 ≠ 离散时间信号：前者幅值也被量化。
跨章关联
"严格线性相位"是 Ch 08 FIR 设计的核心动机；模拟信号数字化是附录 A 采样定理和 Ch 09 量化误差的共同起点。
Ch 01 · 离散时间信号与系统
主题
从时域建立离散信号与 LTI 系统的语言：序列、卷积、差分方程、响应分解。
核心概念
- 任意序列可分解为移位单位脉冲的加权和：$x[n]=\sum_k x[k]\delta[n-k]$。
- LTI 系统输入输出：$y[n]=x[n]*h[n]=\sum_k x[k]h[n-k]$。
- 因果：$h[n]=0$ for $n<0$；稳定（BIBO）：$\sum_n|h[n]|<\infty$。
- 差分方程一般形式：$\sum_{k=0}^N d_k y[n-k]=\sum_{m=0}^M p_m x[n-m]$；FIR 与 IIR 的本质区别是有无输出反馈。
- 响应分解：$y[n]=y_{zi}[n]+y_{zs}[n]$，零状态响应 = 卷积。
- 线性 ⇔ 含 $x$ 一次项；时不变 ⇔ 系统规则不含显式 $n$。
关键公式
- 采样：$x[n]=x_a(nT)$
- 卷积和：$y[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m]h[n-m]$
- 因果：$h[n]=0,\;\forall n<0$
- 稳定：$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|h[n]|<\infty$
- 余弦采样：$x[n]=\cos\!\left(2\pi\tfrac{f_m}{f_s}n+\theta\right)$
- 正弦序列周期：$x[n]=\sin(\omega_0 n+\varphi)$，先算 $2\pi/\omega_0$；若为既约分数 $P/Q$，周期为 $P$；分母含 $\pi$ 则非周期。
- 卷积长度：$L_y=L_x+L_h-1$
- 常用卷积：$u[n]*a^n u[n]=\dfrac{1-a^{n+1}}{1-a}u[n]$，$u[n]*u[n]=(n+1)u[n]$
跨章关联
DTFT 是本章 LTI + 卷积在频域的镜像；Z 变换把差分方程代数化；FIR/IIR 分类基于本章的差分方程有无输出反馈。
经典例题：移位阶跃序列的卷积
题目：求 $y[n]=u[n-3]*u[n-4]$。
解：利用 $u[n-n_0]=u[n]*\delta[n-n_0]$：
启示：把移位阶跃分解为"基础卷积 + 移位冲激"，比直接套公式快得多。详见 Ch 01 例题 1。
Ch 02 · DTFT
主题
把离散序列映射到连续频域，是时域到频域的桥梁。
核心概念
- DTFT 频谱 $X(e^{j\omega})$ 以 $2\pi$ 为周期。
- DTFT 是 Z 变换在单位圆上的取值：$X(e^{j\omega})=X(z)\big|_{z=e^{j\omega}}$，前提是单位圆在 ROC 内。
- LTI 系统频率响应：$H(e^{j\omega})=\sum_n h[n]e^{-j\omega n}$；卷积定理 $Y=X\cdot H$ 是滤波本质。
- 周期序列用 DFS：$\tilde{X}[k]=\sum_{n=0}^{N-1}\tilde{x}[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}$。
- 实序列共轭对称：$X(e^{j\omega})=X^*(e^{-j\omega})$，幅度谱偶对称、相位谱奇对称。
- FT 与 DTFT 性质在数学结构上完全平行——只把 $t$ 换 $n$。
关键公式
- 正变换：$X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}$
- 反变换：$x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}\,d\omega$
- 收敛条件：$\sum_n|x[n]|<\infty$（绝对可和）
- 时移：$x[n-n_0]\;\leftrightarrow\;e^{-j\omega n_0}X(e^{j\omega})$
- 频移：$e^{j\omega_0 n}x[n]\;\leftrightarrow\;X(e^{j(\omega-\omega_0)})$
- 时域反褶：$x[-n]\;\leftrightarrow\;X(e^{-j\omega})$
- 频域微分：$nx[n]\;\leftrightarrow\;j\dfrac{dX(e^{j\omega})}{d\omega}$
- 共轭对称分解：$x_e[n]=\dfrac{x[n]+x^*[-n]}{2}\leftrightarrow\text{Re}[X(e^{j\omega})]$；$x_o[n]=\dfrac{x[n]-x^*[-n]}{2}\leftrightarrow j\,\text{Im}[X(e^{j\omega})]$
- 卷积定理：$y[n]=x[n]*h[n]\;\Leftrightarrow\;Y(e^{j\omega})=X(e^{j\omega})H(e^{j\omega})$
- Parseval：$\sum_n|x[n]|^2=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|X(e^{j\omega})|^2\,d\omega$
- DFS/IDFS：$\tilde{X}[k]=\sum_{n=0}^{N-1}\tilde{x}[n]W_N^{kn}$，$\tilde{x}[n]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\tilde{X}[k]W_N^{-kn}$，$W_N=e^{-j2\pi/N}$
