Subgroups
第 5 章我们学会了用生成元和轨道来描述群的内部结构。本章进一步回答一个自然的问题：一个群里有没有更小的群？ 我们将学习如何在 Cayley 图和乘法表中"看见"子群，用陪集将整个群划分为不重叠的副本，最后由 Lagrange 定理给出子群阶的严格约束。
下一章（第 7 章）将利用子群和陪集的概念，研究直积、半直积和商群——这些操作都建立在本章的陪集划分思想之上。
前置知识回顾
- Cayley 图：用节点表示群元素、有向箭头表示生成元操作的图。去哪里补：group-theory-ch2。
- 乘法表：行标签为左操作数、列标签为右操作数的二元运算表。去哪里补：group-theory-ch4。
- 生成元与轨道：$\langle g \rangle$ 表示由 $g$ 生成的循环子群（轨道），$|g| = |\langle g \rangle|$。去哪里补：group-theory-ch5。
- 常见小群：$C_n$（$n$ 阶循环群）、$V_4$（Klein 四元群）、$S_3$（3 阶对称群）、$D_n$（$n$ 阶二面体群）。
在第 2 章中我们用 Cayley 图探索 Rubik 魔方等群时，注意到某些操作（如只转动一个面）会形成一个更小的、自包含的结构。这种"群中之群"的直觉需要一个精确的数学定义。
子群的用途远不止描述。子群告诉我们：
- 群的对称性层次：子群越多，群的结构越丰富。
- 群的可分解性：能否把大群拆成小群的组合？陪集是拆分的基本工具。
- 元素阶的上界：Lagrange 定理直接限制了每个元素可能的阶。
定义：子群（Subgroup）
设 $(G, \cdot)$ 是一个群，$H \subseteq G$。若 $H$ 在 $G$ 的运算下也构成群，则称 $H$ 是 $G$ 的子群，记作 $H < G$。
等价的判定条件（子群判据）：$H \neq \emptyset$，且对任意 $a, b \in H$，有 $ab^{-1} \in H$。
定义：Cayley 图的正则性（Regularity）
一个合法的 Cayley 图必须满足正则性：从每个节点出发，每种颜色的箭头恰好有一条出、恰好有一条入。这保证了每步操作是可逆且无歧义的。
6.1 乘法表与 Cayley 图的联系
乘法表和 Cayley 图是同一个群的两种表示方式，它们之间有直接的对应关系：
| 特征 | 乘法表 | Cayley 图 |
|---|---|---|
| 元素 | 行/列标签 | 节点 |
| 运算 | 单元格内容 | 有向箭头（按生成元着色） |
| 子群可见性 | 子群元素对应的行/列形成一个封闭的子表 | 子群节点形成一个"自包含"的子图，所有箭头不出界 |
| 正则性 | 每行每列都是元素的全排列 | 每个节点每种颜色的箭头恰好一进一出 |
6.2 Seeing Subgroups
子群在 Cayley 图中的表现非常直观。以 $S_3 = \{e, r, r^2, f, rf, r^2f\}$ 为例（其中 $r$ 是 3-轮换、$f$ 是翻转）：
- $\langle r \rangle = \{e, r, r^2\}$ 构成 3 阶循环子群 $C_3$。在 Cayley 图中，这三个节点形成一个三角形，红色箭头在三角形内闭合。
- $\langle f \rangle = \{e, f\}$ 构成 2 阶子群。蓝色箭头在 $\{e, f\}$ 之间来回。
下图展示了 $S_3$ 中几个重要子群在 Cayley 图中的位置：
graph LR
subgraph S3["S₃ 的 Cayley 图"]
e["e"]
r["r"]
r2["r²"]
f["f"]
rf["rf"]
r2f["r²f"]
end
e -->|r| r
r -->|r| r2
r2 -->|r| e
e -->|f| f
r -->|f| rf
r2 -->|f| r2f
f -->|f| e
rf -->|f| r
r2f -->|f| r2
style e fill:#4CAF50,stroke:#333,color:#fff
style r fill:#4CAF50,stroke:#333,color:#fff
style r2 fill:#4CAF50,stroke:#333,color:#fff
style f fill:#FF9800,stroke:#333,color:#fff
