Z 变换

离散系统在时域里的自然描述是差分方程——$y[n]$ 由过去的 $y[n-k]$ 和输入 $x[n-m]$ 递推得到。时域求解需要不断迭代,而 Z 变换的核心价值在于:把"移位"变成"乘以 $z^{-1}$",从而把差分方程压缩成代数方程。

这与拉普拉斯变换在连续系统中的角色平行。连续系统靠 $s$ 平面分析微分方程,离散系统靠 $z$ 平面分析差分方程。若连续信号抽样间隔为 $T$,两者之间存在核心映射:

其中 $|z|=e^{\sigma T}$ 反映增长或衰减,$\arg z=\Omega T$ 反映离散角频率。单位圆 $|z|=1$ 对应 $s$ 平面的虚轴 $s=j\Omega$。

双边 Z 变换

序列 $x[n]$ 的双边 Z 变换定义为:

其中 $z$ 是复变量。这个和式本质上是关于 $z^{-1}$ 的双边幂级数。

单边 Z 变换

对于因果序列(或只关心 $n \ge 0$ 的部分),单边 Z 变换定义为:

单边变换在解差分方程(含初始条件)时特别有用。

从 Fourier 到 Z 变换的直觉

DTFT 用纯旋转的复正弦 $e^{j\omega n}$ 去扫描信号,问信号和每个频率的相关性:

Z 变换没有换掉这个"匹配模板"思想,而是把模板从纯旋转扩展为带指数包络的复正弦。令 $z=re^{j\omega}$,则核函数:

代入定义:

Z 变换是在问:信号 $x[n]$ 和"频率为 $\omega$、幅度按 $r^n$ 增长/衰减"的复指数模式有多匹配。当 $r=1$ 时退回 DTFT;当 $r \ne 1$ 时,指数包络能描述暂态、衰减、增长和极点造成的发散边界。

Z 变换的定义是一个无穷级数,只有当

成立时,$X(z)$ 才是有限的。使级数绝对收敛的所有 $z$ 值构成的集合,称为收敛域(Region of Convergence, ROC)。

ROC 不是附属信息,而是变换对的一部分。同一个代数式配不同 ROC,会对应完全不同的时域序列。极点处 $X(z)$ 发散,因此 ROC 永远不能包含任何极点。

四种序列类型与 ROC 形状

ROC 的六条基本性质

1. ROC 是连通区域:在 z 平面上总是一个连通的环形区域(或圆外/圆内),不会分裂成不相连的几块。
2. ROC 不含极点:极点处 $X(z)$ 发散,ROC 永远不能包含任何极点。
3. 有限长序列的 ROC 是几乎整个平面:只有 $z=0$ 或 $z=\infty$ 可能被排除。
4. 右边序列的 ROC 是圆外:形如 $|z|>R_1$,$R_1$ 是最外极点的模。
5. 左边序列的 ROC 是圆内:形如 $|z|<R_2$,$R_2$ 是最内极点的模。
6. 双边序列的 ROC 是环形:右边部分贡献内边界,左边部分贡献外边界,$R_1<|z|<R_2$。

极点与零点

当 $X(z)$ 写成有理分式形式时:

或等价的正幂形式:

极点(poles):使分母 $D(z)=0$ 的 $z$ 值。在极点处 $X(z) \to \infty$,级数发散。极点决定了:

• ROC 的边界——ROC 不能包含任何极点
• 序列的增长/衰减模式——极点模 $|p|$ 越大,对应项增长越快
• 系统的稳定性——因果系统稳定的充要条件是所有极点在单位圆内

零点(zeros):使分子 $N(z)=0$ 的 $z$ 值。在零点处 $X(z)=0$。零点决定了:

• 频率响应上的抑制——单位圆上的零点使对应频率的幅度为零
• 靠近单位圆的零点会在对应频率处形成幅度谷

几何上,极点是 z 平面上的"山峰"(函数值趋于无穷),零点是"谷底"(函数值为零)。ROC 就是极点之间的"安全通道"。

经典例子:同一代数式,不同 ROC

下面两个序列的 Z 变换代数式完全相同:

都可化到:

但一个 ROC 是 $|z|>1/2$(右边序列),另一个是 $|z|<1/2$(左边序列)。只有代数式而没有 ROC,序列就没有被完全确定。

例题区

每个时域操作都会在 Z 域留下一个对应的代数动作,同时 ROC 也会随之变化。理解这些性质的核心方式是:时域操作在 Z 域里的投影。

1. 线性

直接由 Z 变换定义中的求和运算的线性性得到。ROC 至少包含 $R_1 \cap R_2$,若线性组合消去了某些极点,ROC 可能扩大。

2. 序列移位性质

这是 Z 变换最核心的性质。移位 $m$ 个样本对应乘以 $z^{-m}$。正是这个性质把差分方程变成了代数方程——每一项 $y[n-k]$ 变成 $z^{-k}Y(z)$。