跨章关联
Z 变换是 DTFT 的超集；DFS 是 DTFT 周期化，DFT 是 DFS 主值区间截取；共轭对称性是 DFT 实序列节约一半计算的理论依据。
经典例题：求 $x[n]=a^n u[n]$ 的 DTFT
题目：设 $x[n]=a^n u[n]$，$|a|<1$，求 $X(e^{j\omega})$。
解：代入定义得几何级数：
收敛条件即 $|a|<1$，对应 $Z$ 变换 ROC $|z|>|a|$ 包含单位圆。详见 Ch 02 例题 1。
经典例题：差分方程求频率响应
题目：系统满足 $y[n]-ay[n-1]=x[n]$，$|a|<1$。求 $H(e^{j\omega})$。
解：对两边做 DTFT（时移性质 $y[n-1]\leftrightarrow e^{-j\omega}Y$）：
若 $0<a<1$，$\omega=0$ 处幅度最大、$\omega=\pi$ 处幅度最小 → 低通。详见 Ch 02 例题 3。
Ch 03 · Z 变换
主题
把差分方程代数化，是滤波器分析的统一语言；ROC 是变换对不可缺少的一部分。
核心概念
- Z 变换通过 $z=e^{sT}$ 与 $s$ 平面相连：$|z|=e^{\sigma T}$，$\arg z=\Omega T$。
- ROC 不含任何极点，ROC 决定因果性与稳定性。
- 同一代数式配不同 ROC 对应不同序列。例如 $1/(1-\frac{1}{2}z^{-1})$：ROC $|z|>1/2$ 是右边序列；ROC $|z|<1/2$ 是左边序列。
- 因果系统 ROC 在最外极点之外、含 $\infty$；稳定系统 ROC 含单位圆；因果且稳定 ⇔ 所有极点严格在单位圆内。
- 单边 Z 变换含初始条件，是解差分方程的工具。
- 频响几何确定法：单位圆上靠近零点 → 谷，靠近极点 → 峰。
关键公式
- 双边 Z：$X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}$
- 单边 Z：$X(z)=\sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n}$
- 因果 ⇔ ROC 在最外极点之外、含 $\infty$
- 稳定 ⇔ 单位圆在 ROC 内
- 因果+稳定 ⇔ $\forall$ 极点 $|p_k|<1$
- 移位（单边）：$x[n-m]\leftrightarrow z^{-m}X(z)+\sum_{k=0}^{m-1}x[k-m]z^{-k}$
- 移位（双边）：$x[n-m]\leftrightarrow z^{-m}X(z)$，ROC 不变（$z=0/\infty$ 可能变化）
- z 域尺度：$a^n x[n]\leftrightarrow X(z/a)$
- z 域微分：$nx[n]\leftrightarrow -z\dfrac{dX(z)}{dz}$
- 频率响应：$H(e^{j\omega})=H(z)\big|_{z=e^{j\omega}}$
- 初值：$x[0]=\lim_{z\to\infty}X(z)$；终值：$\lim_{n\to\infty}x[n]=\lim_{z\to 1}(z-1)X(z)$（极点均在单位圆内时）
- 逆 Z 围线积分：$x[n]=\dfrac{1}{2\pi j}\oint_C X(z)z^{n-1}\,dz$
| $x[n]$（因果） | $X(z)$ | ROC |
|---|---|---|
| $\delta[n]$ | $1$ | 全 $z$ 平面 |
| $u[n]$ | $\dfrac{1}{1-z^{-1}}=\dfrac{z}{z-1}$ | $|z|>1$ |
| $a^n u[n]$ | $\dfrac{1}{1-az^{-1}}=\dfrac{z}{z-a}$ | $|z|>|a|$ |
| $n u[n]$ | $\dfrac{z^{-1}}{(1-z^{-1})^2}=\dfrac{z}{(z-1)^2}$ | $|z|>1$ |
| $n a^n u[n]$ | $\dfrac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}=\dfrac{az}{(z-a)^2}$ | $|z|>|a|$ |
| $n^2 a^n u[n]$ | $\dfrac{az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^3}=\dfrac{az(z+a)}{(z-a)^3}$ | $|z|>|a|$ |
| $R_N[n]$ | $\dfrac{1-z^{-N}}{1-z^{-1}}$ | $|z|>0$ |
| $\cos(\omega_0 n)u[n]$ | $\dfrac{1-z^{-1}\cos\omega_0}{1-2z^{-1}\cos\omega_0+z^{-2}}$ | $|z|>1$ |
| $\sin(\omega_0 n)u[n]$ | $\dfrac{z^{-1}\sin\omega_0}{1-2z^{-1}\cos\omega_0+z^{-2}}$ | $|z|>1$ |
跨章关联
DTFT 是 Z 变换在单位圆上的取值；单边 Z 解差分方程；ROC 决定因果/稳定——Ch 06、Ch 07 滤波器设计与稳定性判据都依赖 Z 域分析。
经典例题：同一分式因 ROC 不同对应两种序列
题目：已知 $X(z)=\dfrac{1}{1-az^{-1}}$，分别讨论 ROC 为 $|z|>|a|$ 和 $|z|<|a|$ 时的逆 Z 变换。
