离散时间信号与系统

数字信号处理的对象不是连续波形，而是沿时间轴按固定间隔取样后得到的一串样本值：$x[n]=x_a(nT),\;n\in\mathbb{Z}$。这里 $T$ 是采样间隔，$n$ 只是整数索引。

1.1 模拟信号的数字化过程

模拟信号 $x_a(t)$ 变成数字信号需要三个步骤：采样→量化→编码。

采样是模拟信号数字化的第一步。数学上，对连续信号 $x_a(t)$ 以间隔 $T$ 取样，得到离散序列：

采样过程可以用冲激串乘法描述：$x_p(t)=x_a(t)\cdot\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-kT)$，冲激串在每隔 $T$ 秒的整数倍处留下一个样本。

以连续余弦信号 $x(t)=\cos(2\pi f_m t+\theta)$ 为例，采样后得到离散序列：

其中 $f_s=1/T$ 是采样频率。离散序列的周期性取决于比值 $f_m/f_s$：

• $f_m/f_s=1/2$ 时，$x[n]=\cos(\pi n+\theta)$，周期 $N=2$。
• $f_m/f_s=1/4$ 时，$x[n]=\cos\big(\frac{\pi}{2}n+\theta\big)$，周期 $N=4$。
• $f_m/f_s=1/(4\pi)$ 时，$x[n]=\cos\big(\frac{1}{2}n+\theta\big)$，无周期（因为 $1/(2\pi)$ 是无理数）。

例：连续余弦信号采样后得到 $x[n]=\cos(2\pi\frac{f_m}{f_s}n+\theta)$。只有当 $f_m/f_s$ 为有理数时，离散序列才具有周期性；若为无理数，则序列非周期。

量化是把连续的样本值映射到有限个离散电平。若量化器有 $L=2^B$ 个电平（$B$ 是位数），则量化误差最大为半个量化步长。量化是不可逆的有损操作，这是数字信号与离散信号的本质区别——离散信号的幅值仍为连续值，数字信号的幅值已被量化为有限离散值。

编码是把量化后的离散值写成二进制比特流，便于存储和传输。

模拟信号 $x_a(t)$ 经过信源编码变为数字信号的完整流程：采样→量化→编码。数字信号可通过信道传输后解码、D/A 转换恢复为模拟信号。

1.2 三种表示方式

同一序列通常有三种等价表达方式:

常见序列构成后续卷积、变换和系统分析的基础语言:

任意序列都可以分解为移位单位脉冲的加权和:$x[n]=\sum_k x[k]\delta[n-k]$。这是卷积的起点。

2.1 与连续信号的对照

2.2 倍乘与移位

倍乘:$(A\cdot x)[n]=A\cdot x[n]$,序列整体缩放。移位:$x[n-m]$ 右移 $m$ 位。倍乘+移位是构造任意有限长序列的两个基本动作:$x[n]=3\delta[n-2]+2R_4[n-5]$ 表示"$n=2$ 处高度 3 的脉冲"加上"$n=5..8$ 处高度 2 的方块"。

2.3 图形展示

3.1 逐点运算:加、减、乘

• 加法:$(x+y)[n]=x[n]+y[n]$。信号叠加或目标+噪声。
• 减法:$(x-y)[n]=x[n]-y[n]$。求误差或差分。
• 乘法:$(x\cdot y)[n]=x[n]\cdot y[n]$。对应样点相乘(调制/加窗),不是卷积。

3.2 索引操作

• 移位:$x[n-m]$ 右移 $m$ 位。
• 翻褶:$x[-n]$ 绕 $n=0$ 翻转,是卷积图解法的关键第一步。
• 抽取与插值:时间轴压缩和扩展。

3.3 累积运算

• 差分:$\nabla x[n]=x[n]-x[n-1]$,离散版变化率。
• 累加:$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{n}x[k]$,离散版积分。

左:翻褶;右上:抽取与插值;右下:差分。

卷积是两个序列之间的一种特殊运算,它把一个序列"翻转、滑动、逐点相乘再求和"得到第三个序列。定义:

直观上,卷积就是把 $h[m]$ 翻折成 $h[-m]$,再逐位右移得到 $h[n-m]$,在每个位置上与 $x[m]$ 对齐相乘后求和。

卷积和的定义。

4.1 图解法

图解法四步:翻褶($h[k]\to h[-k]$)→ 移位($h[-k]\to h[n-k]$)→ 相乘(找出重叠区域)→ 求和(重叠乘积之和)。手工做时最重要的是先找支撑区间的交集。

