留数定理｜高等数学笔记

2026/05/22 15:55:35·2026/05/27 10:08:34

数学高等数学·12 min read

高等数学复变函数留数定理洛朗级数课程笔记

Part 0 · 学习目标

留数定理在高数和信号处理之间的位置

高等数学中的积分通常沿实轴进行，例如定积分、重积分、曲线积分。复变函数把积分路径放到复平面里，允许我们沿闭合曲线积分。留数定理回答的问题是：一个函数沿闭合曲线绕一圈的积分，为什么可以只由曲线内部几个奇点决定？

学完这一节，你应该能做四件事：

判断什么是孤立奇点、什么是留数。
理解留数为什么就是洛朗展开中 $(z-z_0)^{-1}$ 项的系数。
用简单极点公式、高阶极点公式和洛朗展开计算留数。
看懂 Z 变换反变换中的留数法为什么是在抽取幂级数系数。

前置知识回顾

如果下面概念不熟，先回看高数笔记对应章节；本节会默认使用它们。

复数与复平面：把 $$z=x+jy$$ 看成平面点，闭合曲线就是复平面中的回路。去哪里补：高等数学.org 中“复变函数”相关章节，或 MIT 18.04 Topic 1。
幂级数 / 泰勒级数：解析函数可以在点附近展开成幂级数。去哪里补：高等数学.org 的“级数 → 幂级数 / 泰勒级数”。
曲线积分：沿路径累加函数值。复积分也是沿曲线积分，只是被积函数和路径都在复平面中。
洛朗级数：允许出现负幂，是理解孤立奇点附近函数行为的核心工具。

Part 1 · 背景问题

为什么闭合曲线积分会和奇点有关

先看一个最基本的闭合曲线积分。令 $$C$$ 是以原点为中心、半径 $$r$$ 的逆时针圆周：

z=re^{j\theta},\qquad 0\le \theta\le 2\pi

则

dz=jre^{j\theta}d\theta

计算

\oint_C \frac{1}{z}\,dz =\int_0^{2\pi}\frac{1}{re^{j\theta}}jre^{j\theta}d\theta =\int_0^{2\pi}j\,d\theta =2\pi j

这个结果很特别：半径 $$r$$ 消掉了。只要曲线绕原点一圈，积分就是 $2\pi j$ 。这说明 $$1/z$$ 在原点的奇点会留下一个“绕行贡献”。

核心直觉：解析部分绕一圈会互相抵消；真正无法抵消的，是奇点附近像

$1/(z-z_0)$

这样的环绕项。留数定理就是把这种环绕贡献系统化。

Part 2 · 概念定义

留数是洛朗展开里唯一会贡献闭合积分的系数

如果函数 $$f(z)$$ 在 $$z_0$$ 附近解析，但在 $$z_0$$ 本身可能有问题，则它在环形邻域内可以写成洛朗级数：

f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n

其中负幂部分描述奇点的强度。留数定义为 $(z-z_0)^{-1}$ 项的系数：

\operatorname*{Res}_{z=z_0} f(z)=a_{-1}

为什么偏偏是 $a_{-1}$ ？因为对小圆 $$C$$ 积分时：

\oint_C (z-z_0)^n dz=0,\qquad n\ne -1

只有

\oint_C \frac{1}{z-z_0}dz=2\pi j

不为零。因此

\oint_C f(z)dz=2\pi j\,a_{-1} =2\pi j\operatorname*{Res}_{z=z_0}f(z)

这就是留数定理的局部版本：闭合曲线积分只看每个奇点的 $$1/(z-z_0)$$ 系数。

完整证明：逐项积分消去一切非 −1 次幂

取以 $$z_0$$ 为圆心、 $$r$$ 为半径的小圆 $$C$$ ，参数化为 $z = z_0 + re^{j\theta}$ ， $\theta \in [0, 2\pi)$ ，则 $dz = jre^{j\theta}\,d\theta$ 。代入通项：

