空间解析几何

空间解析几何是线性代数从线性空间过渡到几何应用的桥梁。它的核心思想是：用坐标和方程描述几何对象。平面、直线、向量运算——这些在三维空间里的几何关系，全部可以用代数表达式精确刻画。

本章覆盖：空间直角坐标系与向量概念、向量的线性运算与投影、向量的内积/外积/混合积、平面方程的三种形式、空间直线方程、以及直线与平面间的位置关系判定。

空间直角坐标系

在空间中取定一点 $O$ 作为原点，过 $O$ 作三条互相垂直的数轴：$x$ 轴（横轴）、$y$ 轴（纵轴）、$z$ 轴（竖轴）。它们构成右手系：右手握住 $z$ 轴，四指从正向 $x$ 轴转向正向 $y$ 轴时，大拇指指向 $z$ 轴的正向。空间中的任意一点 $P$ 唯一对应一个三元有序数组 $(x, y, z)$，称为 $P$ 的坐标。

向量的概念

既有大小又有方向的量称为向量（矢量）。用有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 或 $\vec{a}$ 表示。$|\vec{a}|$ 表示向量的模（长度）。

几个重要概念：

• 自由向量：不考虑起点位置，仅由大小和方向决定
• 相等向量：大小相等且方向相同
• 负向量：大小相等但方向相反，记作 $-\vec{a}$
• 单位向量：模为 1 的向量
• 零向量：模为 0，方向任意
• 向径：以原点为起点、点 $P$ 为终点的向量 $\overrightarrow{OP}$

向量的坐标表示

将向量平移使起点与原点重合。若终点 $A$ 的坐标为 $(a_1, a_2, a_3)$，则 $a_1, a_2, a_3$ 称为向量的分量（坐标），记作 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$。

三个基向量：$\vec{i} = (1,0,0),\; \vec{j} = (0,1,0),\; \vec{k} = (0,0,1)$。任一向量可表示为基向量的线性组合：

向量在轴上的投影

设向量 $\vec{a}$ 与轴 $u$ 的夹角为 $\varphi$，则 $\vec{a}$ 在轴 $u$ 上的投影为：

投影可正可负：$\varphi < \pi/2$ 时为正，$\varphi > \pi/2$ 时为负，$\varphi = \pi/2$ 时为零。相等向量在同一轴上的投影相等。

向量的线性运算

设 $\vec{\alpha} = (a_1, a_2, a_3),\; \vec{\beta} = (b_1, b_2, b_3)$，则

加法与数乘统称为线性运算，满足八条基本运算律（交换律、结合律、分配律等）。

几何上，加法对应平行四边形法则；数乘 $k \gt 0$ 表示同向伸缩，$k \lt 0$ 表示反向伸缩。

向量的模（长度）

方向角与方向余弦

向量 $\vec{a}$ 与三个坐标轴正向的夹角 $\alpha, \beta, \gamma \in [0,\pi]$ 称为方向角，其余弦称为方向余弦：

重要恒等式：

单位向量 $\vec{e}_a = \frac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|} = (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$。

内积的几何意义

这等价于 $\|\vec{a}\|$ 乘以 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影，或 $\|\vec{b}\|$ 乘以 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影。内积衡量两个向量在方向上的对齐程度：

• $\theta = 0$（同向）：$\vec{a}\cdot\vec{b} = \|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|$，取最大值
• $\theta = \pi/2$（垂直）：$\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$
• $\theta = \pi$（反向）：$\vec{a}\cdot\vec{b} = -\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|$，取最小值

由内积求夹角

基向量内积：$\vec{i}^2 = \vec{j}^2 = \vec{k}^2 = 1,\; \vec{i}\cdot\vec{j} = \vec{j}\cdot\vec{k} = \vec{k}\cdot\vec{i} = 0$。

内积的运算性质

• $\vec{a}^2 = \|\vec{a}\|^2$
• $\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a}$（交换律）
• $(\lambda\vec{a})\cdot(\mu\vec{b}) = \lambda\mu(\vec{a}\cdot\vec{b})$
• $\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c}$（分配律）

物理意义：质点在力 $\vec{F}$ 作用下从 $A$ 移动到 $B$，力所做的功 $W = \vec{F}\cdot\overrightarrow{AB}$。

几何意义：$\|\vec{a}\times\vec{b}\|$ 等于以 $\vec{a},\vec{b}$ 为邻边的平行四边形的面积。若将 $\vec{b}$ 的高记为 $h = \|\vec{b}\|\sin\theta$，则面积为 $\|\vec{a}\|h$。

