第五章 SE(3) 伴随作用的有限位移旋量
戴建生 · 高等教育出版社 2014
有限位移旋量矩阵：SE(3)的6×6伴随表示
学习目标
- 理解有限位移旋量矩阵的两种形式：$3 \times 3$ 对偶正交矩阵和 $6 \times 6$ 分块矩阵
- 掌握 SE(3) 的伴随表示和伴随矩阵
- 理解伴随作用的物理意义：旋量坐标在不同坐标系间的变换
- 理解定理 5.1（指数映射得到 SE(3) 的 $4 \times 4$ 标准表示）和定理 5.2（有限位移旋量矩阵是 SE(3) 的元素）
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第四章引入了 Rodrigues 公式和指数映射，本章将有限位移旋量放到李群 SE(3) 的框架下，用 $6 \times 6$ 伴随矩阵统一处理。
本章之后：第六章讨论互易性，第七章讨论旋量系关联关系定理（定理 7.1）。
5.1
Chasles 运动与李群 SE(3)
定义 5.1（特殊欧氏群 SE(3)）：三维空间仿射群 Aff(3) 的闭合子群，李群，可表示为 $SO(3)$ 与位移群 $T(3)$ 的半直积。
Chasles（1830）：刚体运动均可看作有限螺旋运动，包括绕轴线的旋转和沿该轴线的平移。
5.1.1
有限位移旋量矩阵
有限位移旋量矩阵有两种等价表示：
形式一：$3 \times 3$ 对偶正交矩阵：
$$R + \epsilon A R$$
其中 $R \in SO(3)$ 是主部，$A = [\hat{d}]$ 是与平移向量 $\mathbf{d}$ 对应的反对称矩阵（式 5.2）。
形式二：$6 \times 6$ 分块矩阵（最常用）：
$$N = \begin{pmatrix} R & \mathbf{0} \\ AR & R \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{6 \times 6}$$
其中 $R$ 为主部（旋转），$AR$ 为副部（平移效应）。
定理 5.2：$6 \times 6$ 有限位移旋量矩阵是李群 SE(3) 中的一个元素。
5.1.2
李群伴随算子 Ad(g)
定义 5.2：Ad(g) 为李群伴随算子。
定义 5.3：$Ad(g)X = gXg^{-1}$（共轭运算，矩阵形式）。
定义 5.4：$Ad(g)S = NS$（左作用，向量形式）。
SE(3) 的伴随矩阵（射线坐标形式）：
$$\mathrm{Ad}(g) = \begin{pmatrix} R & \mathbf{0} \\ \hat{\mathbf{p}}R & R \end{pmatrix}$$
物理意义：在不同坐标系下描述同一条旋量轴时，旋量坐标需要用伴随矩阵变换。这是机器人学中 Jacobian 矩阵变换的代数基础。
5.1.3
Rodrigues 一般运动公式
定理 5.1：对李代数 se(3) 的标准 $4 \times 4$ 表示做指数映射，可得到李群 SE(3) 的标准 $4 \times 4$ 表示：
$$H = e^{\theta E} = I + \sin\theta E + (1-\cos\theta)E^2 = \begin{pmatrix} R & \mathbf{d} \\ \mathbf{0}^T & 1 \end{pmatrix} \in SE(3)$$
这就是 Rodrigues 一般运动公式（一般螺旋运动公式）。
有限位移旋量矩阵的行列式为 1（式 5.8），属于特殊线性群 SL(3)。
复习速查
- 有限位移旋量矩阵 $N = [R\;\mathbf{0};\;AR\;R]$：$6 \times 6$ 分块矩阵
- 伴随矩阵 $Ad(g) = [R\;\mathbf{0};\;\hat{\mathbf{p}}R\;R]$：旋量坐标变换
- 定理 5.1：指数映射 se(3) → SE(3)
- 定理 5.2：有限位移旋量矩阵是 SE(3) 的元素
- 伴随作用：$Ad(g)S = NS$，在不同坐标系间变换旋量
参考来源
- 戴建生 (2014)《旋量代数与李群、李代数》第五章，P.118-P.134。教材：
media/screw-algebra/screw-algebra-lie-groups.pdf。 - Screw theory - Wikipedia