傅里叶变换与傅里叶级数

2026/05/31 00:20:00·2026/06/04 12:09:21

定位

📍 为什么要从傅里叶级数讲起

如果一上来就把傅里叶变换写成

X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt

很多人都会有一种感觉：公式会写，但不知道它到底在干什么。更自然的路径应该是反过来：先从周期信号开始，因为周期信号最容易理解“频率成分”是什么意思；然后再问，当周期越来越大、谐波越来越密时，会发生什么——这时傅里叶变换才会顺理成章地出现。

主线：

先解释为什么周期信号可以拆成谐波和（傅里叶级数）；
再解释为什么周期信号的频谱一定是离散谱线；
再让周期趋于无穷，离散谱线挤成连续谱，从而得到傅里叶变换；
最后把这套思想扩展到离散时间与采样，得到 FT / FS / DTFT / DFT 的统一图景。

第一节

一、傅里叶级数到底是什么

1.1 从“分解波形”这个问题出发

设想一个周期方波、周期三角波或周期脉冲列。它们都比正弦波复杂得多。我们自然会问：能不能找到一组足够简单的“基元波形”，像线性代数中展开向量那样，把这个复杂波形表示成一组简单波形的线性组合？

对于周期信号，最自然的候选基元就是不同频率的正弦/余弦，或者更紧凑地说，复指数 $e^{jk\omega_0 t}$ 。因为它们本身就是周期函数，而且彼此满足正交关系。

1.2 三角形式

设 $$x(t)$$ 是周期为 $$T_0$$ 的信号，基频为

\omega_0=\frac{2\pi}{T_0}.

则傅里叶级数写成

\boxed{x(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left[a_k\cos(k\omega_0 t)+b_k\sin(k\omega_0 t)\right]}

其中系数是

a_k=\frac{2}{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0}x(t)\cos(k\omega_0 t)dt,</p> <p>\qquad</p> <p>b_k=\frac{2}{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0}x(t)\sin(k\omega_0 t)dt.

这些系数的物理意义很直观：

$$a_k$$ 衡量第 $$k$$ 个余弦谐波的强度；
$$b_k$$ 衡量第 $$k$$ 个正弦谐波的强度；
$$a_0/2$$ 是直流分量，也就是平均值。

1.3 为什么系数能这样算：正交投影证明

核心是正交性。一个周期内，不同频率的正弦/余弦互相“平均抵消”：

\int_{t_0}^{t_0+T_0}\cos(m\omega_0 t)\cos(n\omega_0 t)dt= \begin{cases}0,&m\ne n\\T_0/2,&m=n\ne0\end{cases}

\int_{t_0}^{t_0+T_0}\sin(m\omega_0 t)\sin(n\omega_0 t)dt= \begin{cases}0,&m\ne n\\T_0/2,&m=n\end{cases}

\int_{t_0}^{t_0+T_0}\sin(m\omega_0 t)\cos(n\omega_0 t)dt=0.

于是把级数两边同乘 $\cos(n\omega_0 t)$ 再积分，所有不相关的项全都消失，只剩第 $$n$$ 项：

\int_{t_0}^{t_0+T_0}x(t)\cos(n\omega_0 t)dt=\frac{T_0}{2}a_n.

所以

a_n=\frac{2}{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0}x(t)\cos(n\omega_0 t)dt.

$$b_n$$ 的推导完全同理。也就是说，傅里叶级数本质上就是把周期信号投影到一组正交基函数上。

1.4 复指数形式

利用欧拉公式 $e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta$ ，傅里叶级数可以写成更紧凑的形式：

\boxed{x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k e^{jk\omega_0 t}}

其中

\boxed{c_k=\frac{1}{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0}x(t)e^{-jk\omega_0 t}dt}.

复指数形式把“幅度 + 相位”压进了一个复系数 $$c_k$$ ，也是后续推导周期信号傅里叶变换最方便的写法。

一句话理解傅里叶级数：它不是“神奇地把信号变成频率”，而是在回答——一个周期信号在不同谐波基元上的投影强度分别是多少。

第二节

二、周期信号的傅里叶变换为什么是离散谱线

2.1 普通傅里叶变换为什么不适合周期信号

周期信号通常不是能量信号，因为它在整个时间轴上无限重复，总能量发散，所以直接套用

X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt

常常不收敛。但我们并不想放弃频谱表示。解决方法是用广义函数来描述“频率只集中在某些点上”的离散谱线，其中最重要的对象就是冲激函数。

2.2 先认识冲激函数：不是普通函数，而是“单位面积的尖峰”

冲激函数通常记作 $\delta(t)$ 。它不能按普通函数来理解，因为它在 $$t=0$$ 处无限高、在其他地方为 $$0$$ ，但总面积等于 $$1$$ ：

\delta(t)=0\quad(t\ne0),\qquad \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt=1.

更准确地说， $\delta(t)$ 是一种广义函数。它真正有用的地方不是“函数值是多少”，而是它和普通函数一起积分时的筛选性质：

\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-t_0)dt=f(t_0).