style rf fill:#2196F3,stroke:#333,color:#fff
style r2f fill:#9C27B0,stroke:#333,color:#fff
绿色节点 $\{e, r, r^2\}$ 构成子群 $\langle r \rangle \cong C_3$；每个单独的翻转节点与 $e$ 构成一个 2 阶子群。
6.3 Revealing Subgroups
有时子群不那么明显——图可能没有被"组织好"。揭示子群的方法是重新排列 Cayley 图：
- 选择一个生成元，将图重新布局为以该生成元箭头为主轴。
- 将子群节点聚集在一起，使得子群箭头形成封闭循环。
- 如果重新排列后，一组节点的所有同色箭头都在该组内闭合，那么这组节点构成子群。
定义：陪集（Coset）
设 $H < G$，$g \in G$。
- 左陪集：$gH = \{gh \mid h \in H\}$
- 右陪集：$Hg = \{hg \mid h \in H\}$
$g$ 称为陪集的代表元。$H$ 本身既是左陪集 $eH$，也是右陪集 $He$。
陪集的直觉
在 Cayley 图中，左陪集 $gH$ 可以理解为"从 $e$ 沿 $g$ 箭头到达的那个 $H$ 的副本"。子群 $H$ 的所有左陪集把整个群无重叠地划分成大小相同的块——每一块都是 $H$ 的一个副本。
下图展示了 $S_3$ 按 $\langle f \rangle = \{e, f\}$ 的左陪集和右陪集的划分：
graph TD
subgraph LeftCosets["左陪集划分 gH"]
direction LR
H0["H = {e, f}"]
H1["rH = {r, rf}"]
H2["r²H = {r², r²f}"]
end
subgraph RightCosets["右陪集划分 Hg"]
direction LR
R0["H = {e, f}"]
R1["Hr = {r, r²f}"]
R2["Hr² = {r², rf}"]
end
style H0 fill:#4CAF50,stroke:#333,color:#fff
style H1 fill:#2196F3,stroke:#333,color:#fff
style H2 fill:#FF9800,stroke:#333,color:#fff
style R0 fill:#4CAF50,stroke:#333,color:#fff
style R1 fill:#2196F3,stroke:#333,color:#fff
style R2 fill:#FF9800,stroke:#333,color:#fff
陪集的核心性质
Observation 6.3 — 每个元素都在某个陪集中
对任意 $g \in G$，$g \in gH$（因为 $g = ge$ 且 $e \in H$）。
Observation 6.5 — 陪集由其中任一元素确定
若 $k \in gH$，则 $kH = gH$。也就是说，同一陪集的任何元素都可以作为代表元。
Theorem 6.7 — 陪集划分群
若 $H < G$，则 $G$ 的每个元素属于恰好一个 $H$ 的左陪集。
证明思路：设 $g$ 同时属于 $aH$ 和 $bH$。由 Observation 6.5，$gH = aH$ 且 $gH = bH$，故 $aH = bH$。这说明两个看似不同的陪集其实是同一个。
Theorem 6.8 — Lagrange 定理
若 $H < G$ 且 $G$ 是有限群，则 $|H|$ 整除 $|G|$。
证明：由 Theorem 6.7，$G$ 被划分为 $n$ 个互不重叠的 $H$ 的左陪集，每个陪集包含 $|H|$ 个元素。因此：
其中 $n$ 就是 $H$ 在 $G$ 中的指数。
定义：指数（Index）
若 $H < G$，则 $H$ 在 $G$ 中的指数记为 $[G : H]$，等于 $H$ 的左陪集个数（包括 $H$ 自身）：
下图直观展示了 Lagrange 定理的含义：整个群 $G$ 被陪集切分成大小相同的块。
graph TD
subgraph G["群 G，|G| = n · |H|"]
direction LR
H0["H
(|H| 个元素)"]
g1H["g₁H
(|H| 个元素)"]
g2H["g₂H
(|H| 个元素)"]
dots["..."]