解：
- 外侧 ROC $|z|>|a|$：按 $z^{-1}$ 展开 $\Rightarrow x[n]=a^n u[n]$（右边序列）。
- 内侧 ROC $|z|<|a|$：改写为按 $z$ 展开
启示：ROC 决定展开方向，最终决定序列是右边还是左边。详见 Ch 03 例题（ROC）。
经典例题：部分分式法求逆 Z（两个不同极点）
题目：已知 $X(z)=\dfrac{z^2}{(z-1)(z-1/3)},\;|z|>1$，求 $x[n]$。
解：
ROC $|z|>1$，两项都在最外极点外侧，都是右边序列：
Ch 04 · DFT 与 FFT
主题
把 DTFT 离散化到 $N$ 个频点，配合 FFT 算法实现 $O(N\log N)$ 的快速计算。
核心概念
- DFT 是 DTFT 在 $\omega_k=2\pi k/N$ 处的采样；IDFT 是 DFT 的精确反变换（多一个 $1/N$）。
- DFS 是 DFT 的周期延拓母体；DFT 是 DFS 主值区间截取。
- 实序列 DFT 共轭对称：$X[k]=X^*[N-k]$，所以只需算前 $N/2+1$ 点。
- 循环卷积（圆周卷积）= 周期卷积的主值区间；用 DFT 做线性卷积必须先补零到 $N\ge L_x+L_h-1$。
- FFT 通过蝶形分治：按奇偶下标拆分子序列，复用 $W_N^{kn}$ 的周期与对称。
- 零填充（频域内插）不增加信息，只让 DTFT 轮廓更密，可视化更平滑。
关键公式
- 正变换：$X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_N^{kn}$，$W_N=e^{-j2\pi/N}$
- 反变换：$x[n]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X[k]W_N^{-kn}$
- $W_N^{kN}=1$，$W_N^{k+N/2}=-W_N^k$（这两个是 FFT 的核心依据）
- 线性卷积用 DFT 实现：$N\ge L_x+L_h-1$；不补零即得循环卷积
- 实序列对称性：$X[N-k]=X^*[k]$，$X[0]$ 实数
- Parseval（DFT 形式）：$\sum_{n=0}^{N-1}|x[n]|^2=\dfrac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}|X[k]|^2$
- DFT 循环卷积定理：$\text{DFT}\{x\circledast_N y\}=X[k]\cdot Y[k]$
- 矩形窗 DTFT：$X(e^{j\omega})=e^{-j\omega(M-1)/2}\dfrac{\sin(M\omega/2)}{\sin(\omega/2)}$
- FFT 计算量：$(N/2)\log_2 N$ 次复乘，$N\log_2 N$ 次复加；相比 DFT 直算加速 $2N/\log_2 N$ 倍
- 时域周期延拓 $\Longleftrightarrow$ 频域 $N$ 点采样，频域 $N$ 点采样 $\Longleftrightarrow$ 时域周期延拓
跨章关联
DFT 是 DTFT 的离散采样，是 Ch 06/07/08 滤波器做频域分析的工具；FFT 的分治思想与 Ch 05 信号流图（蝶形结构）天然对应；用 DFT 实现线性卷积是工程中音频/图像处理的基础。
经典例题：手算 4 点 DFT
题目：设 $x[n]=[1,2,0,0]$，求 4 点 DFT。
解：$W_4=e^{-j2\pi/4}=e^{-j\pi/2}=-j$，$X[k]=\sum_n x[n]W_4^{kn}=1+2W_4^k$。
验算：实序列共轭对称 $X[3]=X^*[1]$ ✓。详见 Ch 04 例题 1。
经典例题：FFT 与 DFT 直算的速度差
题目：计算机每次复乘 $5\,\mu\text{s}$、复加 $0.5\,\mu\text{s}$。计算 512 点 DFT，直接计算和 FFT 各需多少时间？
解：
- 直算：$N^2=262144$ 次复乘 + $N(N-1)=261632$ 次复加，$T_{\text{直}}\approx 1.44\,\text{s}$。
- FFT：$\frac{N}{2}\log_2 N=2304$ 次复乘 + $N\log_2 N=4608$ 次复加，$T_{\text{FFT}}\approx 13.8\,\text{ms}$。
- 加速比约 104 倍。
详见 Ch 04 例题 7。
Ch 05 · 离散时间系统的模拟与基本原理
主题
用方框图、信号流图、梅森公式把抽象的差分方程或 $H(z)$ 翻译为可实现的硬件结构。
核心概念
- 三种基本元件：单位延时 $D=z^{-1}$、常数乘法器、加法器——任何 LTI 离散系统都能由这三者组合得到。
- 方框图：直观、易画，适合"先差分方程再结构"或反之。
- 信号流图：把每个变量画成节点、支路标系数或 $z^{-1}$，比方框图紧凑。
- 三种化简规则：串联合并（增益相乘）、并联合并（增益相加）、自环消去 $\dfrac{ab}{1-bc}$。
- 梅森公式：$H(z)=\dfrac{1}{\Delta}\sum_k P_k\Delta_k$，直接由流图写系统函数。
- 实现结构灵敏度（系数量化对极点偏移）：直接型 > 级联型 > 并联型。
关键公式
- 延时单元：$y_\text{out}[n]=y_\text{in}[n-1]\;\leftrightarrow\;D=z^{-1}$
- 直接 I 型：按差分方程原样实现（先零极再反馈），延时器多。
- 直接 II 型（典范型）：交换零极与反馈顺序，共用延时器，延时器最少。