这表示 $\delta(t-t_0)$ 会把 $$f(t)$$ 在 $$t_0$$ 这一点的值“挑出来”。如果前面乘上一个系数 $$A$$ ，即 $A\delta(t-t_0)$ ，那么它表示一个位于 $$t_0$$ 、面积为 $$A$$ 的冲激。

频域里的冲激是什么意思

在频域中， $\delta(\omega-\omega_0)$ 表示能量或幅度全部集中在单一频率 $\omega_0$ 上。它不是一段连续曲线，而是一条谱线；前面的系数就是这条谱线的权重。

因此，当我们说周期信号的傅里叶变换是一串冲激，并不是说频谱“爆炸了”，而是在说：周期信号只包含若干个离散谐波频率，每个频率点用一个带权重的冲激来表示。

2.3 从复指数级数直接推出周期信号频谱

由

x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k e^{jk\omega_0 t}

对两边做傅里叶变换：

X(\omega)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k\,\mathcal{F}[e^{jk\omega_0 t}].

又因为

\mathcal{F}[e^{jk\omega_0 t}]=2\pi\delta(\omega-k\omega_0),

所以

\boxed{X(\omega)=2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k\delta(\omega-k\omega_0)}.

这就是周期信号傅里叶变换的标准结论。它说明：

周期信号的频谱一定是离散冲激串；
冲激位置在各个谐波频率 $k\omega_0$ ；
冲激权重正比于傅里叶级数系数 $$c_k$$ 。

2.4 典型例子：余弦只有两条谱线

\cos\omega_0 t=\frac12e^{j\omega_0 t}+\frac12e^{-j\omega_0 t}

因而

\boxed{\mathcal{F}[\cos\omega_0 t]=\pi\delta(\omega-\omega_0)+\pi\delta(\omega+\omega_0)}.

所以余弦波并不是“一个频率点”，而是正负两个对称频率分量共同组成的。这一点是后续调制、复包络、解析信号分析的基础。

结论：傅里叶级数系数就是周期信号频域离散谱线的权重。时域周期化 → 频域离散化。

第三节

三、傅里叶变换是怎么从傅里叶级数长出来的

3.1 让周期越来越大

假设一个非周期信号 $$x(t)$$ 被截取在长度 $$T_0$$ 的窗口内，并把它周期延拓。此时它有傅里叶级数：

x_{T_0}(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k e^{jk\omega_0 t}, \qquad \omega_0=\frac{2\pi}{T_0}.

其中

c_k=\frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}x(t)e^{-jk\omega_0 t}dt.

把它写成

T_0 c_k= \int_{-T_0/2}^{T_0/2}x(t)e^{-j\omega t}dt\Big|_{\omega=k\omega_0}.

3.2 当 $T_0\to\infty$ 时会发生什么

当周期越来越大时：

$\omega_0=2\pi/T_0\to0$ ，所以频谱采样点越来越密；
原来离散的谐波点 $k\omega_0$ 会逐渐填满整个频率轴；
$$T_0 c_k$$ 过渡成连续频谱函数 $X(\omega)$ 。

于是离散求和

\sum_k c_k e^{jk\omega_0 t}

过渡为连续积分：

x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega.

傅里叶变换与傅里叶逆变换

按本文采用的角频率 $\omega$ 约定，连续时间傅里叶变换是一对互逆公式：

\boxed{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}

\boxed{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega}

第一式把时域信号分解到连续频率轴上，得到频谱 $X(\omega)$ ；第二式就是傅里叶逆变换，它把所有连续频率分量按相位因子 $e^{j\omega t}$ 重新叠加回来，恢复原来的 $$x(t)$$ 。系数 $1/(2\pi)$ 来自角频率约定：因为相邻频率间隔在极限中满足 $\Delta\omega=2\pi/T_0$ 。

这就是 FT 与 FS 的关系：傅里叶变换不是另一套毫不相关的工具，而是傅里叶级数在周期趋于无穷大时的连续极限；傅里叶逆变换则是这个极限过程中的“合成公式”，把连续谱重新合成为时域信号。

第四节

四、对偶律：周期、离散、连续之间的总关系

4.1 对偶律的核心陈述

对偶律

在一个域上离散化（采样），会导致另一个域上周期化；

在一个域上周期化，会导致另一个域上离散化。

4.2 四象限总表

	时域：非周期	时域：周期
频域：连续	FT 连续时间、非周期 → 连续频率、非周期	FS 连续时间、周期 → 离散频率、非周期
频域：离散	DTFT 离散时间、非周期 → 连续频率、 $2\pi$ 周期	DFT 离散时间、周期 → 离散频率、周期 $$N$$

4.3 对偶律的两个证明

证明 A：时域周期化 → 频域离散化

第二节已经证明过：周期信号可以展开为傅里叶级数，而其傅里叶变换是离散冲激串：

x(t)=\sum_k c_k e^{jk\omega_0 t}</p> <p>\Longrightarrow</p> <p>X(\omega)=2\pi\sum_k c_k\delta(\omega-k\omega_0).