双边 Z 变换下 ROC 不变(但 $z=0$ 或 $z=\infty$ 可能因 $z^{-m}$ 因子而改变)。单边 Z 变换的移位更复杂:

单边移位的额外项来自初始条件,这正是用 Z 变换求解含初始条件差分方程的关键。

3. 乘以实指数序列 $a^n$

证明很直接:代入定义 $\sum a^n x[n] z^{-n} = \sum x[n](z/a)^{-n} = X(z/a)$。

几何上,$z \to z/a$ 相当于把 z 平面缩放 $|a|$ 倍:极点和零点都按比例移动,ROC 的边界半径也乘以 $|a|$。若 $a>1$,极点向外移;若 $0<a<1$,极点向内移。

4. 序列乘以 $n$

证明:对 $X(z)=\sum x[n]z^{-n}$ 逐项求导:

两边乘以 $-z$ 即得。这个性质可以递推使用,例如 $\mathcal{Z}\{n^2 x[n]\} = -z\,\frac{d}{dz}\left(-z\,\frac{dX}{dz}\right)$。它常用于推导 $n u[n]$、$n a^n u[n]$ 等序列的 Z 变换。

5. 复共轭序列的 Z 变换

证明:代入定义:

这条性质在处理复信号时很有用。特别地,若 $x[n]$ 是实序列,则 $x^*[n]=x[n]$,于是 $X(z)=X^*(z^*)$,即 $X(e^{j\omega})=X^*(e^{-j\omega})$,这意味着实序列的 DTFT 具有共轭对称性:幅度偶对称,相位奇对称。

6. 初值定理

对因果序列 $x[n]$(即 $n<0$ 时 $x[n]=0$):

证明:因果序列的 Z 变换为 $X(z)=x[0]+x[1]z^{-1}+x[2]z^{-2}+\cdots$,当 $z\to\infty$ 时,所有 $z^{-k}$ 项趋于 0,只剩 $x[0]$。

初值定理只适用于因果序列,且要求 $\lim_{z\to\infty}X(z)$ 存在(即 $X(z)$ 在无穷远处有限)。

7. 终值定理

若 $x[n]$ 的极限 $\lim_{n\to\infty}x[n]$ 存在,且 $(z-1)X(z)$ 的极点全部严格在单位圆内,则:

使用条件:

• $X(z)$ 的极点除 $z=1$ 外全部在单位圆内;
• 若 $z=1$ 是极点,只能是一阶极点;
• 若存在单位圆上或圆外的其他极点,终值不存在(序列振荡或发散),终值定理不适用。

8. 时域卷积定理

时域卷积变成 Z 域乘法。这是 LTI 系统分析的基石——系统输出 $y[n]=x[n]*h[n]$ 在 Z 域就是 $Y(z)=X(z)H(z)$,由此定义了系统函数 $H(z)$。

证明:代入定义并交换求和次序:

9. 复卷积定理(时域相乘)

时域相乘对应 Z 域的复卷积:

其中围线 $C$ 位于 $X_1(v)$ 与 $X_2(z/v)$ 收敛域的公共区域内。

这条性质与时域卷积定理形成对偶:时域卷积 → Z 域乘法,时域乘法 → Z 域复卷积。这类似于连续时间信号中时域乘法对应频域卷积的关系。

ROC 为 $R_1 \cdot R_2$,即两个 ROC 半径的乘积范围。

10. 帕斯维尔(Parseval)定理

Z 域形式的 Parseval 定理:

其中围线 $C$ 位于 $X(v)$ 与 $Y^*(1/v^*)$ 的公共收敛域内。

当 $y[n]=x[n]$ 时,得到能量形式:

特别地,若 ROC 包含单位圆,取 $v=e^{j\omega}$,上式退化为 DTFT 形式的 Parseval 定理:

这条定理把时域内积(能量)与 Z 域/频域积分连接起来,是信号能量分析和功率谱计算的理论基础。

例题区

正 Z 变换把 $x[n]$ 编码成 $X(z)$;反变换做反方向的事:从 $X(z)$ 恢复 $x[n]$。如果把 $X(z)$ 看成关于 $z^{-1}$ 或 $z$ 的幂级数,那么 $x[n]$ 就是对应幂次的系数。

围线积分定义

理论上,逆 Z 变换由围线积分给出:

积分路径 $C$ 必须位于 ROC 内并环绕原点一周。围线必须落在 ROC 内,因为只有在那里 $X(z)$ 才代表合法收敛的级数。

三种实用计算方法概览

方法一:长除法 / 幂级数法

直接把 $X(z)$ 展开成 $z^{-1}$(或 $z$)的幂级数,逐项读出系数 $x[n]$。

展开方向由 ROC 决定:

• ROC 在极点外侧($|z|>R$) → 按 $z^{-1}$ 的升幂展开 → 右边序列
• ROC 在极点内侧($|z|<R$) → 按 $z$ 的升幂展开 → 左边序列