- 级联型：$H(z)=\prod_i H_i(z)$，每节一/二阶，便于调零极点。
- 并联型：$H(z)=\sum_i H_i(z)$，各支路独立，误差传播短。
- 梅森公式：$H(z)=\dfrac{1}{\Delta}\sum_{k=1}^K P_k\Delta_k$，$\Delta=1-\sum L_i+\sum L_iL_j-\cdots$
- 自环消去：$\dfrac{ab}{1-bc}$
跨章关联
Ch 03 Z 变换是流图的代数基础（每个 $z^{-1}$ 节点对应一个延时器）；Ch 07 IIR、Ch 08 FIR 的不同实现结构都从这里发源；Ch 09 量化误差直接讨论这些结构对系数量化的不同敏感度。
经典例题：差分方程 → 直接 II 型
题目：$y[n]-\frac{1}{2}y[n-1]=x[n]+x[n-1]$，画直接 II 型信号流图。
解：改写递推式 $y[n]=x[n]+x[n-1]+\frac{1}{2}y[n-1]$，把零极链与反馈链共用一条延时链即得直接 II 型（典范型）。先求中间变量 $w[n]$：
最终 $H(z)=\dfrac{1+z^{-1}}{1-\frac{1}{2}z^{-1}}$，只需 1 个延时器（直接 I 型需要 2 个）。详见 Ch 05 例题 1。
经典例题：梅森公式求系统函数
题目：某流图有两条前向通路 $P_1=a$（不接触回路）、$P_2=bc$（与回路 $d$ 接触）；一个回路 $L_1=d$。求 $H(z)$。
解：
- 流图特征式 $\Delta=1-d$；
- $P_1$ 不接触回路 $\Rightarrow\Delta_1=1$；
- $P_2$ 与回路 $d$ 接触 $\Rightarrow\Delta_2=1$（去掉接触回路后无剩余回路）。
详见 Ch 05 例题（梅森公式）。
Ch 06 · 数字滤波器基础与分析
主题
FIR/IIR 区分、理想响应与公差带、零极点几何分析、巴特沃斯模拟原型基础。
核心概念
- 三种等价描述：差分方程、$h[n]$、$H(z)=Y(z)/X(z)$。
- FIR = 有限长冲激响应 = 无反馈，天然稳定，可严格线性相位；IIR = 无限长冲激响应 = 有反馈，稳定性由极点决定。
- 理想低通频响是"砖墙"：$H_d(e^{j\omega})=1$ for $|\omega|\le\omega_c$，否则为 0；其冲激响应是无限长 sinc。
- 频响几何确定法：单位圆上靠近零点 → 谷，靠近极点 → 峰。
- Butterworth 幅度平方函数：$|H_a(j\Omega)|^2=1/[1+(\Omega/\Omega_c)^{2N}]$，通带最平坦。
- 公差带：通带允许 $\alpha_p$ dB 衰减、阻带要求 $\ge\alpha_s$ dB 衰减。
关键公式
- 系统函数：$H(z)=\dfrac{\sum_{m=0}^M b_m z^{-m}}{\sum_{k=0}^N a_k z^{-k}}$
- 理想低通：$h_d[n]=\dfrac{\sin(\omega_c n)}{\pi n},\ n\ne 0$；$h_d[0]=\omega_c/\pi$
- Butterworth 阶数：$N\ge\dfrac{\lg\sqrt{(10^{0.1\alpha_p}-1)/(10^{0.1\alpha_s}-1)}}{\lg(\Omega_p/\Omega_s)}$，向上取整
- Butterworth 截止（通带精确口径）：$\Omega_c=\Omega_p(10^{0.1\alpha_p}-1)^{-1/(2N)}$
- Butterworth 极点：$s_k=\Omega_c e^{j\pi[1/2+(2k+N-1)/(2N)]}$，$k=0,1,\dots,N-1$，取左半平面
- 归一化多项式：$B_1=s+1$，$B_2=s^2+\sqrt{2}s+1$，$B_3=s^3+2s^2+2s+1$，$B_4=s^4+2.613s^3+3.414s^2+2.613s+1$，$B_5=s^5+3.236s^4+5.236s^3+5.236s^2+3.236s+1$
- 去归一化：$s\to s/\Omega_c$
跨章关联
Z 变换给出极点分析工具；DTFT 给出频率响应概念；理想低通的 sinc 是 Ch 08 窗函数法的起点；Butterworth 原型是 Ch 07 IIR 设计的核心输入。
经典例题：FIR 梳状滤波器零极点分析
题目：$y[n]=x[n]+x[n-8]$，求 $H(z)$ 和零极点。
解：$H(z)=1+z^{-8}=\dfrac{z^8+1}{z^8}$，极点全部为 8 阶零点在原点 $z=0$，零点为 $z^8=-1$ 的 8 个根 $z_k=e^{j\pi(2k+1)/8}$，均匀分布在单位圆上（$\pi/8,3\pi/8,5\pi/8,\dots,15\pi/8$）。幅频响应是"梳子"——8 个等高尖峰均匀分布，等间隔去除某些频率成分。
启示：差分方程直接读出 $H(z)$，零极点位置直接决定幅频形状。详见 Ch 06 例题 3。
Ch 07 · IIR 数字滤波器的设计
主题
通过模拟原型 + s→z 映射设计 IIR；最小/最大相位系统；频率变换法。
核心概念
- 设计思路："模拟原型 + s→z 映射"——成熟模拟原型（Butterworth/Chebyshev/椭圆）已有公式表格。
- 冲激响应不变法：$h[n]=T\cdot h_a(nT)$，极点映射 $z_k=e^{s_k T}$；时域直观但有频谱混叠，不适合高通/带阻。
- 双线性变换法：$s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$，一一映射、无混叠、稳定性保持，但频率轴非线性压缩，必须预畸变。
