复数基础

设 $z_1 = a_1 + b_1 i$，$z_2 = a_2 + b_2 i$，则：

注意：乘法展开时，务必记住 $i^2 = -1$ 这一规则。

例题：复数乘法与除法

计算：$(2+3i)(1-i)$ 和 $\displaystyle\frac{2+3i}{1-i}$。

乘法：

$(2+3i)(1-i)=2+3i-2i-3i^2=2+i+3=5+i$

除法：分子分母同乘分母的共轭 $1+i$：

设 $z = a + bi$，则共轭 $\overline{z} = a - bi$。共轭和模长有以下重要恒等式：

例题：用共轭求模长

计算 $|3+4i|$。

方法一：直接用定义 $|z| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25}=5$。

方法二：用 $z\overline{z}=|z|^2$：$(3+4i)(3-4i)=9+16=25$，所以 $|z|=5$。

复数 $z=a+bi$ 也可以用模长和辐角表示：

其中 $r=|z|$，$\theta=\arg(z)=\arctan\frac{b}{a}$。

欧拉公式：最美丽的数学恒等式

欧拉公式建立了指数函数与三角函数的深刻联系：

当 $\theta=\pi$ 时，得到著名的欧拉恒等式：

这个式子把数学中最重要的五个常数——$e$、$i$、$\pi$、$1$、$0$——用两个运算（加法和指数）全部串联在一起。

极坐标形式的乘法与除法

用欧拉公式，复数的乘除变得极其简洁：

几何直觉：乘法 = 模长相乘、辐角相加；除法 = 模长相除、辐角相减。

例题：极坐标乘法

计算 $z_1=2e^{i\pi/3}$，$z_2=3e^{i\pi/6}$ 的乘积。

$z_1z_2 = 2\times3\,e^{i(\pi/3+\pi/6)} = 6e^{i\pi/2}=6i$

验证：用代数形式 $z_1=1+\sqrt{3}i$，$z_2=\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac32i$，乘积确实是 $6i$。

方程 $z^n=1$ 的 $n$ 个解称为$n$ 次单位根，它们均匀分布在单位圆上：

其中 $\omega_0=1$ 称为主单位根。

三角恒等式（从复数导出）

利用 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ 和 $e^{i\phi}=\cos\phi+i\sin\phi$，可以推导出所有三角恒等式：

$e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)} \Rightarrow \cos(\theta+\phi)+i\sin(\theta+\phi)=(\cos\theta+i\sin\theta)(\cos\phi+i\sin\phi)$

比较实部、虚部，得到：

de Moivre 公式

这意味着 $z^n$ 在极坐标下就是"辐角扩大 $n$ 倍"。

常用不等式

例题：de Moivre 公式应用

用 de Moivre 公式求 $\cos 3\theta$ 用 $\cos\theta$ 表示。

由 $e^{i3\theta}=(e^{i\theta})^3$，即 $(\cos\theta+i\sin\theta)^3=\cos 3\theta+i\sin 3\theta$。

展开左边：

$\cos^3\theta+3\cos^2\theta(i\sin\theta)+3\cos\theta(i\sin\theta)^2+(i\sin\theta)^3$

$=\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta+i(3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta)$

比较实部，并利用 $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$：