方法二:部分分式法

把有理函数 $X(z)$ 拆成基本变换对的线性组合,再逐项查表。这是最常用的方法。

一般步骤:

1. 因式分解分母,找出所有极点。
2. 写成 $\dfrac{X(z)}{z}$ 的部分分式(这样每项乘以 $z$ 后回到 $\dfrac{z}{z-p}$ 标准形式)。
3. 求出各分式系数。
4. 根据 ROC 判断每项是右边还是左边序列,查表写出 $x[n]$。

方法三:留数定理法

从围线积分定义出发,用留数定理直接计算:

其中 $C$ 是 ROC 内环绕原点的闭合围线。

留数公式:

• 一阶极点 $z=p$: $\operatorname{Res}_{z=p} F(z) = \left.(z-p)F(z)\right|_{z=p}$
• $k$ 阶极点 $z=p$: $\operatorname{Res}_{z=p} F(z) = \dfrac{1}{(k-1)!} \left.\dfrac{d^{k-1}}{dz^{k-1}}\left[(z-p)^k F(z)\right]\right|_{z=p}$

留数定理法适合理论推导和高阶极点情况,但计算量通常比部分分式法大。

例题区

Z 变换最直接的工程应用就是求解常系数线性差分方程。核心思路是:利用移位性质,把时域递推关系变成 Z 域的代数方程,求解后再做反变换回到时域。

一般步骤

1. 对差分方程两边做 Z 变换(零初始条件或带入实际初始条件)。
2. 整理得到 $Y(z)$ 的代数表达式。
3. 对 $Y(z)$ 做反变换,得到 $y[n]$。

零初始条件下的系统函数

对于一般形式的常系数线性差分方程:

零初始条件下两边做 Z 变换,利用移位性质 $y[n-k] \leftrightarrow z^{-k}Y(z)$:

于是系统函数为:

这就是差分方程在 Z 域的代数压缩——一个有理函数。

含初始条件的求解

当初始条件不为零时,单边 Z 变换的移位性质为:

代入差分方程后,$Y(z)$ 会包含两部分:

分别对两部分做反变换,叠加即得全响应。

例题区

对 LTI 系统,单位脉冲 $\delta[n]$ 的响应称为单位抽样响应 $h[n]$。因为 LTI 满足叠加和移不变,任意输入 $x[n]$ 的输出为:

$h[n]$ 的 Z 变换就是系统函数:

一个 $H(z)$ 配合不同的 ROC,可以对应因果/非因果、稳定/不稳定等完全不同的系统行为。

因果性判据

因果 LTI 系统 $\iff h[n]=0$ for $n<0$ $\iff h[n]$ 是右边序列。

稳定性判据

BIBO 稳定 $\iff$ 任意有界输入产生有界输出 $\iff h[n]$ 绝对可和:

而 Z 变换在 $|z|=1$ 上绝对收敛的条件正好是 $\sum |h[n]| < \infty$,因此:

因果且稳定

两个条件同时成立:

• 因果 → ROC 在最外极点之外
• 稳定 → ROC 包含单位圆

极点位置与系统行为速查

当 ROC 包含单位圆时,令 $z=e^{j\omega}$,Z 变换退化为 DTFT:

这就是系统的频率响应。前提:单位圆必须在 ROC 内。若 ROC 不包含单位圆(如不稳定系统),DTFT 不收敛,频率响应没有定义。

频率响应通常拆为幅度和相位:

• 幅度响应 $|H(e^{j\omega})|$:各频率成分的增益/衰减。
• 相位响应 $\angle H(e^{j\omega})$:各频率成分的相位偏移。

Z 变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系

通过映射 $z=e^{sT}$,三个变换域的关系一目了然:

Parseval 定理

若单位圆在 ROC 内,时域能量等于频域能量:

这条公式把"序列能量"与"频谱能量"连接起来,是滤波器设计、频谱分析和功率谱分析的入口。

当 $H(z)$ 写成零极点因式分解形式:

在单位圆上取值 $z=e^{j\omega}$,幅度响应为:

相位响应为:

几何直觉

• $|e^{j\omega} - z_i|$ 是单位圆上当前点到第 $i$ 个零点的距离。到零点越近,分子越小,幅度被压低。零点在单位圆上时,对应频率的幅度为 0。
• $|e^{j\omega} - p_k|$ 是到第 $k$ 个极点的距离。到极点越近,分母越小,幅度被抬高。极点靠近单位圆时,对应频率处会出现共振峰。

把单位圆上的点 $e^{j\omega}$ 想象成观察者,绕着圆走一圈:

• 靠近零点的频率 → 幅度被压制(谷)
• 靠近极点的频率 → 幅度被放大(峰)

这就是频率响应的几何确定法:不需要计算,只看零极点图上各点到单位圆的距离,就能定性判断频响形状。