模拟信号的数字传输

模拟信号在时间上是连续的，包含无穷多个值。直接传输需要无穷带宽，这在工程上不可行。将模拟信号变成数字信号需要经过三个步骤：

三个步骤缺一不可，而整个流程的理论基石就是抽样定理。

抽样定理告诉我们：只要抽样频率足够高，有限个离散样本就能完全代表原始连续信号——这是"模拟转数字"在理论上可行的依据。

低通抽样定理（Nyquist 定理）

设模拟信号 $m(t)$ 的最高频率为 $f_H$，则当抽样频率满足

时，$m(t)$ 可由其抽样值完全恢复。$2f_H$ 称为奈奎斯特速率（Nyquist Rate）。

低通抽样定理的推导

设 $m(t) \leftrightarrow M(f)$，其频谱限制在 $|f| \leq f_H$。

理想抽样信号为 $m_s(t) = m(t) \cdot \delta_{T_s}(t)$，其中 $\delta_{T_s}(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t - nT_s)$ 是冲激序列。

利用频域卷积定理：

这说明抽样信号频谱是原始频谱以 $f_s$ 为周期进行搬移叠加的结果。当 $f_s \geq 2f_H$ 时，相邻搬移频谱不重叠，可通过截止频率为 $f_H$ 的理想低通滤波器无失真地恢复 $m(t)$。

恢复公式（内插公式）

其中 $\text{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$。

若信号不是从 0 开始的低通信号，而是频带在 $f_L \sim f_H$ 的带通信号（如已调信号），仍然用 $f_s \geq 2f_H$ 会造成频率资源的极大浪费。

设信号带宽 $B = f_H - f_L$，可证明最小抽样频率为：

其中 $n = \lfloor f_H / B \rfloor$（$f_H/B$ 的整数部分），$k = f_H/B - n$（余数部分，$0 \leq k < 1$）。

抽样定理证明了离散样本可以代表连续信号，但实际工程中不可能产生理想冲激脉冲。我们需要用有限宽度的脉冲来"携带"样本值，这就是 PAM。

自然抽样 PAM

用周期矩形脉冲串 $p(t)$ 与模拟信号 $m(t)$ 相乘。抽样后脉冲的顶部跟随 $m(t)$ 的波形变化，故名"自然抽样"。

频谱为：

其中 $\tau$ 为脉冲宽度，$T_s$ 为抽样周期。关键性质：

• 频谱包络受 $\text{sinc}(n\tau f_s)$ 加权，但基带分量（$n=0$）不失真
• 通过理想低通滤波器可恢复 $m(t)$

平顶抽样 PAM

每个抽样值用等高的矩形脉冲表示（脉冲顶部平坦），实际中更常用。

平顶抽样相当于先理想抽样再通过一个脉冲宽度为 $\tau$ 的矩形滤波器（孔径效应），频谱为：

PAM 的实际意义

PAM 本身仍是模拟信号。它的意义在于：量化后的 PAM 信号（阶梯波）就是 PCM 编码前的中间产物。当平顶抽样的脉冲宽度 $\tau = T_s$ 时，PAM 信号就是阶梯波，它就是量化后的输出 $m_q(t)$。

PAM 系统带宽（第一零点带宽）为 $1/\tau$。在时分复用中，要求 $\tau$ 足够小以确保各路信号互不串扰。

抽样解决了"何时取值"的问题，量化解决"取什么值"的问题。量化将连续的幅度范围映射到有限个离散电平上，是 A/D 转换中唯一引入不可逆误差的步骤。

均匀量化

将量化范围 $(-V, V)$ 等分为 $L$ 个区间，每个区间的宽度（量化台阶）为：

若编码位数为 $N$，则 $L = 2^N$。

量化误差：在每个量化区间内，实际信号值 $x$ 与量化电平 $x_i$ 之间的差 $e_q = x - x_i$。对于均匀分布信号，$e_q$ 在 $(-\Delta/2, \Delta/2)$ 内均匀分布。

量化噪声功率（均匀量化器最佳条件下）：

均匀量化的致命问题：$N_q$ 是常数，与信号大小无关。因此：

• 大信号时信噪比高（信号功率大，噪声不变）
• 小信号时信噪比低（信号功率小，噪声不变）

对于语音这种动态范围很大的信号（约 45 dB），均匀量化要保证小信号也有足够的信噪比，就需要非常多的量化级数。

量化信噪比（不同信号类型）

核心思想：小信号用小的量化台阶（提高信噪比），大信号用大的量化台阶（信噪比虽降低但仍够用）。

实现方法——压扩（Companding）：

先用一个非线性压缩器对信号 $x$ 进行压缩得到 $y$，对 $y$ 进行均匀量化，再在接收端用扩张器恢复。对 $y$ 均匀量化，等价于对 $x$ 进行非均匀量化。

μ 律压扩特性（北美、日本使用）

典型值 $\mu = 255$。

A 律压扩特性（中国、欧洲使用）

典型值 $A = 87.6$。

理想的 A 律压缩特性是连续曲线，难以用模拟电路精确实现。13 折线用分段线性的折线来逼近 A 律曲线，易于数字实现。

构造方法

1. 将 $x$ 轴 $(0, 1)$ 和 $y$ 轴 $(0, 1)$ 各分成 8 段
2. $x$ 轴按 1/2 递减 分段：$1/2, 1/4, 1/8, ..., 1/128$
3. $y$ 轴等分 8 段：每段 $1/8$
4. 连接对应分点，得到正半轴 8 段折线
5. 负半轴对称，也有 8 段
6. 正负半轴各有一个过原点的段斜率相同（均为 16），合并后 共 16 段、13 个不同斜率