卷积和定义与四步计算法。

卷积图解中的翻褶、移位、相乘过程。

4.2 表格滑动法

两个有限长序列较短时,把一个序列翻转后在另一个上滑动,每滑一位就对齐项相乘求和。直观但长序列易漏项。

4.3 对位相乘相加法

把两个序列像竖式乘法一样排列:将其中一个序列反转,然后逐行右移一位,对齐位置的数相乘,最后把每一列的乘积加起来。例如 $x[n]=\{2,1,3\}$($n=0$ 起始)、$h[n]=\{1,2\}$:

          2   1   3
  ×           1   2
  ---------------
          4   2   6      ← 2 × (2,1,3)
      2   1   3          ← 1 × (2,1,3) 左移一位
  ---------------
      2   5   5   6

所以 $y[n]=x[n]*h[n]=\{2,5,5,6\}$。每一列就是对齐后相乘再相加,因此叫对位相乘相加法。

4.4 直接求和核对

4.5 长度规律

$L_y=L_x+L_h-1$。上例 $L_x=3,L_h=2$,$L_y=4$,与结果 $\{2,5,5,6\}$ 一致。

4.6 运算规则

4.7 常见卷积结果速查

例题区

例题 1：移位阶跃卷积 例题 2：指数与阶跃卷积 例题 3：有限长与右边指数

例题 1:移位阶跃序列的卷积

求 $y[n]=u[n-3]*u[n-4]$。

思路:$u[n-n_0]=u[n]*\delta[n-n_0]$。于是 $y[n]=(u[n]*u[n])*(\delta[n-3]*\delta[n-4])$。$u[n]*u[n]=(n+1)u[n]$,$\delta[n-3]*\delta[n-4]=\delta[n-7]$。所以 $y[n]=(n-6)u[n-7]$。

例 1:$u[n-3]*u[n-4]$。

例题 2:指数序列与阶跃序列的卷积

求 $y[n]=a^n u[n]*u[n]$($0<a<1$)。$y[n]=\sum_{k=0}^{n}a^k=\frac{1-a^{n+1}}{1-a}u[n]$。

例 2:$a^n u[n]*u[n]$。

例题 3:有限长指数与右边指数的卷积

已知 $h[n]=\alpha^n\;(0\le n\le N-1)$,$x[n]=\beta^{n-n_0}\;(n\ge n_0)$,求 $y[n]$。关键:重叠区间 $0\le k\le\min(N-1,n-n_0)$,分三段求解。

离散时间系统记为 $y[n]=T\{x[n]\}$,把输入序列映射为输出序列。不同性质的系统适用于不同的分析方法。

5.1 线性系统

5.2 时不变系统

5.3 LTI 系统

任意序列分解为移位脉冲加权和,这是卷积公式的起点。

单位抽样响应 $h[n]$:系统对 $\delta[n]$ 的输出。

卷积公式来自脉冲分解、线性叠加和移不变响应。

5.4 因果性

5.5 稳定性

LTI 稳定性的充要条件:单位抽样响应绝对可和。

5.6 判定速查

例题区

$y[n]=3x[n]$ 线性验证 $y[n]=x^2[n]$ 线性验证 $y[n]=2x[n]-x[n-1]$ 时不变 $y[n]=x[n]+n$ 时不变 $y[n]=nx[n]$ 时不变 例题 4：$x^2[n]$ 线性与时不变 例题 6：$h[n]=a^nu[n]$ 因果与稳定

验证 $y[n]=3x[n]$ 是否线性

齐次性:输入 $ax[n]$,输出 $3ax[n]=a\cdot3x[n]=ay[n]$ ✓。

叠加性:输入 $x_1[n]+x_2[n]$,输出 $3(x_1[n]+x_2[n])=3x_1[n]+3x_2[n]=y_1[n]+y_2[n]$ ✓。

结论:线性。

验证 $y[n]=x^2[n]$ 是否线性

齐次性:输入 $ax[n]$,输出 $(ax[n])^2=a^2x^2[n]$,而 $ay[n]=ax^2[n]$。$a^2\neq a$(除非 $a=0$ 或 $a=1$)。

叠加性:输入 $x_1[n]+x_2[n]$,输出 $(x_1[n]+x_2[n])^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2$,而 $y_1[n]+y_2[n]=x_1^2+x_2^2$。多了交叉项 $2x_1x_2$。

