多元函数、偏导数与全微分

2026/05/22 16:41:51

Part 0 · 学习目标

一元导数只有一个方向，多元导数有无数个方向

一元函数 $$y=f(x)$$ 的输入只能沿一条数轴变化，所以导数只有一个方向。多元函数 $$z=f(x,y)$$ 的输入可以在平面里向任意方向移动，所以我们需要区分：沿 $$x$$ 轴变是多少，沿 $$y$$ 轴变是多少，沿任意方向变又是多少。

MIT 18.02SC 在偏导数单元里强调，多元导数仍然测量变化率，仍然用于近似公式，也仍然用于极值问题；只是组织工具变成了切平面近似和梯度向量。本节就围绕这两件事展开。

前置知识回顾

一元导数：差商极限、切线斜率、线性近似。去哪里补：导数与微分。
平面向量：方向、点积和单位向量会用于方向导数。
多元积分与雅可比：变量替换需要雅可比矩阵和行列式。去哪里补：多元微积分。
向量分析：梯度、散度、通量都是偏导数组合出来的对象。去哪里补：向量分析：通量、散度与高斯定理。

Part 1 · 多元函数

输入从数轴变成平面或空间

二元函数写作

$$z=f(x,y)$$

它把平面上的点 $$(x,y)$$ 映射到一个数 $$z$$ 。几何上可以把它看作三维空间中的曲面。除了曲面图像，常用的另一种表示是等高线：

$$f(x,y)=c$$

等高线把函数值相同的点连起来，就像地图上的海拔线。理解等高线有助于理解梯度：梯度指向函数值增长最快的方向，并且垂直于等高线。

例题 1：看懂等高线

题目：设 $$f(x,y)=x^2+y^2$$ ，写出等高线并解释形状。

步骤：令 $$f(x,y)=c$$ ，得到

$$x^2+y^2=c$$

当 $$c>0$$ 时，这是以原点为圆心、半径 $\sqrt c$ 的圆。

答案：等高线是一族同心圆。离原点越远，函数值越大。

Part 2 · 偏导数

固定其他变量，只看一个方向的变化率

偏导数的定义是：求某个变量方向的变化率时，把其他变量暂时当常数。对 $$z=f(x,y)$$ ，有

f_x(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}

f_y(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}

LibreTexts 把偏导数解释为与坐标轴平行的切线斜率： $$f_x$$ 是沿 $$x$$ 方向切过去的斜率， $$f_y$$ 是沿 $$y$$ 方向切过去的斜率。

例题 2：计算偏导数

题目：求 $f(x,y)=x^2y+\sin y$ 的 $$f_x$$ 和 $$f_y$$ 。

步骤：对 $$x$$ 求偏导时，把 $$y$$ 当常数：

$$f_x=2xy$$

对 $$y$$ 求偏导时，把 $$x$$ 当常数：

f_y=x^2+\cos y

答案： $$f_x=2xy$$ ， $f_y=x^2+\cos y$ 。

易错点：偏导不是把其他变量删掉，而是把其他变量当常数保留。

Part 3 · 全微分与切平面

用一个平面近似曲面

如果 $$f$$ 在 $$(x_0,y_0)$$ 附近可微，则小变化满足

$$dz=f_x(x_0,y_0)dx+f_y(x_0,y_0)dy$$

对应的切平面近似为

z\approx f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)

这就是一元线性近似 $$dy=f'(x_0)dx$$ 的多元版本。切线变成切平面，单个斜率变成两个方向的偏导数。

例题 3：切平面近似

题目：求 $$f(x,y)=x^2+y^2$$ 在 $$(1,2)$$ 的切平面近似。

步骤：先算函数值和偏导数：

f(1,2)=5,\qquad f_x=2x,\qquad f_y=2y

所以 $$f_x(1,2)=2$$ ， $$f_y(1,2)=4$$ 。切平面为

z\approx 5+2(x-1)+4(y-2)

答案： $$z=5+2(x-1)+4(y-2)$$ 。

Part 4 · 梯度与方向导数

把所有方向的变化率装进一个向量

梯度定义为

\nabla f=(f_x,f_y)

若 $\mathbf u$ 是单位方向向量，则沿 $\mathbf u$ 的方向导数为

D_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot\mathbf u

点积公式说明：方向导数等于梯度在该方向上的投影。由于点积在同方向时最大，梯度方向就是函数增长最快的方向；最大增长率是 $\|\nabla f\|$ 。

例题 4：方向导数

题目：求 $$f(x,y)=x^2+y^2$$ 在 $$(1,2)$$ 沿单位向量 $\mathbf u=(3/5,4/5)$ 的方向导数。

步骤：

\nabla f(1,2)=(2,4)

所以

D_{\mathbf u}f=(2,4)\cdot\left(\frac35,\frac45\right)=\frac65+\frac{16}{5}=\frac{22}{5}

答案： $$22/5$$ 。

Part 5 · 多元链式法则与雅可比矩阵

变量之间有依赖关系时，变化沿路径传播

若 $$z=f(x,y)$$ ，而 $$x=x(t)$$ 、 $$y=y(t)$$ ，则

\frac{dz}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}

这就是多元链式法则：总变化率等于每条路径贡献的加和。更一般地，对向量函数

\mathbf F(x_1,\dots,x_n)=(f_1, \dots,f_m)

所有一阶偏导数组成雅可比矩阵：

J=\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}

雅可比矩阵是多元函数的局部线性化；当 $$m=n$$ 时， $|\det J|$ 描述局部面积或体积缩放，这正是变量替换公式的底层原因。

例题 5：链式法则

题目：设 $$z=x^2+y^2$$ ， $$x=t$$ ， $$y=t^2$$ ，求 $$dz/dt$$ 。

步骤：

\frac{\partial z}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=2y

且 $$dx/dt=1$$ ， $$dy/dt=2t$$ 。代入：

\frac{dz}{dt}=2x\cdot1+2y\cdot2t

再代入 $$x=t,y=t^2$$ ：

\frac{dz}{dt}=2t+4t^3

答案： $$2t+4t^3$$ 。

Part 6 · 后续连接

偏导数是多元分析的底层积木

去多元微积分：继续看雅可比行列式和变量替换。
去向量分析：梯度、散度、通量都由偏导数组合而来。
去微分方程：偏导数组成 PDE，如热方程、波动方程和拉普拉斯方程。
去积分与累积：切平面近似和雅可比缩放会在多元积分中反复出现。

复习速查

偏导数：固定其他变量，只看一个坐标方向的变化率。
全微分： $$dz=f_xdx+f_ydy$$ ，表示曲面的局部线性近似。
切平面： $z\approx f(x_0,y_0)+f_x(x-x_0)+f_y(y-y_0)$ 。
梯度： $\nabla f=(f_x,f_y)$ ，方向是增长最快方向。
方向导数： $D_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot\mathbf u$ 。
雅可比矩阵：多元映射的一阶线性近似；行列式描述局部面积/体积缩放。

参考来源

本地笔记：/Users/zhengxinyu/org/roam/note/高等数学.org，以及博客旧页多元微积分。
MIT OCW 18.02SC · Partial Derivatives：用于补充偏导数、切平面近似、梯度和优化的课程结构。
LibreTexts · Functions of Multiple Variables and Partial Derivatives：用于核对多元函数、偏导数、全微分、链式法则和方向导数的组织。