- 模拟原型四族：Butterworth（最平坦）、Chebyshev I（通带等波纹）、Chebyshev II（阻带等波纹）、椭圆（最陡过渡）。
- 最小相位：零点在单位圆内，相位延迟最小；最大相位：零点在单位圆外；全通：$|H(e^{j\omega})|=1$。
- 频率变换：低通→高通/带通/带阻，先设计归一化低通原型再做 $s$ 代换。
关键公式
- 冲激响应不变法极点映射：$z_k=e^{s_k T}$
- 双线性变换：$s=\dfrac{2}{T}\dfrac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$；$z=\dfrac{1+sT/2}{1-sT/2}$
- 预畸变：$\Omega=\dfrac{2}{T}\tan(\omega/2)$
- Butterworth 阶数：$N\ge\dfrac{\lg\big[(10^{0.1\alpha_s}-1)/(10^{0.1\alpha_p}-1)\big]}{2\lg(\Omega_s/\Omega_p)}$
- Chebyshev I 阶数：$N\ge\dfrac{\cosh^{-1}\!\left[(10^{0.1\alpha_s}-1)^{1/2}/\varepsilon\right]}{\cosh^{-1}(\Omega_s/\Omega_p)}$，$\varepsilon=\sqrt{10^{0.1\alpha_p}-1}$
- Butterworth 极点：$s_k=\Omega_c\,e^{j\pi(1/2+(2k+N-1)/(2N))}$，取左半平面 $N$ 个
- 低通→带通变换：$s\to\dfrac{s^2+\Omega_{pl}\Omega_{pu}}{s(\Omega_{pu}-\Omega_{pl})}$
- 低通→高通变换：$s\to\Omega_{ph}\Omega_{sh}/s$
跨章关联
直接依赖 Ch 06 模拟原型；通过 Z 变换极点映射保证稳定性；与 Ch 08 FIR 形成阶数/相位的工程权衡；Ch 09 量化误差分析高阶 IIR 必须用级联/并联型。
经典例题：双线性变换法设计 Butterworth 低通
题目：$\omega_p=0.2\pi,\alpha_p=1\text{dB}$；$\omega_s=0.315\pi,\alpha_s=15\text{dB}$。设计 Butterworth 数字低通（单调下降）。
解：
步骤 1：预畸变（取 $T=2$ 简化）：$\Omega_p=\tan(0.1\pi)\approx 0.3249$，$\Omega_s=\tan(0.1575\pi)\approx 0.5396$。
步骤 2：算阶数：
步骤 3：定 $\Omega_c$：$\Omega_c=\Omega_p(10^{0.1\alpha_p}-1)^{-1/(2N)}\approx 0.3720$。
步骤 4：查 $B_5(s)$ 写归一化原型 → 去归一化 → 双线性变换得到最终 $H(z)$。详见 Ch 07 例题 1。
Ch 08 · FIR 数字滤波器的设计
主题
窗函数法、频率采样法、等波纹最优逼近法；FIR 严格线性相位条件。
核心概念
- 严格线性相位条件：$h(n)=\pm h(N-1-n)$，群延迟 $\tau=(N-1)/2$。
- 四类线性相位 FIR：奇偶对称 × 奇偶长度 → 不同适用性。第一类（偶对称、N 奇数）万能；第二类（偶对称、N 偶数）$H(\pi)=0$，不能高通/带阻；第三类（奇对称、N 奇数）$H(0)=H(\pi)=0$，只能带通；第四类（奇对称、N 偶数）$H(0)=0$，不能低通/带阻。
- 窗函数法：$h(n)=h_d(n)\cdot w(n)$，理想 sinc 加窗截断。
- 频率采样法：直接对 $H_d$ 在 $\omega_k=2\pi k/N$ 采样得 $H(k)$，IDFT 得 $h(n)$；需插入过渡带采样提升阻带衰减。
- 等波纹最优法（Parks-McClellan）：最小化最大加权误差，同阶下过渡带最窄。
- 核心权衡：主瓣宽度（频率分辨率）vs 旁瓣峰值（阻带衰减）。
关键公式
- 线性相位：$h(n)=\pm h(N-1-n)$，$\tau=(N-1)/2$
- 理想低通：$h_d(n)=\dfrac{\sin[\omega_c(n-\alpha)]}{\pi(n-\alpha)}$，$\alpha=(N-1)/2$；$h_d(\alpha)=\omega_c/\pi$（洛必达）
- 加窗：$h(n)=h_d(n)\cdot w(n)$；$\omega_c=(\omega_p+\omega_{st})/2$
- 常用窗参数：矩形（旁瓣 -13dB，过渡带 $1.8\pi/N$）、汉宁（-31dB，$6.2\pi/N$）、汉明（-41dB，$6.6\pi/N$）、布莱克曼（-57dB，$11\pi/N$）
- 阶数估计：$N\approx c\cdot 2\pi/\Delta\omega$，$c$ 取决于窗
- 汉明窗：$w(n)=0.54-0.46\cos(2\pi n/(N-1))$；汉宁窗：$w(n)=0.5-0.5\cos(2\pi n/(N-1))$
- 频率采样约束：$H_k=H^*_{N-k}$（实序列），过渡带取 $0<|H_m|<1$
跨章关联
Ch 01 sinc 冲激响应是窗函数法起点；Ch 06 FIR/IIR 对照表给出选择依据；与 Ch 07 IIR 形成阶数 vs 相位的权衡；Ch 04 DFT 是频率采样法的实现基础。
经典例题：判断 FIR 线性相位类型与直流滤除能力