结论:非线性。

验证 $y[n]=2x[n]-x[n-1]$ 是否时不变

原系统:输入 $x[n]$,输出 $y[n]=2x[n]-x[n-1]$。

输入延迟 $n_0$ 后:$y'[n]=2x[n-n_0]-x[n-n_0-1]$。

原输出延迟 $n_0$:$y[n-n_0]=2x[n-n_0]-x[n-n_0-1]$。

$y'[n]=y[n-n_0]$ ✓。

结论:时不变。

验证 $y[n]=x[n]+n$ 是否时不变

原系统:输入 $x[n]$,输出 $y[n]=x[n]+n$。

输入延迟 $n_0$ 后:$y'[n]=x[n-n_0]+n$。

原输出延迟 $n_0$:$y[n-n_0]=x[n-n_0]+(n-n_0)$。

$y'[n]-y[n-n_0]=n-(n-n_0)=n_0\neq 0$。

结论:时变。原因是规则里显式含 $n$,延迟输入后 $n$ 本身不会延迟。

验证 $y[n]=nx[n]$ 是否时不变

原系统:输入 $x[n]$,输出 $y[n]=nx[n]$。

输入延迟 $n_0$ 后:$y'[n]=nx[n-n_0]$。

原输出延迟 $n_0$:$y[n-n_0]=(n-n_0)x[n-n_0]$。

$y'[n]=nx[n-n_0]\neq(n-n_0)x[n-n_0]=y[n-n_0]$。

结论:时变。系数 $n$ 随时间增长,延迟输入后系数不会跟着变。

例题 4:判断 $y[n]=x^2[n]$ 的线性与时不变

非线性(展开 $(ax_1+bx_2)^2$ 出现交叉项),但时不变($x[n-n_0]$ 代入后输出 $x^2[n-n_0]=y[n-n_0]$)。

例题 6：分析 LTI 系统 $h[n]=a^nu[n]$ 的因果性与稳定性

题目:设线性时不变系统的单位脉冲响应为 $h[n]=a^nu[n]$,式中 $a$ 是常数,分析该系统的因果性和稳定性。

第一步:因果性分析

对 LTI 系统,因果的充要条件是 $h[n]=0\;(n<0)$。

由于 $u[n]$ 在 $n<0$ 时为 0,所以 $h[n]=a^nu[n]=0\;(n<0)$。

结论:系统对所有 $a$ 都是因果的。

第二步:稳定性分析

对 LTI 系统,BIBO 稳定的充要条件是 $\sum_{n=-\infty}^{\infty}|h[n]|<\infty$。

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|h[n]|=\sum_{n=0}^{\infty}|a|^n$$

这是一个等比级数:

• 当 $|a|<1$ 时,$\sum_{n=0}^{\infty}|a|^n=\frac{1}{1-|a|}<\infty$,级数收敛,系统稳定。
• 当 $|a|\ge1$ 时,$|a|^n$ 随 $n$ 增长不衰减,级数发散,系统不稳定。

最终结论:系统对所有 $a$ 都是因果的;当 $|a|<1$ 时稳定,$|a|\ge1$ 时不稳定。

物理直觉:$a^n u[n]$ 是一个从 $n=0$ 开始的指数序列。$|a|<1$ 时它随时间衰减,能量有限,所以稳定;$|a|\ge1$ 时它随时间增长或等幅振荡,能量无限,所以不稳定。这个结论在后续 Z 变换中会以更简洁的形式出现:极点在单位圆内则稳定。

例 6 原题：设线性时不变系统的单位脉冲响应为 $h[n]=a^nu[n]$，式中 $a$ 是常数，分析该系统的因果稳定性。

6.1 D 延时单元

离散时间系统最基本的构件是单位延时单元（Delay），通常用方框 D 表示。它把输入信号延迟一个采样周期：

延时单元 D：$y_{out}[n]=y_{in}[n-1]$。在 Z 域中 $D=z^{-1}$。

输入 $y[n]$ 经过 D 后输出 $y[n-1]$——当前时刻的输入变成下一时刻的输出。所有离散系统的结构都可以用 D 延时单元、加法器和乘法器组合而成。方框图与信号流图的具体画法见下一篇 离散时间系统的模拟与基本原理。

6.2 差分方程：一阶反馈系统

把延时单元和反馈路径组合，就得到差分方程的物理实现。下面是一个一阶 LTI 系统：

一阶 LTI 系统框图：输入 $x[n]$ 与反馈信号 $-a\,y[n-1]$ 在加法器中相加，得到输出 $y[n]=x[n]-a\,y[n-1]$。

对应的差分方程：

输出由当前输入和过去输出递推决定。只要给定初始条件，就能一步一步算出所有后续值。

6.3 常系数线性差分方程

一般形式：$\sum_{k=0}^{N}d_k y[n-k]=\sum_{k=0}^{M}p_k x[n-k]$。当前输出由过去 $N$ 个输出和过去 $M$ 个输入递推决定。

