Z 变换

什么是 z-domain？

z-domain，也就是 Z 域，就是用复变量 $z$ 作为坐标来观察离散序列和离散系统的空间。时域里我们看的是 $x[n]$ 随样本序号 $n$ 怎么变化；Z 域里我们看的是 $X(z)$ 随复数 $z$ 的位置怎么变化。因为 $z$ 可以写成

所以 Z 域不是一条频率轴，而是一张复平面地图：横轴是实部，纵轴是虚部；半径 $r=|z|$ 表示指数增长或衰减尺度，角度 $\omega=\arg z$ 表示离散角频率。

在这张地图里，单位圆 $|z|=1$ 是 Fourier 分析所在的位置；极点是 $X(z)$ 发散的位置；零点是 $X(z)$ 变为 0 的位置；ROC 是 Z 变换真正收敛、可以合法取值的区域。后面判断稳定性、因果性和频率响应，几乎都是在问：单位圆、极点和 ROC 在这张 z-domain 地图上是什么关系。

一句话总结

Fourier 变换沿单位圆扫描“纯频率相关性”；Z 变换把扫描范围从单位圆扩展到整个复平面，扫描的是“频率 + 指数增长/衰减”的相关性。$\omega$ 决定旋转速度，$r$ 决定指数包络，二者合在一起就是 $z=re^{j\omega}$。

三种序列类型

Z 变换的核心洞察之一是：同一个代数式可以代表不同的时域序列，区别全在收敛域。要理解 ROC 的意义，先弄清三种序列类型：

• 右边序列：存在某个整数 $N$，使得 $x[n]=0$ 对所有 $n<N$ 成立。直观上就是"从某一点开始才有值，之后一直向右延伸"。典型例子：$a^n u[n]$。
• 左边序列：存在某个整数 $N$，使得 $x[n]=0$ 对所有 $n>N$ 成立。"只在过去存在，到某一点就截断了"。典型例子：$-a^n u[-n-1]$。
• 双边序列：既不是右边也不是左边，两个方向都有非零值。典型例子：$a^{|n|}$。

它们对应三种 ROC 形状：

因果系统的单位抽样响应 $h[n]$ 是右边序列（因为因果意味着 $n<0$ 时 $h[n]=0$），所以因果系统的 ROC 一定在最外极点之外。

为什么逆变换必须看 ROC？

同一个代数式可以有不同展开方式。例如

若 ROC 为 $|z|>|a|$，它按 $z^{-1}$ 展开：

对应右边序列 $a^n u[n]$。若 ROC 为 $|z|<|a|$，同一个分式要改写成按 $z$ 展开：

对应左边序列 $-a^n u[-n-1]$。所以 ROC 不是附加说明，而是逆 Z 变换答案的一部分。

先抓住两个核心对象

对 LTI 系统，单位脉冲输入 $\delta[n]$ 的输出称为单位抽样响应，记为 $h[n]$：

因为 LTI 系统满足叠加和移不变，只要知道 $h[n]$，就能用卷积得到任意输出：

$h[n]$ 是时域系统描述和 Z 域分析之间的桥；它的 Z 变换就是系统函数：

对常系数差分方程，零初始条件下作 Z 变换，就能把递推系统写成有理函数：

因果性：只看“现在和过去”

教材里的判据可以直接记成一句话：因果 LTI 系统 $\Leftrightarrow h[n]=0$ for $n<0$。也就是 $h[n]$ 是右边序列。

把这个条件搬到 Z 域，就得到：

直觉上，右边序列是从某个时刻开始向右延伸，所以级数按 $z^{-1}$ 展开时，只有当 $|z|$ 足够大才收敛；因此 ROC 会是圆外区域。

这也是为什么教材特别强调“ROC 包括 $z=\infty$”是因果序列的重要特性。

稳定性：看单位圆能不能落在 ROC 里

BIBO 稳定的定义是：任意有界输入都产生有界输出。

对 LTI 系统，教材给出的等价判据是：

而 Z 变换收敛域的定义又告诉我们，若 $H(z)=\sum h[n]z^{-n}$ 在 $|z|=1$ 上也收敛，那么就正好对应上面的绝对可和条件。于是得到

这条结论很关键：稳定性关心的不是“某个极点在不在”，而是单位圆能不能被 ROC 覆盖。

因果且稳定：极点必须全部落在单位圆内

把前两条拼起来就得到教材中的 z 域必要充分条件：

等价地说，系统函数的全部极点都必须严格在单位圆内。原因很直接：

• 因果系统要求 ROC 在最外极点之外；
• 稳定系统要求 ROC 包含单位圆；
• 两者同时成立，只能把所有极点压到单位圆内。

稳定性：BIBO 稳定、h[n] 绝对可和、ROC 包含单位圆，这三件事是怎么串起来的？

BIBO 稳定（Bounded-Input Bounded-Output）的定义：如果对任意有界输入 $|x[n]| \le M_x$，输出也有界 $|y[n]| \le M_y$，则系统稳定。

第一步：BIBO 稳定 $\Leftrightarrow$ $h[n]$ 绝对可和

这个定理需要双向证明。

（$\Leftarrow$）充分性：若 $\sum_k |h[k]| < \infty$，对任意有界输入 $|x[n]| \le M_x$，

所以系统 BIBO 稳定。推导只用到了卷积和与三角不等式，很直接。

（$\Rightarrow$）必要性：反过来，若 $\sum_n |h[n]|$ 发散（趋于无穷），构造一个有界输入就可以让输出无界。考虑

其中 $h^*[n]$ 是 $h[n]$ 的复共轭（实数情形就是 $\operatorname{sgn}(h[n])$）。$x[n]$ 每个点的绝对值都不超过 1，所以是有界输入。在 $n=0$ 时刻的输出：

这说明存在一个有界输入导致输出无界，系统不稳定。于是必要性得证。

双向合起来：$h[n]$ 绝对可和 $\Leftrightarrow$ BIBO 稳定。

第二步：$h[n]$ 绝对可和 $\Leftrightarrow$ ROC 包含单位圆

根据 Z 变换的定义，$H(z) = \sum_n h[n]z^{-n}$。级数在点 $z$ 绝对收敛的条件是：

当 $z$ 在单位圆上（$|z|=1$）时，$|z^{-n}| = 1$ 对所有 $n$ 成立，收敛条件简化为 $\sum_n |h[n]| < \infty$。所以单位圆在 ROC 内等价于 $h[n]$ 绝对可和。

因此：

这也解释了为什么因果系统可以不稳定：因果系统的 ROC 在最外极点之外，如果最外极点模大于 1，ROC 就不包含单位圆，级数在 $|z|=1$ 处不收敛。

这一讲的真正难点

很多人会觉得 Z 变换难，是因为它同时混合了级数收敛、复平面几何和系统理论。抓住一个主轴就够了：移位变成乘法，系统变成代数式，支撑方向变成 ROC，频率响应变成单位圆取值。后面的题型几乎都是这条主轴的展开。

复习速查

• 看到 $a^n u[n]$：优先想到 $\frac{1}{1-az^{-1}}, |z|>|a|$。
• 看到 $-a^n u[-n-1]$：优先想到 $\frac{1}{1-az^{-1}}, |z|<|a|$。
• 看到差分方程：先用移位性质得到 $H(z)$，再看极点与 ROC。
• 判断稳定：问单位圆是否在 ROC 内。
• 判断因果：问 ROC 是否在最外极点之外并包含无穷远点。
• 做逆变换：先因式分解，再看 ROC，再选部分分式 / 长除法 / 留数法。