题目：$h(n)=\{2,2,3,0,-3,-2,-2\}$，判断类型、长度、能否滤除直流。
解：长度 $N=7$，中心 $\alpha=3$。
- $h(0)=-h(6)$，$h(1)=-h(5)$，$h(2)=-h(4)$，$h(3)=-h(3)=0$。
- $h(n)=-h(N-1-n)$：奇对称。
- $N=7$（奇数）+ 奇对称 → 第三类线性相位 FIR（不是第二类，第二类是偶对称 + 偶数长度）。
- $\sum h(n)=2+2+3+0-3-2-2=0 \Rightarrow H(0)=0$ → 能滤除直流。
详见 Ch 08 例题 3。
经典例题：汉明窗低通设计（例 7-1）
题目：$F_s=1.5\times10^4\text{Hz}$，$f_p=1.5\times10^3\text{Hz}$，$f_{st}=3\times10^3\text{Hz}$，$A_s\ge 50\text{dB}$。用汉明窗设计。
解：
1. 选窗：汉明窗阻带衰减 53 dB $\ge$ 50 dB ✓。
2. 数字边缘：$\omega_p=0.2\pi,\;\omega_{st}=0.4\pi,\;\Delta\omega=0.2\pi$。
3. 定阶数：$N\ge \dfrac{6.6\pi}{0.2\pi}=33$，取 $N=33$（奇数），$\alpha=16$。
4. 理想冲激响应：$\omega_c=(0.2\pi+0.4\pi)/2=0.3\pi$，
5. 加汉明窗：$w(n)=0.54-0.46\cos(2\pi n/32)$，$h(n)=h_d(n)\cdot w(n)$。
详见 Ch 08 例题 5。
Ch 09 · 量化误差与有限字长
主题
把无限精度的理论分析落到有限字长的硬件实现上：A/D 量化、系数量化、运算舍入、极限环。
核心概念
- 三大误差来源：A/D 量化、系数量化、运算过程噪声。
- 量化步长 $q=2^{-b}$；舍入误差范围 $(-q/2, q/2]$，方差 $\sigma_e^2=q^2/12$。
- 定点 vs 浮点：定点精度固定、动态范围窄；浮点相对精度固定、动态范围大。
- SNR 经验公式：每增 1 bit，SNR 提升约 6.02 dB。
- 极限环振荡：一阶 IIR 零输入下因舍入卡在固定输出，上界 $|y(n)|\le \dfrac{q/2}{1-|a|}$。
- 死区效应：衰减到 $|y(n)|<q/(2(1-|a|))$ 后输出归零，公式与极限环上界相同但物理场景不同。
- 实现结构灵敏度（系数量化对极点偏移影响）：直接型 > 级联型 > 并联型。
关键公式
- 量化步长：$q=2^{-b}$（量化范围 $(-1,1)$，$2^b$ 级）
- 舍入误差方差：$\sigma_e^2=q^2/12$
- SNR（含比例因子）：$\text{SNR}_{\text{dB}}\approx 6.02b-4.77\text{dB}$（按 $3\sigma$ 缩放）
- SNR（无比例因子）：$\text{SNR}\approx 6.02b + 1.76 + 10\lg(\sigma_x^2)$ dB
- 极限环上界 / 死区阈值：$|y(n)|\le\dfrac{q/2}{1-|a|}$（一阶 IIR）
- FFT 信噪比：每加 1 bit 约提升 6 dB
- 补码溢出：模 $2$ 自动绕圈
跨章关联
Ch 03 Z 变换给出"极点位置决定稳定性"，本章给出"系数量化改变极点位置"；Ch 07 IIR 级联/并联结构灵敏度是本章直接应用；神经网络 INT8/INT4 量化是本章原理的延伸。
经典例题：一阶 IIR 死区效应
题目：一阶 IIR $y(n)=Q[a\,y(n-1)]+x(n)$，$a=0.100_2=0.5$（$b=3$），$x(n)=\frac{7}{8}\delta(n)$。比较无限精度与有限精度下的输出。
解：$q=2^{-3}=1/8$，死区阈值 $\dfrac{q/2}{1-|a|}=\dfrac{1/16}{0.5}=1/8=0.125$。
| $n$ | 无限精度 | 有限精度（舍入） |
|---|---|---|
| 0 | $7/8=0.875$ | $7/8=0.111_2$ |
| 1 | $7/16=0.4375$ | 舍入到 $1/2$ |
| 2 | $7/32=0.21875$ | 舍入到 $1/4$ |
| 3 | $7/64\approx 0.109$ | 舍入到 $1/8$ |
| 4 | $7/128\approx 0.055$ | $<q/2=1/16$，归零 → 死区 |
启示：输出本应无限趋零，但有限字长下卡在死区提前归零。详见 Ch 09 例题 1。
经典例题：A/D 变换器字长与 SNR
题目：A/D 字长 $b$ 位（舍入），输入乘 $A$ 使峰值 $\le 1$，信号峰值为 $3\sigma_x$。求 SNR，要 80 dB 信噪比需多少位？
解：$A=1/(3\sigma_x)$，缩放后信号方差 $\sigma_y^2=A^2\sigma_x^2=1/9$；量化范围 $(-1,1)$ 对应 $q=2^{-(b-1)}$；
要求 $\ge 80$ dB：$6.02b-4.77\ge 80\Rightarrow b\ge 14.08$，取 $b=15$ 位。
详见 Ch 09 例题 3。
不同目标对应不同的复习顺序。下面给出一条"先主线、再横向、最后刷题"的三轮路径。
| 轮次 | 顺序 | 目的 |
|---|---|---|
| 第一轮：主线 | 00 → 01 → 02 → 03 → 04 → 05 → 06 → 07 → 08 → 09 | 建立"离散时域 → 变换域 → 系统结构 → 滤波器设计 → 实现误差"的完整因果链 |
