概率论基础

随机试验的定义

随机试验（Random Experiment）：在相同条件下可重复进行、结果至少两种且事先无法确定哪个结果实现的机制。

注意：这里"试验"泛指观察或测度的过程，不一定是真正实施的实验。

样本空间

样本空间（Sample Space）$S$：随机试验所有可能基本结果的集合。基本结果（basic outcome / sample point）是 $S$ 的最小不可分单位。

事件

事件（Event）$A$：样本空间 $S$ 中具有共同特征的基本结果所组成的集合。数学上，事件等同于集合。

$\sigma$ 代数（$\sigma$ 域）$\mathcal{B}$

$\mathcal{B}$ 是样本空间 $S$ 中满足以下条件的子集（事件）的集合：

1. $\varnothing \in \mathcal{B}$（空集封闭）
2. 若 $A \in \mathcal{B}$，则 $A^c \in \mathcal{B}$（对补集封闭）
3. 若 $A_1, A_2, \cdots \in \mathcal{B}$，则 $\cup_{i=1}^{\infty} A_i \in \mathcal{B}$（对可数并集封闭）

$(S, \mathcal{B})$ 构成可测空间，$\mathcal{B}$ 是概率函数的定义域。

概率函数 $P: \mathcal{B} \to [0,1]$

满足以下条件的映射：

1. $0 \leq P(A) \leq 1$（非负性）
2. $P(S) = 1$（规范性）
3. 若 $A_1, A_2, \cdots$ 互斥，则 $P(\cup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)$（可数可加性）

概率空间 $(S, \mathcal{B}, P)$

概率空间是一个三元组合：

• $S$：随机试验的样本空间
• $\mathcal{B}$：$S$ 的子集（事件）构成的 $\sigma$ 域
• $P: \mathcal{B} \to [0,1]$：概率测度（概率函数）

这个三元组完整描述了随机试验的概率法则。

条件概率定义

给定事件 $B$（$P(B) > 0$），事件 $A$ 的条件概率：

条件概率描述的是 $B$ 已发生时对 $A$ 的预测关系，而非因果关系。因果关系需要经济理论来刻画。

乘法法则

对 $n$ 个事件：$P(\cap_{i=1}^n A_i) = P(A_1) \cdot P(A_2 \mid A_1) \cdot P(A_3 \mid A_1 \cap A_2) \cdots$

全概率公式

若 $A_1, \cdots, A_n$ 互斥且完全穷尽，$P(A_i) > 0$，则对任意事件 $B$：

意义：将复杂事件 $B$ 的概率分解为若干互斥情形下的条件概率之和。

贝叶斯定理

其中 $P(A_i)$ 为先验概率（prior）——获得 $B$ 信息之前对原因的判断；$P(A_i \mid B)$ 为后验概率（posterior）——获得 $B$ 信息之后的修正判断。

例 3：三人考核的通过率

三名员工（猴博士、傻狍子、沙垃鸡）被选中的概率各为 $\frac{1}{3}$，通过率分别为 99%、3%、30%。

（1）随机选一人考核，求通过的概率。

设 $E_1, E_2, E_3$ 分别为选中三人，$T$ 为「通过」。由全概率公式：

（2）已知某人通过了考核，求他是傻狍子的概率。

由贝叶斯公式：

尽管三人的先验概率相同，但由于傻狍子通过率极低（3%），在已知通过的条件下，他是傻狍子的后验概率仅为 $\frac{1}{44}$——观察数据大幅修正了先验判断。

独立性的定义

若 $P(A \cap B) = P(A)P(B)$，则 $A$ 与 $B$ 相互独立。

等价条件：$P(A \mid B) = P(A)$——一个事件发生不影响另一个的概率。