外积的坐标公式

基向量的外积

外积的运算性质

• $\vec{a}\parallel\vec{b} \iff \vec{a}\times\vec{b} = \vec{0}$（平行充要条件）
• $\vec{a}\times\vec{b} = -\vec{b}\times\vec{a}$（反对称性：交换顺序变号）
• $(\lambda\vec{a})\times\vec{b} = \lambda(\vec{a}\times\vec{b})$
• $(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{c} = \vec{a}\times\vec{c} + \vec{b}\times\vec{c}$（分配律）
• $\vec{a}\times\vec{a} = \vec{0}$

混合积的坐标表达式

几何意义与性质

• $|[\vec{a}\,\vec{b}\,\vec{c}]|$ = 以 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 为棱的平行六面体的体积
• 混合积为零 $\iff$ 三向量共面
• 循环置换不改变值：$[\vec{a}\,\vec{b}\,\vec{c}] = [\vec{b}\,\vec{c}\,\vec{a}] = [\vec{c}\,\vec{a}\,\vec{b}]$
• 交换两个向量变号：$[\vec{b}\,\vec{a}\,\vec{c}] = -[\vec{a}\,\vec{b}\,\vec{c}]$

四面体体积

不共面四点 $A,B,C,D$ 构成的四面体体积：

平面的点法式方程

给定平面上一点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 和平面的法向量 $\vec{n} = (A,B,C)$，则平面上任一点 $M(x,y,z)$ 满足 $\overrightarrow{M_0M}\perp\vec{n}$：

称为点法式方程。法向量 $\vec{n}$ 垂直于平面内的任一向量。

平面的一般式方程

展开点法式得到：

其中 $D = -(Ax_0+By_0+Cz_0)$，$\vec{n}=(A,B,C)$ 为法向量。特殊情况：

• $D=0$：平面通过原点
• $A=0$：平面平行于 $x$ 轴（法向量 $x$ 分量为 0）
• $A=B=0$：平面平行于 $xOy$ 平面（即 $z = \text{常数}$）

平面的截距式方程

设平面与 $x,y,z$ 三轴的交点分别为 $(a,0,0), (0,b,0), (0,0,c)$（$a,b,c \neq 0$），则：

$a,b,c$ 分别称为平面在 $x,y,z$ 轴上的截距。截距式直观地给出了平面与各轴的交点位置。

点到平面的距离

点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 的距离：

这是平面上任一点到 $P_0$ 的向量在法向量方向上的投影长度。

两平面的位置关系

设 $\pi_1: A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\; \pi_2: A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$。

两平面夹角 $\theta$ 定义为法向量夹角的锐角：$\cos\theta = \frac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{\|\vec{n}_1\|\,\|\vec{n}_2\|}$。

直线的点向式方程（对称式）

给定直线上一点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 和方向向量 $\vec{s} = (m,n,p)$，则直线上任一点 $M(x,y,z)$ 满足 $\overrightarrow{M_0M}\parallel\vec{s}$：

若 $m,n,p$ 中有零（如 $n=0$），则表示该方向分量恒等于 $y_0$（如 $y = y_0$）。

直线的参数式方程

令 $\frac{x-x_0}{m} = t$ 得：

$t$ 为参数，不同 $t$ 对应直线上不同点。参数式在计算机图形学中极为常用。

直线的一般式方程

空间直线可看作两个平面的交线：

直线的方向向量 $\vec{s} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$（两个平面法向量的外积）。

从一般式化到点向式的方法是：（1）取直线上的一个点（令某个坐标为 0 或 1，解方程组）；（2）用外积求方向向量。

直线与直线的位置关系

设 $l_1:\; \frac{x-x_1}{m_1} = \frac{y-y_1}{n_1} = \frac{z-z_1}{p_1}$，方向 $\vec{s}_1$；$l_2:\; \frac{x-x_2}{m_2} = \frac{y-y_2}{n_2} = \frac{z-z_2}{p_2}$，方向 $\vec{s}_2$。

两直线的夹角 $\theta$ 取方向向量夹角的锐角：$\cos\theta = \frac{|\vec{s}_1\cdot\vec{s}_2|}{\|\vec{s}_1\|\,\|\vec{s}_2\|}$。

直线与平面的位置关系

设直线 $l:\; \frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p}$（方向 $\vec{s}$），平面 $\pi:\; Ax+By+Cz+D=0$（法向量 $\vec{n}$）。

直线与平面的夹角 $\varphi$ 定义为直线与其在平面上的投影所夹的锐角：$\sin\varphi = \frac{|\vec{s}\cdot\vec{n}|}{\|\vec{s}\|\,\|\vec{n}\|}$。

过直线的平面束

过直线 $l:\; \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases}$ 的全体平面可表示为：

这就是平面束方程，$\lambda \in \mathbb{R}$，但 $\lambda$ 取任意实数时不能表示第二个平面本身。