| 第二轮：横向 | 附录 A → 附录 B → Ch 00 | 用采样定理把"连续↔离散"桥梁补上，用变换全景把前几章串成一张二维图，最后扫绪论建立总体框架 |
| 第三轮：刷题 | 按高频考点 | 针对卷积、ROC、逆 Z、FFT、Butterworth、双线性变换、窗函数、极限环等题型专项突破 |
高频考点优先级
| 优先级 | 题型 | 出处 |
|---|---|---|
| ⭐⭐⭐ | 卷积和、周期判定 | Ch 01 |
| ⭐⭐⭐ | ROC 求法与因果稳定判据 | Ch 03 |
| ⭐⭐⭐ | 逆 Z 变换（部分分式法） | Ch 03 |
| ⭐⭐⭐ | FFT 计算量与蝶形结构 | Ch 04 |
| ⭐⭐⭐ | 巴特沃斯阶数 + 双线性变换预畸变 | Ch 06/07 |
| ⭐⭐ | 梅森公式求系统函数 | Ch 05 |
| ⭐⭐ | 循环卷积与线性卷积的混叠判断 | Ch 04 |
| ⭐⭐ | 窗函数选择与过渡带估计 | Ch 08 |
| ⭐⭐ | 极限环上界与死区阈值 | Ch 09 |
| ⭐ | FIR 四类线性相位的可设计性 | Ch 08 |
这张表只放"看到题目就能直接套用"的核心公式。如果某个符号不记得含义，请回到对应章节卡片。
| 章节 | 公式 | 适用条件 / 备注 |
|---|---|---|
| Ch 01 | $y[n]=\sum_m x[m]h[n-m]$ | LTI 零状态响应 = 卷积和 |
| Ch 01 | $\sum_n|h[n]|<\infty$ | BIBO 稳定判据 |
| Ch 01 | $u[n]*a^n u[n]=\dfrac{1-a^{n+1}}{1-a}u[n]$ | 阶跃与指数卷积 |
| Ch 02 | $X(e^{j\omega})=\sum_n x[n]e^{-j\omega n}$ | DTFT 正变换，$2\pi$ 周期 |
| Ch 02 | $Y(e^{j\omega})=X(e^{j\omega})H(e^{j\omega})$ | 卷积定理 |
| Ch 02 | $\sum_n|x[n]|^2=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|X(e^{j\omega})|^2\,d\omega$ | Parseval 定理 |
| Ch 03 | $X(z)=\sum_n x[n]z^{-n}$ | Z 变换 |
| Ch 03 | 因果+稳定 $\Leftrightarrow$ 所有极点 $|p_k|<1$ | 对 LTI 系统 |
| Ch 03 | $u[n]\leftrightarrow\dfrac{1}{1-z^{-1}}$ | $|z|>1$ |
| Ch 03 | $a^n u[n]\leftrightarrow\dfrac{1}{1-az^{-1}}$ | $|z|>|a|$ |
| Ch 03 | $n u[n]\leftrightarrow\dfrac{z^{-1}}{(1-z^{-1})^2}$ | $|z|>1$ |
| Ch 03 | $n^2 a^n u[n]\leftrightarrow\dfrac{az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^3}$ | $|z|>|a|$ |
| Ch 03 | $R_N[n]\leftrightarrow\dfrac{1-z^{-N}}{1-z^{-1}}$ | $|z|>0$ |
| Ch 03 | $x[n-m]\leftrightarrow z^{-m}X(z)$ | 双边移位 |
| Ch 03 | $a^n x[n]\leftrightarrow X(z/a)$ | z 域尺度 |
| Ch 03 | $n x[n]\leftrightarrow -z\dfrac{dX(z)}{dz}$ | z 域微分 |
| Ch 03 | $x[n]*h[n]\leftrightarrow X(z)H(z)$ | 卷积定理 |
| Ch 04 | $X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_N^{kn}$ | $N$ 点 DFT，$W_N=e^{-j2\pi/N}$ |
| Ch 04 | $x[n]=\dfrac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X[k]W_N^{-kn}$ | IDFT |
| Ch 04 | 线性卷积需 $N\ge L_x+L_h-1$ | DFT 实现卷积时必须补零 |
| Ch 04 | $(N/2)\log_2 N$ 次复乘 | FFT 计算量（基 2 DIT/DIF） |
| Ch 05 | $H(z)=\dfrac{1}{\Delta}\sum_k P_k\Delta_k$ | 梅森公式 |
| Ch 05 | 自环消去：$\dfrac{ab}{1-bc}$ | 信号流图化简 |
| 附录 A · 采样定理 | $f_s\ge 2f_{\max}$ | 奈奎斯特准则 |
| Ch 06 | $h_d[n]=\dfrac{\sin(\omega_c n)}{\pi n}$ | 理想低通冲激响应（$n\ne 0$） |
| Ch 06 | $N\ge\dfrac{\lg\sqrt{(10^{0.1\alpha_p}-1)/(10^{0.1\alpha_s}-1)}}{\lg(\Omega_p/\Omega_s)}$ | Butterworth 阶数（$\alpha_p$ 用 dB） |
| Ch 06 | $\Omega_c=\Omega_p(10^{0.1\alpha_p}-1)^{-1/(2N)}$ | Butterworth 截止频率（通带精确口径） |
