误差分析与非线性方程求根
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- 第一组：误差与稳定性基础 —— Part 0–2
- 第二组：求根方法与收敛分析 —— Part 3–5
- 第三组：课程收束与复习 —— Part 6 + 速查
这一组内容覆盖数值分析最根本的入口：我们为什么只能求近似解、近似值是否可信、以及怎样构造逐步逼近根的算法。Chap1 讲误差与有效数字，Chap2 把误差观念推进到算法稳定性并引出非线性方程求根，Chap3 系统建立不动点迭代，Chap4 进一步讨论 Newton 法与弦截法的收敛速度与适用条件。
可以把这四章理解成整门课的方法论底座：后面的插值、积分、常微分方程数值解，都在重复回答同一个问题——近似值能不能信，误差会不会被放大，算法究竟收不收敛。
前置知识回顾
- 连续性与介值定理：二分法依赖区间端点异号与函数连续性。对应课件：Chap2。
- 导数与局部线性化：Newton 法本质是切线逼近，需要理解一阶导数与 Taylor 展开。对应课件：Chap4。
- 数列极限与收敛：不动点迭代和收敛速度都要落在序列收敛语言里。对应课件：Chap3。
- 误差的量化表达：绝对误差、相对误差、误差限与有效数字。对应课件：Chap1。
在工程与科学问题里，很多方程并没有现成的解析解，或者即使存在解析式，计算代价也高得不可接受。数值分析研究的不是“公式如何写得漂亮”，而是“怎样在有限步内得到足够准确、并且不会失控的近似解”。
因此它先讨论的不是技巧，而是误差。误差可能来自模型简化、观测不准、截断近似以及机器浮点舍入。一个算法如果不能说明误差从哪里来、会不会传播放大、随着迭代是否收敛，那它就算算出了数字，也不能算真正解决了问题。
绝对误差与相对误差
若真值为 $x^*$，近似值为 $x$，则绝对误差定义为 $e(x)=x^*-x$，相对误差定义为 $e_r(x)=\dfrac{x^*-x}{x^*}$。
绝对误差回答“偏了多少”，相对误差回答“偏离占真值比例多少”。当量级差别很大时，相对误差往往更能刻画计算质量。
有效数字
若近似值写成 $x=\pm 0.a_1a_2\cdots a_n\times 10^m$，并且其绝对误差限不超过末位的半个单位，则称它具有 $n$ 位有效数字。
这意味着：有效数字并不是“看上去保留了几位”，而是误差限对数值精度的另一种编码方式。
算法稳定性
如果初始扰动、舍入误差或中间误差在计算过程中不会被显著放大，则算法是稳定的；反之则是不稳定的。
数学上等价的两个递推公式，数值稳定性可能完全不同。数值分析关心的不只是“公式对不对”，更关心“公式在机器上是否好用”。
对一元非线性方程 $f(x)=0$，课程依次给出三类思想完全不同的方法。
| 方法 | 核心思想 | 优点 | 代价/限制 |
|---|---|---|---|
| 二分法 | 利用连续性与变号性，不断缩小区间 | 稳妥、必收敛 | 线性收敛，速度慢 |
| 不动点迭代 | 把 $f(x)=0$ 改写为 $x=\varphi(x)$，递推 $x_{n+1}=\varphi(x_n)$ | 形式灵活，可统一分析收敛性 | 依赖构造，坏的变形会发散 |
| Newton 法 | 用切线代替原函数局部行为 | 单根附近通常二阶收敛，速度快 | 要求导数、依赖初值，可能失效 |
| 弦截法 | 用割线近似切线，避免直接求导 | 实现简洁，常比简单迭代快 | 收敛性不如 Newton 法稳定 |
这条演化路径很有教学意味：先从“只要稳就行”的区间法起步，再过渡到“设计一个收敛映射”的点迭代，最后走向“用局部微分信息换更快速度”的 Newton 型方法。
二分法误差估计
若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)f(b)<0$，二分法每一步把区间长度减半，因此第 $n$ 步近似根 $x_n$ 满足
它的本质不是快，而是“误差控制非常透明”。
不动点迭代的压缩映射条件
若 $\varphi([a,b])\subseteq[a,b]$ 且存在常数 $L<1$ 使得 $|\varphi'(x)|\le L$，则不动点唯一，且迭代 $x_{n+1}=\varphi(x_n)$ 从任意初值出发都收敛到该不动点。
其误差估计可写成
条件 $|\varphi'|<1$ 的直觉含义是：每一步都在“收缩距离”，误差不会被放大。
Newton 法的局部二阶收敛
将 $f(x)$ 在 $x_n$ 处线性化：
令近似切线与 $x$ 轴交点为下一个迭代点，可得
若 $x^*$ 是单根，且初值足够靠近，则误差满足
这就是 Newton 法“越接近越快”的来源：误差从一阶衰减升级成了二阶衰减。
例题 1 · 有效数字与误差限互推
题目：给定近似值 $3.1416$，说明“有几位有效数字”与“误差限有多大”之间是什么关系。
- 第一步：识别末位所在量级。这里保留到小数点后四位，末位单位是 $10^{-4}$。
- 第二步：若该数是按有效数字规则给出的，则绝对误差限通常不超过末位半个单位，即约为 $0.5\times 10^{-4}$。
- 第三步：由绝对误差限再估计相对误差，就能判断这一近似值在真实计算里是否够用。
答案：有效数字不是“写了几位小数”，而是“误差已经被控制到什么量级”的表达。它把误差分析转成了读数习惯。
例题 2 · 从二分法到 Newton 法的速度比较
题目：求方程 $f(x)=0$ 的近似根，比较二分法与 Newton 法的思维差异。
- 二分法：先找一个函数连续且两端异号的区间 $[a,b]$，每步取中点并保留仍然异号的半区间。优点是只要条件满足就稳步前进。
- Newton 法：选定初值 $x_0$，用切线交点生成 $x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)$。当初值好时，误差会快速下降。
- 比较：二分法像拿手电筒在黑暗里一半一半缩小范围；Newton 法像站在曲线上不断作切线，直接朝根冲过去。
答案：二分法重“保底收敛”，Newton 法重“局部加速”。实际计算里常常是先用稳妥方法把初值推进到合适区间，再交给 Newton 法加速。
后续用途 / 连接
误差分析会在插值、数值积分和微分方程数值解里反复出现；稳定性概念会在 Euler 法和 Runge-Kutta 法中继续深化；迭代思想则直接延伸到 Jacobi、Gauss-Seidel、SOR 以及特征值的乘幂法。可以说，后面的每一章都在重演这四章的总问题：怎样用有限步近似一个本来难以直接求出的对象。
复习速查
- 误差类型：模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差。
- 绝对误差 / 相对误差：前者看偏差大小，后者看偏差占比。
- 有效数字：误差限的可读表达，不等于简单的小数位数。
- 二分法：连续 + 变号，稳妥但慢，误差界清晰。
- 不动点迭代：关键不是变形成什么样，而是 $|\varphi'|<1$ 是否成立。
- Newton 法：切线逼近，单根附近通常二阶收敛，但依赖初值和导数条件。
- 弦截法：导数的数值替代思路，为高效求根提供折中方案。
参考来源
- 电子科技大学数学科学学院数值分析课程组：《数值分析》Chap1–Chap4 PDF 讲义（主参考来源）
- Chapter 7 数值分析笔记（仅作结构对照与补充解释）
- Numerical Analysis - 华东师范大学（仅作课程主题对照）