常系数线性差分方程组织成递推关系。

6.4 FIR 系统

6.5 实验 2：差分方程与卷积的等价

MATLAB：filter(p,d,x) 从差分方程递推；conv(x,h) 从单位抽样响应卷积。两种方法对 FIR 系统等价；对 IIR 系统，$h[n]$ 无限长，只能截断观察。

实验 2 原题。

例题区

例题 7：差分方程递推求 $h[n]$

例题 7：差分方程递推求 $h[n]$

题目：已知线性因果系统的差分方程为 $y[n]-\frac{1}{2}y[n-1]=x[n]$，求单位脉冲响应 $h[n]$。

解：令输入 $x[n]=\delta[n]$，初始条件 $y[-1]=0$（零状态）。

• $n=0$：$y[0]-\frac{1}{2}y[-1]=\delta[0]=1$，得 $y[0]=1$。
• $n=1$：$y[1]-\frac{1}{2}y[0]=\delta[1]=0$，得 $y[1]=\frac{1}{2}y[0]=0.5$。
• $n=2$：$y[2]-\frac{1}{2}y[1]=\delta[2]=0$，得 $y[2]=\frac{1}{2}y[1]=0.25$。
• $n=3$：$y[3]-\frac{1}{2}y[2]=\delta[3]=0$，得 $y[3]=\frac{1}{2}y[2]=0.125$。

规律：$h[n]=(\frac{1}{2})^n u[n]$。

方法二：特征根法

差分方程 $y[n]-\frac{1}{2}y[n-1]=x[n]$ 的齐次方程为 $y[n]-\frac{1}{2}y[n-1]=0$。

特征方程：$\lambda-\frac{1}{2}=0$，特征根 $\lambda=\frac{1}{2}$。齐次解为 $y_h[n]=C\big(\frac{1}{2}\big)^n$。

令输入 $x[n]=\delta[n]$，$n=0$ 时：

$$h[0]-\frac{1}{2}h[-1]=\delta[0]=1,\quad h[-1]=0\Rightarrow h[0]=1$$

代入齐次解：$h[0]=C=1$，所以 $h[n]=\big(\frac{1}{2}\big)^n u[n]$。

方法总结：差分方程求 $h[n]$ 的两种方法：
①递推法：逐一代入找规律，适合手工验算；②特征根法：解特征方程得通解，由 $h[0]$ 定常数，更通用，高阶系统尤其有效。

例 3 原题：差分方程递推求解过程。

系统总响应可分解为两部分：零状态响应（初始状态为零，仅由输入引起）$y_{zs}[n]=x[n]*h[n]$；零输入响应（输入为零，仅由初始状态引起）满足齐次差分方程 $\sum d_k y_{zi}[n-k]=0$。总响应 $y[n]=y_{zi}[n]+y_{zs}[n]$。

例题区

离散复指数 $e^{j\omega_0 n}$ 周期要求 $\omega_0/(2\pi)\in\mathbb{Q}$。若为有理数,最小周期由最简分数分母决定;若为无理数,则非周期。

例题区

例题 9：正弦序列周期性 例题 10：复合正弦周期

例题 9：判断正弦序列的周期性

$x_1[n]=\sin(\pi n/5)$:$2\pi/\omega_0=10$,周期 $N=10$。

$x_2[n]=\sin(3n/5)$:$2\pi/\omega_0=10\pi/3$ 无理数,非周期(常见陷阱:分母含 $\pi$ 就非周期)。

$x_3[n]=\sin(3\pi n/7)$:$2\pi/\omega_0=14/3$,周期 $N=14$。

例 8:判断三个正弦序列的周期性。

图形演示:$x_1(n)$ 每 10 样点一个周期;$x_3(n)$ 每 14 样点一个周期。

例题 10：复合正弦的周期

$x[n]=2\sin(\pi n/16)+\cos(\pi n/8)$。$N_1=32$,$N_2=16$,$\operatorname{lcm}(32,16)=32$。周期 $N=32$。

例 9:复合正弦整体周期为各分量周期的最小公倍数。

时域链条已完整:差分方程 $\leftrightarrow$ 单位抽样响应 $h[n]$ $\leftrightarrow$ 卷积输出 $y[n]=x[n]*h[n]$。下一节 Z 变换 把差分方程变成代数式,DTFT/DFT 在频域分析信号。