\oint_C (z - z_0)^n\,dz = \int_0^{2\pi} r^n e^{jn\theta} \cdot jr\,e^{j\theta}\,d\theta = jr^{n+1}\int_0^{2\pi} e^{j(n+1)\theta}\,d\theta

当 $n \neq -1$ 时， $n+1 \neq 0$ ，积分结果为：

jr^{n+1} \cdot \frac{e^{j(n+1)\theta}}{j(n+1)}\Bigg|_0^{2\pi} = \frac{r^{n+1}}{n+1}\bigl(e^{j(n+1)\cdot 2\pi} - 1\bigr) = 0

因为 $e^{j(n+1)\cdot 2\pi} = \cos 2\pi(n+1) + j\sin 2\pi(n+1) = 1$ 。

当 $$n = -1$$ 时， $$n+1 = 0$$ ，指数函数退化为常数：

jr^{0}\int_0^{2\pi} d\theta = j \cdot 2\pi

因此，对洛朗级数逐项积分，所有 $n \neq -1$ 的项积分为零，只有 $a_{-1}$ 对应的项存活：

\oint_C f(z)\,dz = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n \oint_C (z-z_0)^n\,dz = a_{-1} \cdot 2\pi j

关键点： $e^{jk\cdot 2\pi} = 1$ （ $$k$$ 为非零整数）这一事实，使得所有非 $$-1$$ 次幂沿闭合路径自洽消零。这正是 $\frac{1}{z-z_0}$ 「无法自我抵消」的根源——它是唯一一个在被积函数中不产生振荡的负幂项。

Part 3 · 留数定理

把每个奇点的局部贡献加起来

设 $$f(z)$$ 在闭合曲线 $$C$$ 内部和曲线上解析，除了有限个孤立奇点 $z_1,z_2,\dots,z_m$ 。若 $$C$$ 取逆时针方向，则

\boxed{\oint_C f(z)\,dz=2\pi j\sum_{k=1}^{m}\operatorname*{Res}_{z=z_k}f(z)}

这条公式可以理解为：把曲线内部每个奇点挖出一个小圆，解析区域上的积分会互相抵消，最后只剩下每个小圆周围的局部环绕贡献。每个奇点贡献 $2\pi j$ 乘以自己的留数。

对象	意义	在公式中的作用
$$C$$	闭合积分路径	决定哪些奇点被包围
$$z_k$$	$$C$$ 内部的孤立奇点	只有这些点贡献积分
$\operatorname*{Res}_{z=z_k}f(z)$	洛朗展开中 $(z-z_k)^{-1}$ 的系数	决定该奇点贡献的大小
$2\pi j$	绕一圈 $$1/(z-z_k)$$ 的积分	把局部系数变成闭合积分

Part 4 · 怎么计算留数

先判断奇点类型，再选公式

留数的本质是找 $a_{-1}$ ，但实际计算时不一定每次都完整写洛朗展开。常用方法如下：

情况	公式	使用条件
简单极点	$\operatorname*{Res}_{z=z_0}f(z)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)$	$$(z-z_0)f(z)$$ 在 $$z_0$$ 解析且有限
$f(z)=\frac{g(z)}{h(z)}$ 的简单极点	$\operatorname*{Res}_{z=z_0}f(z)=\frac{g(z_0)}{h'(z_0)}$	$h(z_0)=0,\ h'(z_0)\ne0$
$$m$$ 阶极点	$\operatorname*{Res}_{z=z_0}f(z)=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z-z_0)^m f(z)]$	$$z_0$$ 是 $$m$$ 阶极点
展开方便	直接找洛朗级数的 $(z-z_0)^{-1}$ 系数	指数、三角、几何级数型函数常用