13 折线压缩特性表（正半轴）

其中 $\Delta = 1/2048$（归一化单位），总量化级数为 $2048 \times 2 = 4096 = 2^{12}$。

PCM（Pulse Code Modulation）将模拟信号经过抽样、量化、编码三个步骤转换为数字比特流。它是目前电话网中最基本的语音数字化方式。

A 律 PCM 编码规则

每个抽样值编码为 8 位码 $C_1C_2C_3C_4C_5C_6C_7C_8$：

编码方法——逐次比较法

1. 极性判断：$x_k > 0$ 则 $C_1 = 1$，否则 $C_1 = 0$
2. 段落判断：依次与 128Δ、512Δ、1024Δ 比较确定段落（类似二分查找）
3. 段内判断：在段内用 4 位二分确定具体位置

译码时，为减小量化误差，在段内码对应电平基础上加上半个量化台阶 $\Delta_i/2$（偶数位添加"1"）。

A 律 PCM 与线性 PCM 的变换：A 律 8 位非线性 PCM 可展开为 12 位线性 PCM，二者一一对应。这种变换在数字信号处理中经常用到。

PCM 码型选择

常见码型：

• 自然二进码：按自然顺序编码，简单直观
• 折叠二进码：除极性码外，正负幅度的编码对称翻转

折叠码的优势：

1. 简化编码过程（先判极性，再对绝对值编码）
2. 传输中误码对小信号影响较小（高位误码只改变极性，不大幅改变值）

PCM 系统输出噪声包含两部分：量化噪声 $N_q$ 和信道误码噪声 $N_e$。两者来源不同、互不依赖：

仅考虑量化噪声（均匀分布信号，$N$ 位线性 PCM）：

系统带宽要求：频带限制在 $f_H$ 的信号，抽样频率 $f_s \geq 2f_H$，编码位数 $N$，则 PCM 码速率为 $R_b = 2Nf_H$，所需最小系统带宽为：

信道误码的影响：设误码率 $p_e$，一个 $N$ 位码组中发生一位错码的概率为 $Np_e$（$p_e$ 较小时）。误码噪声功率为：

实践表明：对非线性 PCM，当 $p_e < 10^{-6}$ 时可忽略误码影响。

PCM 对每个抽样值独立编码，效率不高。实际上，相邻抽样值之间通常具有很强的相关性（变化不大）。如果编码的是相邻样值的差值而非样值本身，差值的动态范围更小，所需编码位数更少，从而降低码率。

DPCM 原理

• 预测器根据前几个样值预测当前值 $\hat{m}_k$
• 预测误差 $e_k = m_k - \hat{m}_k$，其动态范围远小于 $m_k$
• 对 $e_k$ 进行 $N$ 位量化编码（通常 $N = 4$）

DPCM 量化信噪比：

其中 $G_p = \sigma_m^2/\sigma_e^2$ 称为预测增益，通常为 6～11 dB。即 DPCM 性能优于同等码率的 PCM。

增量调制 ΔM

ΔM 是 DPCM 的最简特例：只用 1 位编码表示预测误差的符号。

• 积分器（最简单的预测器）：$p(t) = 1$ 时输出增加 $\sigma$（量阶），$p(t) = 0$ 时减少 $\sigma$
• 预测信号 $m_e(t)$ 是一个以 $\sigma$ 为步长的阶梯波
• 每个抽样时刻判断：若 $m(t) > m_e(t)$ 则发"1"，否则发"0"

ΔM 的两类量化噪声

1. 斜率过载噪声：当输入信号 $m(t)$ 的斜率超过预测信号所能跟踪的最大斜率时产生。

设 $m(t) = A\cos\omega t$，最大斜率为 $A\omega$。预测信号最大斜率为 $\sigma f_s$。

不过载条件：$A\omega < \sigma f_s$，即：

2. 常规量化噪声：$e_q(t)$ 的功率为 $N_q' = \sigma^2/3$，功率谱密度近似为：

ΔM 系统的信噪比（经低通滤波后）：

改善方法：

• 数字压扩自适应 ΔM：根据信号斜率自适应调整 $\sigma$，改善小信号信噪比
• 增量总和调制（Δ-Σ 调制）：改善高频信号的信噪比

抽样定理保证了信号在时间上可以被"压缩"，空出的时间可以用来传输其他信号。

TDM 与 FDM 的对比：

• FDM（频分复用）：各路信号占用不同频带，同时传输
• TDM（时分复用）：各路信号占用不同时隙，轮流传输

每帧时间等于抽样周期 $T_s = 1/f_s$。对于语音：$T_s = 1/8000 = 125\,\mu\text{s}$。

PCM 30/32 基群帧结构（E1）

这是中国和欧洲使用的标准（ITU-T G.704），又称 E1 或 2M 口。

基本参数：

• 帧长：125 μs（$f_s = 8$ kHz 的倒数）
• 每帧 32 个时隙（TS0～TS31）
• 每时隙 8 bit
• 总码率：$32 \times 8 \times 8000 = \mathbf{2048 \, \text{kb/s}}$（即 2.048 Mb/s）

时隙分配

复帧结构：16 个子帧组成一个复帧（2 ms），TS16 中的信令按复帧周期分配给 30 个话路。

PCM 数字复接系列

PDH（准同步数字系列）：各次群独立时钟，速率有偏差。复接时需要码速调整（插入额外比特），因此高次群速率倍数 > 话路倍数（如 $8448/2048 = 4.125 > 4$）。

SDH（同步数字系列）：统一时钟，STM-1 起步速率 155.52 Mb/s，将 μ 律和 A 律体系统一。STM-1 可承载 63 个 E1 或 1 个 E4。