证明 B：时域离散化 → 频域周期化

对连续信号做理想抽样：

x_s(t)=x(t)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s).

根据时域乘积 ↔ 频域卷积：

X_s(\omega)=\frac{1}{2\pi}X(\omega)*\mathcal{F}\left[\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)\right].

而冲激串的傅里叶变换是

\mathcal{F}\left[\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)\right] =\frac{2\pi}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-k\omega_s),

所以

\boxed{X_s(\omega)=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(\omega-k\omega_s)}.

这表明抽样后的频谱会按 $\omega_s$ 周期重复，从而证明：时域离散化 → 频域周期化。

补充：为什么采样后会出现“求和近似积分”

这里容易混淆的一点是：不是傅里叶变换本身让求和近似积分，而是连续积分在采样后自然变成黎曼和。若采样间隔为 $$T$$ ，则

\int_{-\infty}^{\infty} f(t)dt \approx T\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(nT).

这个 $$T$$ 是每个采样小矩形的宽度。傅里叶变换的作用不是制造这个近似，而是告诉我们：一旦时域被采样，频域就会出现周期复制和可能的混叠。

在脉冲响应不变法中，这个尺度因子尤其重要。连续时间 LTI 系统卷积为

y_a(t)=\int_{-\infty}^{\infty}h_a(\tau)x_a(t-\tau)d\tau.

在 $$t=nT$$ 处采样，并用 $\tau=kT$ 的黎曼和近似积分，有

y_a(nT)\approx T\sum_{k=-\infty}^{\infty}h_a(kT)x_a((n-k)T).

为了让它和离散卷积

y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}h[k]x[n-k]

形式一致，就定义

\boxed{h[n]=T h_a(nT)}.

频域中，对这个序列做 DTFT：

H(e^{j\omega})=T\sum_{n=-\infty}^{\infty}h_a(nT)e^{-j\omega n}.

根据抽样的傅里叶关系，它等价于模拟频率响应的周期复制叠加：

\boxed{H(e^{j\omega})=\sum_{k=-\infty}^{\infty}H_a\left(j\frac{\omega-2\pi k}{T}\right)}.

一句话区分：

T\sum f(nT)

来自时域黎曼和；

\sum_k H_a(j(\omega-2\pi k)/T)

来自傅里叶变换对采样的频域解释。前者解释为什么要乘

$T$

，后者解释为什么会混叠。

总钥匙：

周期 ↔ 离散
离散 ↔ 周期
FS、FT、DTFT、DFT 只是同一思想在不同边界条件下的四种外形

第五节

五、傅里叶变换最重要的性质

5.1 线性

\mathcal{F}[ax(t)+by(t)]=aX(\omega)+bY(\omega).

5.2 时移

\mathcal{F}[x(t-t_0)]=X(\omega)e^{-j\omega t_0}.

意义：时延不改变幅度谱，只引入线性相位。

5.3 频移（调制）

\mathcal{F}[x(t)e^{j\omega_c t}]=X(\omega-\omega_c).

意义：调制就是频谱搬移。

5.4 卷积

\mathcal{F}[x_1(t)*x_2(t)]=X_1(\omega)X_2(\omega).

意义：滤波问题在频域变成乘法问题。

5.5 Parseval 定理

\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|X(\omega)|^2d\omega.

意义：时域和频域的总能量守恒。

第六节

六、把这张 Fourier 地图接回通信与 DSP

对象	在课程里对应什么
FS	周期载波、周期脉冲列、谐波结构
FT	连续信号频谱、滤波器、模拟系统分析
DTFT	离散序列的连续频谱、频率响应
DFT/FFT	计算机频谱分析、OFDM、频域计算
采样定理	连续信号数字化、频谱复制、混叠
卷积定理	信道、滤波、LTI 系统
频移性质	调制、上变频、下变频

全部“傅里叶变换”相关文章

排序：

速查

🔖 复习速查表

工具	解决什么问题	频谱形态
傅里叶级数 FS	周期信号如何分解为谐波和	离散谱线
傅里叶变换 FT	非周期信号如何得到连续频谱	连续谱
DTFT	离散时间序列的频域表示	连续且 $2\pi$ 周期
DFT	有限长离散序列的可计算频谱	离散且周期

最后一句话：要真正懂傅里叶变换，就不要把它当作“突然出现的一条积分公式”，而要把它看成傅里叶级数在周期趋于无穷大时的连续极限。

参考来源

确定信号分析｜通信原理笔记 — 本篇主轴来源，提供 FT、FS、采样、对偶律骨架
信号变换全景辨析｜FT · FS · DTFT · DFT · Laplace · Z — 提供 Fourier 四象限总表与对偶律框架
离散时间傅里叶变换 DTFT｜数字信号处理笔记 — 补充 DTFT 的周期频谱解释
DFT 与 FFT｜数字信号处理笔记 — 补充 DFT 与 DFS/DTFT 的衔接
采样定理｜数字信号处理笔记 — 补充抽样导致频谱复制的推导
[F01] 详细理解傅里叶变换以及它在通信里面的应用
[F02] 傅里叶变换的性质总结