| Ch 07 | $s=\dfrac{2}{T}\dfrac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$ | 双线性变换 |
| Ch 07 | $\Omega=\dfrac{2}{T}\tan(\omega/2)$ | 预畸变 |
| Ch 07 | $z_k=e^{s_k T}$ | 冲激响应不变法极点映射 |
| Ch 08 | $h(n)=\pm h(N-1-n)$ | 线性相位条件，$\tau=(N-1)/2$ |
| Ch 08 | $h_d(n)=\dfrac{\sin[\omega_c(n-\alpha)]}{\pi(n-\alpha)}$ | 理想低通冲激响应（加窗前） |
| Ch 08 | $N\approx c\cdot 2\pi/\Delta\omega$ | 窗函数法阶数估计 |
| Ch 09 | $q=2^{-b}$，$\sigma_e^2=q^2/12$ | 量化步长与舍入误差方差 |
| Ch 09 | $\text{SNR}\approx 6.02b + 1.76 + 10\lg\sigma_x^2$ dB | 每 bit 约 6 dB |
| Ch 09 | $|y(n)|\le\dfrac{q/2}{1-|a|}$ | 一阶 IIR 极限环/死区阈值 |
采样定理不在主线编号里，但它是把"连续信号"和"离散序列"缝合起来的关键专题。详见 采样定理专题笔记。
核心概念
- 奈奎斯特准则：$f_s\ge 2f_{\max}$，否则高频成分混叠到低频不可逆。
- 冲激串采样：$\tilde{x}_a(t)=x_a(t)\cdot\sum_n\delta(t-nT)$。
- 频谱周期复制：$\tilde{X}_a(j\Omega)=\dfrac{1}{T}\sum_k X_a\!\left(j(\Omega-k\Omega_s)\right)$。
- 重建：$x_a(t)=\sum_n x[n]\cdot\text{sinc}\!\left(\dfrac{t-nT}{T}\right)$（理想低通内插）。
- 抗混叠滤波：先低通，再采样；重建后再低通。
关键公式
- 冲激串采样频谱：$\tilde{X}_a(j\Omega)=\dfrac{1}{T}\sum_k X_a(j\Omega-jk\Omega_s)$
- 采样前后关系：$x[n]=x_a(nT)\;\Leftrightarrow\;\tilde{X}_a(j\Omega)=\dfrac{1}{T}\sum_k X_a(j\Omega-jk\Omega_s)$
- 重建核：$g(t)=\dfrac{\sin(\pi t/T)}{\pi t/T}$（归一化 sinc）
- 奈奎斯特频率：$f_N=f_s/2$，$\omega_N=\pi$
跨章关联
Ch 01 离散序列的来源；Ch 02 DTFT 的周期性来源；Ch 04 DFT 与 DTFT 的关系；Ch 09 A/D 量化是采样后的下一步。
把六类变换放回同一坐标系，建立统一坐标。详见 信号变换全景笔记。
核心概念
- 统一坐标：连续 ↔ 离散、周期 ↔ 非周期，两轴构成 FT / FS / DTFT / DFT。
- Laplace ↔ Z：$z=e^{sT}$，虚轴 → 单位圆，左半平面 → 单位圆内。
- 对偶律：时域离散 ↔ 频域周期；频域离散 ↔ 时域周期。
- 采样定理、$z=e^{sT}$ 极点映射、混叠与重建构成连续↔离散桥梁。
关键公式
- FT：$X(j\Omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\Omega t}dt$
- FS：$X[k]=\dfrac{1}{T}\int_T x(t)e^{-jk\Omega_0 t}dt$
- DTFT：$X(e^{j\omega})=\sum x[n]e^{-j\omega n}$
- DFT：$X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N}$
- Laplace：$X(s)=\int x(t)e^{-st}dt$
- Z：$X(z)=\sum x[n]z^{-n}$
- Laplace ↔ Z：$z=e^{sT}$，$\omega=\Omega T$
- 单位圆 ↔ 虚轴：$z=e^{j\omega}$ → $s=j\Omega$
- 单位圆内 ↔ 左半平面：$|z|<1$ → $\sigma<0$
跨章关联
Ch 02/03/04 三章变换的横向串讲；采样定理专题的频域视角；Ch 06 滤波器的"原型即模拟频响"思想在此可追溯到 Laplace。
参考来源
- 课程讲义：第三讲 1（DFT · 频域采样）
- 课程讲义：第四讲 1（FFT · 蝶形结构）
- 课程讲义：第五讲 1（系统结构 · 信号流图 · 数字滤波器基础）
- 课程讲义：第六讲 1（IIR 设计 · 模拟原型 · Butterworth · Chebyshev）
- 课程讲义：第七讲 2（FIR 设计 · 窗函数 · 频率采样 · 等波纹）
- 课程讲义：第八讲 1（有限字长 · 量化误差 · 极限环）
- 教材：程佩青《数字信号处理教程（第五版）》
- 外部资源：MIT OCW · RES.6-008 Digital Signal Processing
- 外部资源：Stanford EE264 · Digital Signal Processing
- 外部资源：DSP First (Georgia Tech)
- 外部资源：The Scientist and Engineer's Guide to DSP