gmH["gₘ₋₁H
(|H| 个元素)"]
end
Eq["|G| = [G:H] × |H|
指数 = 陪集数 = |G|/|H|"]
H0 --> Eq
g1H --> Eq
g2H --> Eq
gmH --> Eq
style H0 fill:#4CAF50,stroke:#333,color:#fff
style g1H fill:#2196F3,stroke:#333,color:#fff
style g2H fill:#FF9800,stroke:#333,color:#fff
style gmH fill:#9C27B0,stroke:#333,color:#fff
style Eq fill:#E8F5E9,stroke:#4CAF50,color:#333
Lagrange 定理的直接推论
| 推论 | 表述 | 直觉 |
|---|---|---|
| 元素阶整除群阶 | $|g|$ 整除 $|G|$（对任意 $g \in G$） | $\langle g \rangle$ 是子群，其阶 $|g|$ 必须整除 $|G|$ |
| 素数阶群无真子群 | 若 $|G| = p$（素数），则 $G$ 只有两个子群：$\{e\}$ 和 $G$ | 素数只有 1 和自身两个因子 |
| 素数阶群必循环 | 素数阶群同构于 $C_p$ | 任取 $g \neq e$，$|g|$ 整除 $p$，故 $|g| = p$ |
| 子群阶上界 | 真子群 $H$ 满足 $|H| \leq |G|/2$ | 大于 $|G|/2$ 的数不能整除 $|G|$ |
例题 1：求 $S_3$ 的所有子群及其陪集
题目：列出 $S_3 = \{e, r, r^2, f, rf, r^2f\}$ 的所有子群，对每个非平凡子群写出全部左陪集和右陪集，并计算指数。
解答：
- 平凡子群：$\{e\}$（阶 1）和 $S_3$ 本身（阶 6）。
- $\langle r \rangle = \{e, r, r^2\}$，阶 3。
- 左陪集：$\langle r \rangle = \{e, r, r^2\}$，$f\langle r \rangle = \{f, rf, r^2f\}$。共 2 个。
- 右陪集：$\langle r \rangle = \{e, r, r^2\}$，$\langle r \rangle f = \{f, rf, r^2f\}$。共 2 个。
- 左右陪集相同 → $\langle r \rangle$ 是正规子群。指数 $[S_3 : \langle r \rangle] = 2$。
- $\langle f \rangle = \{e, f\}$，阶 2。
- 左陪集：$\{e,f\}$，$r\{e,f\} = \{r, rf\}$，$r^2\{e,f\} = \{r^2, r^2f\}$。共 3 个。
- 右陪集：$\{e,f\}$，$\{e,f\}r = \{r, r^2f\}$，$\{e,f\}r^2 = \{r^2, rf\}$。共 3 个。
- $r\{e,f\} \neq \{e,f\}r$ → 不是正规子群。指数 $[S_3 : \langle f \rangle] = 3$。
- $\langle rf \rangle = \{e, rf\}$，阶 2。指数 3。
- $\langle r^2f \rangle = \{e, r^2f\}$，阶 2。指数 3。
验证 Lagrange 定理：$|S_3| = 6$。子群阶分别为 1、2、2、2、3、6，全部整除 6。✓
例题 2：应用 Lagrange 定理判断子群与元素阶
题目：已知 $G$ 是一个 15 阶群，$a \in G$ 且 $a \neq e$。回答以下问题。
(a) $a$ 可能的阶有哪些？
(b) $G$ 是否可能有 6 阶子群？
(c) $G$ 是否可能有 10 阶元素？
解答：
