正交编码与伪随机序列

本章涉及两大主题：正交编码（正交码、Hadamard 矩阵、Walsh 函数）和伪随机序列（LFSR、m 序列及其性质）。它们是码分多址（CDMA）和扩频通信的理论基石。

1.1 为什么需要正交编码？

在通信系统中，我们希望不同用户、不同信道之间互不干扰。直观理解：如果两路信号"完全不相似"——内积为零——那么在接收端可以完美地区分它们，就像两个互相垂直的向量，一个方向的投影对另一个方向毫无影响。这就是正交性的价值。

1.2 正交性的数学定义

正交性的本质是"不相似"——在向量空间中，两个向量内积为零意味着彼此没有分量投影到对方上。通信中借用这个概念，要求不同用户的信号互相正交，就能在接收端完美分离。

模拟信号的正交：两个周期为 $T$ 的信号 $s_1(t)$ 和 $s_2(t)$ 正交，当且仅当：

物理含义：一个信号在另一个信号"方向"上的投影为零，两者完全不相关。

数字信号的正交——用互相关系数描述：

设长为 $n$ 的码组，码元取值 $+1$ 或 $-1$。两个码组 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 和 $\mathbf{y} = (y_1, y_2, \ldots, y_n)$ 的互相关系数定义为：

• $\rho = 0$：正交
• $\rho = 1$：完全相同
• $\rho = -1$：完全相反

1.3 自相关系数

自相关系数衡量的是一个码组与自身循环移位后的相似程度——这直接关系到该码组在通信系统中的同步性能和抗干扰能力。

把互相关系数中的 $\mathbf{y}$ 换成 $\mathbf{x}$ 自身的 $j$ 次循环移位，就得到自相关系数：

其中下标按模 $n$ 运算（即 $x_{n+k} \equiv x_k$）。

1.4 超正交与双正交

• 超正交：若 $\rho(\mathbf{x}, \mathbf{y}) < 0$，称两码组超正交。若编码中任意两码组都超正交，则称超正交编码。
• 双正交编码：由正交编码加上其反码（$+1 \leftrightarrow -1$ 互换）构成。例如 4 个正交码加上其 4 个反码，得到 8 个码组构成的双正交码。双正交码扩大了可用码字数目，同时保持良好的相关特性。

1.5 Hadamard 矩阵

是什么：Hadamard 矩阵（$H$ 矩阵）是一种元素只取 $+1$ 和 $-1$ 的方阵，且任意不同两行（或两列）互相正交。最低阶为 2 阶。

递推构造法（核心方法）：

逐步构造：

正规 Hadamard 矩阵：经过行/列交换后，使第一行和第一列全为 $+1$ 的形式，称为正规 $H$ 矩阵。

1.6 Walsh 函数（沃尔什函数）

怎么得到：将 Hadamard 矩阵的行按 $+1$/$-1$ 交变次数从小到大重新排列，就得到 Walsh 矩阵。每行对应一个 Walsh 函数 $\text{Wal}(n, t)$，其中 $n$ 就是交变次数。

Walsh 函数的关键性质：

2.1 为什么需要伪随机序列？

真正的随机序列不可重复，而通信中需要一种可重复产生、但统计特性近似随机的序列——这就是伪随机序列（PN序列）。它像噪声一样"不可预测"，但又可以精确复制，广泛用于：

• 误码率测量：用 PN 序列模拟真实数据流
• 时延测量：利用自相关特性精确定位时延
• 扩频通信：将信号"隐藏"在噪声中，提高抗干扰能力
• 数据加扰：打乱连0/连1，利于时钟恢复

2.2 线性反馈移位寄存器（LFSR）

伪随机序列由反馈移位寄存器产生，分为线性和非线性两种。最常用的是线性反馈移位寄存器（LFSR）。

n 级 LFSR 的递推关系：

其中：

• $c_i \in \{0, 1\}$：反馈连接状态（$c_i = 1$ 表示第 $i$ 级参与反馈）
• $\oplus$：模2加法（异或）
• 移位寄存器在时钟控制下每次右移一位，新输入由反馈逻辑决定

特征多项式：

其中 $c_0 = c_n = 1$（必有首尾连接）。$x$ 本身没有实际数值意义，$x^i$ 的存在仅表示 $c_i = 1$。

2.3 m 序列与本原多项式

m 序列（最长线性反馈移位寄存器序列）是 LFSR 能产生的周期最长的序列。

关键定理：一个 n 级 LFSR 能产生 m 序列的充要条件是其特征多项式为 n 次本原多项式。

2.4 m 序列的五大性质

这五条性质是 m 序列被称为"伪随机"的根本原因——它们逐一对应了真正随机白噪声的统计特征。

性质一：均衡性

一个周期内，"1"的个数比"0"恰好多一个：

• "1"的个数：$(p+1)/2 = 2^{n-1}$
• "0"的个数：$(p-1)/2 = 2^{n-1} - 1$

性质二：游程分布

游程 = 连续相同码元的一段。m 序列一个周期内有 $2^{n-1}$ 个游程，其中：

且同一长度下，连1游程和连0游程各占一半。

性质三：移位相加性

m 序列与自身延迟 $r$ 位的序列做模2加法，结果仍是该 m 序列的某个延迟序列：

性质四：双值自相关特性（最重要！）

将"0"映射为 $+1$、"1"映射为 $-1$ 后，自相关函数为：

推导思路：由移位相加性，$a_i \oplus a_{i+j}$ 仍是 m 序列的元素；由均衡性，一个周期内 0 比 1 少一个，故 $A - D = -1$（$j \neq 0$ 时），除以 $p$ 即得 $-1/p$。

性质五：伪噪声特性

综合以上性质，m 序列的统计特性（均衡性、游程分布、自相关函数、功率谱密度）与真正的随机白噪声高度相似，因此称为伪随机序列。区别仅在于：m 序列是确定性的、周期性的。

2.5 M 序列（补充）

M 序列由非线性反馈移存器产生，周期为 $2^n$（比 m 序列多 1——因为包含了全 0 状态）。性质与 m 序列的差异：

• "0"和"1"数目完全相等（真正的均衡）
• 不再有移位相加性和双值自相关特性
• 序列数目远多于 m 序列（$n=10$ 时，m 序列仅 60 个，M 序列有 $1.3 \times 10^{151}$ 个）