Part 5 · 例题

从最小例子到 Z 变换中的系数抽取

例题 1：简单极点

题目：计算

\oint_C \frac{e^z}{z-1}dz

其中 $$C$$ 逆时针包围 $$z=1$$ 。

步骤： $$z=1$$ 是简单极点，留数为

\operatorname*{Res}_{z=1}\frac{e^z}{z-1} =\lim_{z\to1}(z-1)\frac{e^z}{z-1}=e

答案：

\oint_C \frac{e^z}{z-1}dz=2\pi j e

易错点：如果路径不包围

$z=1$

，积分就是 0；不是看到极点就一定贡献，必须看它是否在曲线内部。

例题 2：分母求导公式

题目：计算 $f(z)=\frac{z+2}{z^2+1}$ 在 $$z=j$$ 的留数。

步骤：令 $$g(z)=z+2$$ ， $$h(z)=z^2+1$$ 。因为 $$h(j)=0$$ 且 $$h'(z)=2z$$ ，所以 $$z=j$$ 是简单极点。

\operatorname*{Res}_{z=j}\frac{z+2}{z^2+1} =\frac{g(j)}{h'(j)} =\frac{j+2}{2j} =\frac12-j

答案：

\operatorname*{Res}_{z=j}f(z)=\frac12-j

例题 3：洛朗展开直接读系数

题目：求 $f(z)=\frac{e^z}{z^2}$ 在 $$z=0$$ 的留数。

步骤：展开

e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\cdots

因此

\frac{e^z}{z^2}=\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z}+\frac{1}{2!}+\frac{z}{3!}+\cdots

$$(1/z)$$ 项系数是 1，所以

\operatorname*{Res}_{z=0}\frac{e^z}{z^2}=1

易错点：留数不是最高负幂的系数。这里最高负幂是

$1/z^2$

，但留数只看

$1/z$

的系数。

例题 4：连接 Z 变换反变换

题目：Z 反变换中有公式

x[n]=\frac{1}{2\pi j}\oint_C X(z)z^{n-1}\,dz

若

X(z)=\frac{1}{1+\frac12z^{-1}},\qquad |z|>\frac12

解释为什么留数法能得到 $$x[n]=(-1/2)^n u[n]$$ 。

步骤：先把被积函数写成普通有理函数：

X(z)z^{n-1} =\frac{z^{n-1}}{1+\frac12z^{-1}} =\frac{z^n}{z+\frac12}

当 $n\ge0$ 时， $$z=-1/2$$ 是围线内部的一阶极点，留数为

\operatorname*{Res}_{z=-1/2}\frac{z^n}{z+\frac12} =\left(-\frac12\right)^n

因为积分等于 $2\pi j$ 乘留数，而反变换公式前面有 $1/(2\pi j)$ ，所以 $$x[n]$$ 正好等于这个留数。外侧 ROC 对应右边序列，因此 $$n<0$$ 时为 0。

答案：

x[n]=\left(-\frac12\right)^n u[n]

跨课程链接：这正是 Z 变换笔记 Part 5 中“方法三：留数定理法” 的数学基础。DSP 里用它来抽取

$X(z)$

的级数系数；复变函数里用它来计算闭合曲线积分。

Part 6 · 复习速查

做题时先问路径包围了谁

看到闭合曲线积分，先找曲线内部的孤立奇点。
简单极点优先用 $\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)$ 。
分式 $$g/h$$ 且 $h(z_0)=0,h'(z_0)\ne0$ 时，用 $$g(z_0)/h'(z_0)$$ 。
指数、三角、几何级数形式，常常直接洛朗展开读 $$1/(z-z_0)$$ 系数。
留数只看 $(z-z_0)^{-1}$ 系数，不看最高阶负幂。
在 Z 反变换中，留数法的作用是从 $X(z)z^{n-1}$ 中抽取对应的时域系数。

参考来源

本地课程笔记：/Users/zhengxinyu/org/roam/note/高等数学.org，主要衔接“级数 / 泰勒级数 / 幂级数”部分。
MIT OCW 18.04 · Complex Variables with Applications · Lecture Notes：用于核对复变函数课程结构，尤其 Topic 7 Taylor and Laurent Series、Topic 8 Residue Theorem。
MIT OCW 18.04 · Topic 8: Residue Theorem：用于核对留数定理表述和应用位置。
站内链接：Z 变换笔记 · 逆 Z 变换中的留数法