离散时间傅里叶变换

例题 1：求 $x[n]=a^n u[n]$ 的 DTFT

题目：设 $x[n]=a^n u[n]$，其中 $|a|<1$。求它的 DTFT，并说明收敛条件。

目标：掌握右边指数序列的几何级数求和方法，并理解单位圆与 ROC 的关系。

1. 写出定义：
   $$X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a^n u[n]e^{-j\omega n}=\sum_{n=0}^{\infty}(ae^{-j\omega})^n.$$
2. 使用几何级数：当 $|ae^{-j\omega}|<1$ 时，级数收敛。由于 $|e^{-j\omega}|=1$，条件就是 $|a|<1$。
3. 得到结果：
   $$X(e^{j\omega})=\frac{1}{1-ae^{-j\omega}},\quad |a|<1.$$
4. 联系 Z 变换：$X(z)=\frac{1}{1-az^{-1}}$，ROC 为 $|z|>|a|$。单位圆 $|z|=1$ 在 ROC 中，所以 DTFT 存在。

答案：$X(e^{j\omega})=\frac{1}{1-ae^{-j\omega}}$。

例题 2：求长度为 $M$ 的矩形窗 DTFT

题目：设

求 $X(e^{j\omega})$，并解释频谱形状。

目标：理解有限长截断为什么会产生主瓣和旁瓣，这也是后面 DFT 频谱泄漏的基础。

1. 代入定义：
   $$X(e^{j\omega})=\sum_{n=0}^{M-1}e^{-j\omega n}.$$
2. 按有限几何级数求和：
   $$X(e^{j\omega})=\frac{1-e^{-j\omega M}}{1-e^{-j\omega}},\quad \omega\ne 2k\pi.$$
3. 整理成相位因子乘幅度核：
   $$X(e^{j\omega})=e^{-j\omega(M-1)/2}\frac{\sin(M\omega/2)}{\sin(\omega/2)}.$$
4. 解释形状：前面的 $e^{-j\omega(M-1)/2}$ 只改变相位，幅度由 $\left|\frac{\sin(M\omega/2)}{\sin(\omega/2)}\right|$ 决定。它有一个主瓣和多个旁瓣，长度 $M$ 越大，主瓣越窄。

答案：$X(e^{j\omega})=e^{-j\omega(M-1)/2}\frac{\sin(M\omega/2)}{\sin(\omega/2)}$，在 $\omega=0$ 处按极限取值为 $M$。

例题 3：由差分方程求频率响应

题目：系统满足

求系统频率响应 $H(e^{j\omega})$，并判断它对低频还是高频更敏感。

目标：把差分方程、Z 变换和 DTFT 频率响应联系起来。

1. 对两边做 DTFT：利用时移性质，$y[n-1]\leftrightarrow e^{-j\omega}Y(e^{j\omega})$。
2. 写成代数式：
   $$Y(e^{j\omega})-ae^{-j\omega}Y(e^{j\omega})=X(e^{j\omega}).$$
3. 求传递函数：
   $$H(e^{j\omega})=\frac{Y(e^{j\omega})}{X(e^{j\omega})}=\frac{1}{1-ae^{-j\omega}}.$$
4. 读幅频响应：若 $0<a<1$，在 $\omega=0$ 时分母 $|1-a|$ 最小，幅度最大；在 $\omega=\pi$ 时分母 $|1+a|$ 较大，幅度较小，因此它表现为低通倾向。

答案：$H(e^{j\omega})=\frac{1}{1-ae^{-j\omega}}$。当 $0<a<1$ 时，该系统更容易通过低频。

例题 4：Parseval 定理与时移-频移联合性质

题目：已知序列 $x[n]$ 的 DTFT 为 $X(e^{j\omega})$，且满足

1. 求 $\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2$。
2. 设 $y[n]=x[n-2]\,e^{j\pi n/4}$，用 $X(e^{j\omega})$ 表示 $Y(e^{j\omega})$。

目标：综合运用 Parseval 定理、时移性质和频移性质，理解"能量守恒"与"调制+延迟"在频域的叠加效果。

(a) 解：

1. 回忆 Parseval 定理：
   $$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left|X(e^{j\omega})\right|^2 d\omega.$$

   该定理表明时域总能量等于频域总能量（归一化后）。

2. 直接代入已知条件：题目已给出右边积分值为 5，因此
   $$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2=5.$$

