高级图形学与增强现实
高级图形学与增强现实的核心，不只是“把图画出来”。它更像一条从几何表示到物理计算，再到视觉呈现与交互叠加的完整链路。
一个物体进入计算机后，首先要被表示为曲线、曲面、网格或体结构；如果要做工程分析，它又要被离散成可求解的有限元模型；如果要被观察，它需要经过光照、材质、相机和渲染管线；如果要进入增强现实场景，它还必须完成跟踪、注册、空间理解和实时融合。
入口：几何与仿真的基础
从 CAD-CAE 语言鸿沟出发，理解 IGA 的基本思想、NURBS 建模基础，以及有限元与网格生成的前世今生。
- CAD/CAE/优化数字化全流程
- NURBS、Bézier、B 样条控制点与基函数
- 有限元法：里兹法 + 分片近似
- 网格生成：Delaunay、波前法、标架场
参数化：几何到分析的桥梁
IGA 的最大难点不在求解器，而在于从 CAD 边界构造高质量计算域参数化。五条技术路线：Coons 初始构造、SQP 约束优化、调和映射、Möbius 重参数化、多块分解。
- 单射性、均匀性、正交性三大质量标准
- Coons 初始构造 + SQP 约束优化
- 骨架分解与多块分解
- Polycube / Polysquare 自动切片
骨架分解与 Polycube 参数化
骨架分解通过区域骨架将复杂拓扑切分为多个子区域；Polycube 方法通过轴对齐立方体切片简化复杂拓扑，两者共同解决参数化畸变问题。
- 骨架 skeleton circle 与四边形分割
- Lagrange 乘子法 $C^1$ / Mourrain $G^1$ 连续性约束
- 标架场引导与流线构造
- 多立方体切片与有向图简化
求解：泊松问题
在 NURBS 参数域上完整走一遍 IGA 求解流程：弱形式推导 → Galerkin 离散 → 刚度矩阵装配 → r-细化 + Winslow 自适应网格。
- 泊松方程强形式与三类边界条件
- 弱形式：分部积分 → 变分形式 $a(w,u)=L(w)$
- NURBS 基函数 → 线性系统 $\mathbf{K}\mathbf{d}=\mathbf{F}$
- r-细化：固定自由度，精化节点位置
线弹性问题与 GIFT 方法
GIFT 解耦几何与解场的节点向量，使几何表示和分析精度可以独立优化。线弹性 IGA 在粗网格下即可达到 FEA 细网格的精度。
- 应变-位移-应力三方程
- Voigt 标记与弹性矩阵
- Galerkin 离散：单元刚度矩阵 + 全局装配
- GIFT 解耦几何场与解场
超弹性与等几何配点法
超弹性引入应变能密度函数，本构方程从线性推广到非线性。配点法绕过数值积分，直接在强形式上求解，计算效率比 Galerkin 方法高出一个数量级。
- St.Venant-Kirchhoff / Neo-Hookean / Mooney-Rivlin 模型
- Green-Lagrange 应变：几何非线性的来源
- 切线刚度矩阵 $\mathbf{K}_L + \mathbf{K}_N$
- 等几何配点法：Greville 坐标选取配点
形状优化
IGA 设计变量与分析变量是同一套 NURBS 表示，四类目标函数：柔度最小化、位移约束、最大应力约束、体积约束。
- 柔度、位移、应力、体积四类目标函数
- 控制点即设计变量，无格式转换
- p-norm 近似 $\max\sigma$（可导化技巧）
- IGA 形状优化天然优于 FEA
拓扑优化
拓扑优化允许改变连通性和生成新孔洞。MMC 方法产出结果天然是 CAD 可表示的，是当前研究前沿方向。
- SIMP：密度场 $\rho^p E_0$，惩罚因子 $p$
- BESO 双向渐进，Level-set 隐式边界
- MMC：形变基元组件 → CAD 直接可用
- 后处理：等值面提取 → NURBS 重建
体细分一体化框架
Catmull-Clark 体细分从六面体网格直接构造 B-spline 体，打通建模-仿真-优化三个环节，共享同一几何表示。
- Catmull-Clark 体细分：$C^2$ 收敛到 B-spline
- Push-back 保证几何保真
- PIA 渐进迭代近似精化
- 六面体网格 → 体细分 → IGA → 优化
深度学习等几何分析
IGA 为 DNN 提供高质量数据集，CNN 和 GNN 两条路线加速仿真。IGA 的高阶连续性保证让 DNN 解继承光滑特性。
- IGA 制作数据集三大优势：高阶连续性、无缝集成、精度高
- CNN 路线：规则参数域图像
- GNN 路线：任意拓扑图结构
- PINN + IGA，AI for Science
课程考核采用 1 + 1 + 1 形式：
- 一个微项目设计（解决问题能力，最多 2 人组队）
- 一个约 10 分钟的 PPT 报告（分析问题能力）
- 一篇独立撰写的课程设计技术报告（表述问题能力）
| 题目类型 | 方向 | 特点 |
|---|---|---|
| 几何建模类 | 三维网格观察器、光线跟踪器、全景图浏览器 | 功能清晰，展示效果好 |
| 渲染类 | 神经渲染新视图合成、Campus Tour | 前沿、结果图直观 |
| AR 类 | 无标志物视觉跟踪注册、Campus 路标系统 | 虚实融合、实时性强 |
| 深度学习类 | 交通场景风格迁移、语义图像合成 | 结果图易展示 |
参考来源
- GAMES302《等几何分析》课程 PPT，12 讲，来源：https://games-cn.org/games302-slides/
- Hughes et al., "Isogeometric analysis: CAD, finite elements, NURBS, exact geometry and mesh refinement," CMAME, 2005.
- 徐岗等，多篇 IGA 参数化与形状优化论文（CMAME, CAD, JCP 系列）。
- 高级图形学与增强现实课程考核要求与课程设计题目（2026 年研究生版）。