- (a) $|a|$ 必须整除 $|G| = 15$。$15 = 3 \times 5$，所以 $|a| \in \{1, 3, 5, 15\}$。因为 $a \neq e$，排除 $|a| = 1$。所以 $|a| \in \{3, 5, 15\}$。
- (b) 6 不整除 15（$15/6 = 2.5$，有余数），所以由 Lagrange 定理，$G$ 不可能有 6 阶子群。
- (c) 若 $|a| = 10$，则 $\langle a \rangle$ 是 10 阶子群。但 10 不整除 15，矛盾。所以 $G$ 不可能有 10 阶元素。
Hasse 图
一个群的所有子群可以排列成Hasse 图（子群格），规则如下：
- 最上面放 $G$ 本身，最下面放 $\{e\}$。
- 子群按大小从上到下排列。
- 竖线连接包含关系的子群对。
以 $S_3$ 为例，其 Hasse 图如下：
| 层 | 子群 | 阶 | 指数 |
|---|---|---|---|
| 顶层 | $S_3$ | 6 | 1 |
| 中间层 | $\langle r \rangle$ | 3 | 2 |
| 中间层 | $\langle f \rangle$, $\langle rf \rangle$, $\langle r^2f \rangle$ | 2 | 3 |
| 底层 | $\{e\}$ | 1 | 6 |
练习要点
本章练习分为三个层次：
- 基础（6.6.1）：识别 Cayley 图的正则性、判断高亮节点是否构成子群。
- 理解（6.6.2）：列出给定群的所有子群、计算陪集和指数、应用 Lagrange 定理排除不可能的子群。
- Hasse 图（6.6.3）：绘制子群格、标注指数——这是第 10 章的基础。
做题策略
寻找子群时，先用 Lagrange 定理列出所有可能的子群阶（$|G|$ 的因子），再按阶逐一检查。对于循环群 $C_n$，阶为 $d$（$d | n$）的子群恰好是 $\langle n/d \rangle$。
后续用途 / 连接
- 第 7 章：直积与商群。子群的陪集划分是商群 $G/H$ 的基础。当 $H$ 是正规子群（$gH = Hg$）时，陪集本身构成一个新的群。
- 第 9 章：Sylow 定理。Lagrange 定理的"逆"虽然一般不成立，但 Sylow 定理给出了部分逆命题：对于 $|G|$ 的素数幂因子 $p^k$，$G$ 一定有阶为 $p^k$ 的子群。
- 第 10 章：群作用与轨道。Hasse 图将帮助我们理解子群格的整体结构。
复习速查
- 子群定义：$H \subseteq G$ 且 $H$ 在 $G$ 的运算下封闭、有逆、有单位元。
- Cayley 图中看子群：子群节点形成一个"箭头不出界"的子图。
- 陪集：$gH = \{gh \mid h \in H\}$。陪集无重叠地划分整个群。
- Lagrange 定理：$|H|$ 整除 $|G|$。等价地 $|G| = [G:H] \cdot |H|$。
- 元素阶：$|g|$ 整除 $|G|$（因为 $\langle g \rangle < G$）。
- 素数阶群：只有 $\{e\}$ 和 $G$ 两个子群，且 $G \cong C_p$。
- Lagrange 逆不成立：$|G|$ 的因子不一定对应子群（如 $A_4$ 无 6 阶子群），但循环群中成立。
参考来源
- Carter, N. Visual Group Theory, Chapter 6: Subgroups. MAA, 2009.
- Fraleigh, J. A First Course in Abstract Algebra, 7th ed., Section 4.4–4.5 (Cosets, Lagrange's Theorem). Pearson, 2003.
- Dummit, D. & Foote, R. Abstract Algebra, 3rd ed., Section 3.2 (Cosets and Lagrange's Theorem). Wiley, 2004.