离散时间信号与系统
前置知识回顾
这一节是 DSP 的入口。它不需要复杂数学工具，但需要把几个基础概念分清楚：
- 连续时间信号：时间变量连续，记作 $x_a(t)$。
- 离散时间信号：时间变量只取整数索引，记作 $x[n]$，幅值可以仍是连续值。
- 数字信号：时间离散，幅值也量化成有限位。
- 系统：把输入序列 $x[n]$ 映射为输出序列 $y[n]$ 的规则。
- 后续用途：单位脉冲会引出卷积，复指数会引出 DTFT，指数序列会引出 Z 变换。
数字信号处理里最核心的对象不是连续波形，而是序列。如果把模拟信号看成一条连续曲线，那么离散时间信号就是沿时间轴按固定间隔取样后得到的一串样本值：
这里 $T$ 是采样间隔。注意 $n$ 只是整数索引，不是实际物理时间；真实时间是 $t=nT$。后续很多混淆都来自把 $n$ 和 $t$ 混在一起。
离散时间理论的好处是，许多处理动作会退化为对样本做加法、乘法、移位和累加。系统也从连续微分方程逐渐变成差分方程。
第一讲与实验 1 都反复围绕几类标准序列展开，因为它们构成后续卷积、变换和系统分析的基础语言。
| 序列 | 定义 | 作用 |
|---|---|---|
| 单位脉冲 | $\delta[n]=1(n=0),0(n\ne0)$ | 构造任意序列、定义单位抽样响应 |
| 单位阶跃 | $u[n]=1(n\ge0),0(n<0)$ | 表示因果性与截断范围 |
| 矩形序列 | $R_N[n]=u[n]-u[n-N]$ | 有限长截取、加窗 |
| 指数序列 | $x[n]=a^n$ | 判断增长/衰减，后续进入 Z 变换 |
| 复指数 | $e^{j\omega n}$ | 频域分析与 LTI 系统特征函数 |
单位脉冲的地位尤其特殊。任意序列都可以分解为：
这句话是卷积和 LTI 系统分析的起点：只要知道系统对每个移位脉冲如何响应，就能叠加得到任意输入的输出。
离散时间系统特别依赖索引操作。因为时间轴已经离散，许多运算都可以用“把样本往左或往右挪几格”来表述。
- 移位：$x[n-m]$ 表示右移 $m$ 位，$x[n+m]$ 表示左移 $m$ 位。
- 翻褶：$x[-n]$ 把序列绕 $n=0$ 对称翻转，是卷积图解法的关键一步。
- 抽取与插值：分别对应时间轴压缩和扩展，是多抽样率处理的基础原型。
- 差分：$\nabla x[n]=x[n]-x[n-1]$，离散版变化率。
- 累加：$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{n}x[k]$，相当于离散积分。
离散时间系统可以写成 $y[n]=T\{x[n]\}$。一般系统可能非常复杂，但课程最关注 LTI 系统，也就是同时满足线性和时不变。
- 线性：$T\{ax_1[n]+bx_2[n]\}=aT\{x_1[n]\}+bT\{x_2[n]\}$。
- 时不变：输入延迟多少，输出也只延迟同样数量，系统规则不随 $n$ 改变。
LTI 系统之所以重要，是因为单位脉冲分解和线性叠加能推出卷积表示。若单位抽样响应为 $h[n]=T\{\delta[n]\}$，则任意输入输出满足：
这就是下一节卷积的直接来源。
第一讲作业几乎把系统性质判断的典型套路全覆盖了。判断时要按定义逐项检查，不要凭系统外观看。
| 性质 | 判定思路 | 常见结论 | 易错点 |
|---|---|---|---|
| 线性 | 检验叠加与齐次性 | $y[n]=x^2[n]$ 非线性 | 非线性不等于时变 |
| 时不变 | 输入延时后，输出是否等效延时 | $y[n]=x^2[n]$ 时不变 | 含 $n$ 的规则常时变 |
| 因果 | 输出是否只依赖当前和过去输入 | $y[n]=x[n+1]$ 非因果 | 提前项不是“右移一下”这么简单 |
| 稳定 | 有界输入是否产生有界输出 | LTI 稳定等价于 $\sum_n|h[n]|<\infty$ | 增长指数通常不稳定 |
例题 1：判断 $y[n]=x^2[n]$ 的线性与时不变
题目：系统 $T\{x[n]\}=x^2[n]$ 是否线性？是否时不变？
- 线性检查：令输入为 $ax_1[n]+bx_2[n]$，输出为 $(ax_1[n]+bx_2[n])^2$，展开后出现交叉项 $2abx_1[n]x_2[n]$。
- 与叠加结果比较：$aT\{x_1[n]\}+bT\{x_2[n]\}=ax_1^2[n]+bx_2^2[n]$，二者一般不相等。
- 时不变检查：若输入变为 $x[n-n_0]$，输出为 $x^2[n-n_0]$；原输出延迟 $n_0$ 也是 $y[n-n_0]=x^2[n-n_0]$。
答案：该系统非线性，但时不变。
例题 2：判断 LTI 系统 $h[n]=a^nu[n]$ 的因果与稳定
题目：设 LTI 系统单位抽样响应为 $h[n]=a^nu[n]$，判断因果性和稳定性。
- 因果性：$u[n]$ 使得 $h[n]=0$ 对所有 $n<0$ 成立，所以系统因果。
- 稳定性：LTI 稳定要求
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|h[n]|=\sum_{n=0}^{\infty}|a|^n<\infty.$$
- 几何级数条件：该级数收敛当且仅当 $|a|<1$。
答案：系统因果；当 $|a|<1$ 时稳定，当 $|a|\ge1$ 时不稳定。
离散复指数 $e^{j\omega_0 n}$ 周期要求存在正整数 $N$，使得
约去公共项，得到
因此必须有 $\omega_0N=2\pi m$，也就是
这就是离散时间正弦的周期性判据。若比值是有理数，最小周期由最简分数的分母决定；若是无理数，序列不会在整数索引上精确重复。
实验 1 看起来只是 MATLAB 画图，实质是在训练离散时间直觉：单位脉冲与单位阶跃负责支撑范围，指数与正弦负责增长、衰减与振荡，复指数负责相位旋转。图像直觉没有建立，后面的 Z 变换和频域分析都会显得抽象。
本节解决的是“对象是什么”和“系统怎样判断”。下一节 卷积与差分方程 会把 LTI 系统的输入输出关系写成卷积；再往后，Z 变换会把差分方程代数化，DTFT/DFT 会把系统行为解释为频率选择。
| 概念 | 一句话定义 | 后续用途 |
|---|---|---|
| $\delta[n]$ | 只在 $n=0$ 为 1 | 单位抽样响应、卷积 |
| $u[n]$ | 从 $n=0$ 开始为 1 | 因果序列、右边序列 |
| 移位 | $x[n-m]$ | 差分方程、Z 变换 |
| LTI | 线性且时不变 | 卷积表示 |
| 因果 | 不依赖未来输入 | 实时系统实现 |
| 稳定 | 有界输入产生有界输出 | 系统可用性 |
| 周期判据 | $\omega_0/2\pi\in\mathbb{Q}$ | DFT 与频谱分析 |
参考来源
- 本地课程材料：《数字信号处理教程（第五版）》第 1 章；第一讲课程讲义；实验 1《常见离散信号的 MATLAB 产生和图形显示》；第一讲作业与答案。
- MIT OpenCourseWare · Digital Signal Processing：用于补充离散时间系统基本概念。
- DSP First：用于参考离散信号图像直觉与教学组织。
- Think DSP：用于补充信号处理入门解释。