答案 (a)：$\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2=5$。

(b) 解：

1. 分解操作顺序：$y[n]$ 由两步构成——先时移再频移（调制）。注意 $e^{j\pi n/4}$ 乘在 $x[n-2]$ 上，而不是乘在 $x[n]$ 上，所以应先处理时移，再处理频移。
2. 第一步·时移：令 $w[n]=x[n-2]$。由时移性质：
   $$W(e^{j\omega})=e^{-j2\omega}X(e^{j\omega}).$$
3. 第二步·频移（调制）：$y[n]=w[n]\,e^{j\pi n/4}$。由频移性质，乘以 $e^{j\omega_0 n}$ 对应频谱搬移 $\omega_0$：
   $$Y(e^{j\omega})=W\!\left(e^{j(\omega-\pi/4)}\right).$$
4. 合并两步：将 $W$ 的表达式代入：
   $$Y(e^{j\omega})=e^{-j2(\omega-\pi/4)}\,X\!\left(e^{j(\omega-\pi/4)}\right)=e^{-j2\omega+j\pi/2}\,X\!\left(e^{j(\omega-\pi/4)}\right).$$

   其中 $e^{j\pi/2}=j$，也可保留指数形式。

答案 (b)：$Y(e^{j\omega})=e^{-j2(\omega-\pi/4)}\,X\!\left(e^{j(\omega-\pi/4)}\right)$。

例题 5：双边指数序列的 DTFT

题目：设 $x[n]=a^{|n|}$，其中 $|a|<1$。求 $X(e^{j\omega})$。

目标：掌握双边序列的拆分求和技巧，理解偶对称序列的 DTFT 为实函数。

1. 拆分双边为两部分：
   $$X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a^{|n|}e^{-j\omega n} =\sum_{n=-\infty}^{-1}a^{-n}e^{-j\omega n}+\sum_{n=0}^{\infty}a^n e^{-j\omega n}.$$
2. 第一部分（$n<0$）：令 $m=-n$，则
   $$\sum_{m=1}^{\infty}a^m e^{j\omega m}=\frac{ae^{j\omega}}{1-ae^{j\omega}}.$$
3. 第二部分（$n\ge0$）：
   $$\sum_{n=0}^{\infty}(ae^{-j\omega})^n=\frac{1}{1-ae^{-j\omega}}.$$
4. 合并并通分：
   $$X(e^{j\omega})=\frac{ae^{j\omega}}{1-ae^{j\omega}}+\frac{1}{1-ae^{-j\omega}} =\frac{1-a^2}{1-2a\cos\omega+a^2}.$$

答案：$X(e^{j\omega})=\dfrac{1-a^2}{1-2a\cos\omega+a^2}$，为实函数（因为 $x[n]$ 是偶对称的）。

例题 6：共轭对称性

题目：已知实序列 $x[n]=e^{-n}u[n]$ 的 DTFT 为 $X(e^{j\omega})=\dfrac{1}{1-e^{-1}e^{-j\omega}}$。求其幅度谱和相位谱的对称性质。

目标：理解实序列 DTFT 的共轭对称性：$X(e^{j\omega})=X^*(e^{-j\omega})$。

1. 共轭对称性质：对实序列 $x[n]$，有 $X(e^{j\omega})=X^*(e^{-j\omega})$。这意味着：
   • 幅度谱是偶函数：$|X(e^{j\omega})|=|X(e^{-j\omega})|$。
   • 相位谱是奇函数：$\angle X(e^{j\omega})=-\angle X(e^{-j\omega})$。
2. 幅度谱：
   $$|X(e^{j\omega})|=\frac{1}{\sqrt{1-2e^{-1}\cos\omega+e^{-2}}}$$

   它是偶函数，$\omega$ 和 $-\omega$ 处幅度相同。

3. 相位谱：
   $$\angle X(e^{j\omega})=\arctan\left(\frac{e^{-1}\sin\omega}{1-e^{-1}\cos\omega}\right)$$

   它是奇函数，$\angle X(e^{-j\omega})=-\angle X(e^{j\omega})$。

答案：幅度谱偶对称，相位谱奇对称。做题时只需计算 $\omega\ge0$ 的部分即可。

例题 7：时间反转与共轭性质的综合应用

题目：已知 $x[n]\leftrightarrow X(e^{j\omega})$，求下列序列的 DTFT：

1. $x[-n]$（时间反转）
2. $x^*[n]$（共轭）
3. $x^*[-n]$（共轭反转）

目标：掌握 DTFT 的三个基本对称性质，理解它们在实序列和复序列中的不同表现。

(a) 时间反转：

由定义，

令 $m=-n$，则

结论：$x[-n]\leftrightarrow X(e^{-j\omega})$。

(b) 共轭：

结论：$x^*[n]\leftrightarrow X^*(e^{-j\omega})$。

(c) 共轭反转：

结合 (a) 和 (b)：

结论：共轭反转对应频域的共轭（频率不变）。

例 7 原题：已知 $x[n]\leftrightarrow X(e^{j\omega})$，求 $x[-n]$、$x^*[n]$、$x^*[-n]$ 的傅里叶变换。