线性方程组

例题 1：求齐次方程组的基础解系与通解

题目：求下列齐次线性方程组的基础解系和通解。

目标：掌握行最简形化简、确定自由变量、构造基础解系的标准流程。

1. 写出系数矩阵：$A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & -1 \\ 3 & 6 & -1 & -3 \\ 5 & 10 & 1 & -5\end{pmatrix}$。
2. 化为行最简形：$\xrightarrow{r_2-3r_1}\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & 0\end{pmatrix} \xrightarrow{r_3-r_2}\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \xrightarrow{-\frac{1}{4}r_2}\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \xrightarrow{r_1-r_2}\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$。
3. 确定主元与自由变量：主元在第 1、3 列，对应 $x_1,x_3$ 是约束变量；第 2、4 列非主元，$x_2,x_4$ 是自由变量。$r=2$，$n=4$，基础解系含 $4-2=2$ 个向量。
4. 写出约束方程：$\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_4 = 0 \\ x_3 = 0 \end{cases}$，即 $\begin{cases} x_1 = -2x_2 + x_4 \\ x_3 = 0 \end{cases}$。
5. 赋值自由变量构造基础解系：
   取 $(x_2, x_4) = (1, 0)$：$\eta_1 = (-2, 1, 0, 0)^T$。
   取 $(x_2, x_4) = (0, 1)$：$\eta_2 = (1, 0, 0, 1)^T$。
6. 验证：$A\eta_1 = 0$✓，$A\eta_2 = 0$✓，且 $\eta_1, \eta_2$ 明显线性无关。基础解系为 $\{\eta_1, \eta_2\}$。

答案：通解 $X = k_1\begin{pmatrix}-2 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + k_2\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix},\quad k_1,k_2 \in \mathbb{R}$。

验算：代入原方程组验证第一组：$1\cdot(-2)+2\cdot1+1\cdot0+(-1)\cdot0 = -2+2+0+0 = 0$ ✓。第二组：$1\cdot1+2\cdot0+1\cdot0+(-1)\cdot1 = 1+0+0-1=0$ ✓。两个解向量确实满足方程组。

例题 2：求非齐次方程组的通解

题目：求解线性方程组。

目标：掌握增广矩阵化简、判断是否有解、求特解 + 导出组通解的标准流程。

1. 写出增广矩阵：$(A\mid b) = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 1 & \mid & 3 \\ 1 & 2 & 2 & 1 & \mid & 2 \\ 2 & 4 & 5 & 2 & \mid & 5\end{pmatrix}$。
2. 化为行最简形：
   $\xrightarrow{r_2-r_1}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 1 & \mid & 3 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & \mid & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & \mid & -1\end{pmatrix} \xrightarrow{r_3-r_2}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 1 & \mid & 3 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & \mid & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mid & 0\end{pmatrix}$
   $\xrightarrow{-r_2}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 1 & \mid & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \mid & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mid & 0\end{pmatrix} \xrightarrow{r_1-3r_2}\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & 1 & \mid & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \mid & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mid & 0\end{pmatrix}$。
3. 判断有解：最后一行是 $[0\ 0\ 0\ 0 \mid 0]$，无矛盾。$r(A)=r(\bar{A})=2 < 4=n$，无穷多解。
4. 求特解：令自由变量 $x_2, x_4$ 全为零，代入约束方程 $\begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_4 = 0 \\ x_3 = 1 \end{cases}$，得 $\eta^* = (0, 0, 1, 0)^T$。
5. 求导出组的基础解系：忽略最后一列，导入方程组约束方程为 $\begin{cases} x_1 = -2x_2 - x_4 \\ x_3 = 0 \end{cases}$。
   取 $(x_2,x_4)=(1,0)$：$\eta_1 = (-2,1,0,0)^T$。
   取 $(x_2,x_4)=(0,1)$：$\eta_2 = (-1,0,0,1)^T$。
6. 写出通解：$X = \eta^* + k_1\eta_1 + k_2\eta_2$。

答案：通解 $X = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} + k_1\begin{pmatrix}-2 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + k_2\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix},\quad k_1,k_2 \in \mathbb{R}$。

几何理解：这个方程组的解集合是一个 $\mathbb{R}^4$ 中的二维平面（通过原点的齐次部分）平移后得到的二维仿射平面。特解 $\eta^*$ 确定了平面的位置，而基础解系 $\eta_1, \eta_2$ 给出了平面内的两个独立方向。

例题 3：含参数方程组的解情况讨论

题目：$\lambda$ 取何值时，方程组有唯一解？无穷多解？无解？

目标：熟练使用行列式与秩两种工具讨论含参方程组的解情况。

1. 方法一：系数行列式（方阵情形）。
   系数矩阵 $A = \begin{pmatrix}\lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda\end{pmatrix}$，计算 $\det(A) = \begin{vmatrix}\lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda\end{vmatrix}$。
   先第 2、3 行加到第 1 行：$\det(A) = \begin{vmatrix}\lambda+2 & \lambda+2 & \lambda+2 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda\end{vmatrix} = (\lambda+2)\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda\end{vmatrix}$。
   再化简：$\det(A) = (\lambda+2)\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda-1\end{vmatrix} = (\lambda+2)(\lambda-1)^2$。
2. 情况一：唯一解——$\det(A) \neq 0$，即 $\lambda \neq -2$ 且 $\lambda \neq 1$。
3. 情况二：$\lambda = 1$，矩阵退化为全 1 矩阵。
   $(A\mid b) = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & \mid & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \mid & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \mid & 1\end{pmatrix}$，$r(A)=1$，$r(\bar{A})=1$，有无穷多解。
4. 情况三：$\lambda = -2$。
   $(A\mid b) = \begin{pmatrix}-2 & 1 & 1 & \mid & 1 \\ 1 & -2 & 1 & \mid & 1 \\ 1 & 1 & -2 & \mid & 1\end{pmatrix} \xrightarrow{\text{消元}}\begin{pmatrix}1 & 1 & -2 & \mid & 1 \\ 0 & -3 & 3 & \mid & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mid & 3\end{pmatrix}$。
   出现矛盾行 $[0\ 0\ 0 \mid 3]$，$r(A)=2$，$r(\bar{A})=3$，无解。

答案：