微分方程
高等数学 · 课程笔记
用变化规律反推出函数本身
5方程类型
4例题
3求解视角
2变换方法
Part 0 · 学习目标
微分方程描述“变化率满足什么规律”
普通方程求的是数，微分方程求的是函数。它给出的不是函数值本身，而是函数及其导数之间的关系。MIT 18.03SC 把一阶 ODE 的学习分成三种视角：解析解、几何图像和数值近似。这三种视角正好对应“公式求解、方向场理解、计算机迭代”。
Part 1 · 基本概念
ODE 与 PDE 的区别
常微分方程只含一个自变量，例如
$$F(x,y,y',\dots,y^{(n)})=0$$
偏微分方程含多个自变量和偏导，例如
$$<p>F(x_1,\dots,x_n,u,u_{x_1},u_{x_1x_1},\dots)=0</p>
<p>$$
本节以 ODE 为主，PDE 只做入口说明。
Part 2 · 一阶方程
可分离变量与一阶线性方程
可分离变量方程形如
$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$$
把含 $y$ 的项放一边，含 $x$ 的项放另一边：
$$<p>\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx+C</p>$$
例题 1：可分离变量
题目：解 $y'=xy$。
步骤：
$$\frac{dy}{y}=x dx$$
积分得
$$<p>\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C</p>$$
所以
$$y=Ce^{x^2/2}$$
答案：$y=Ce^{x^2/2}$。
一阶线性方程标准形式为
$$<p>y'+P(x)y=Q(x)</p>$$
积分因子为
$$\mu(x)=e^{\int P(x)dx}$$
乘上积分因子后，左边变成乘积导数：
$$<p>(\mu y)'=\mu Q</p>
<p>$$
Part 3 · 高阶线性方程
特征方程把微分问题变成代数问题
对常系数齐次方程
$$y''+py'+qy=0$$
尝试 $y=e^{rx}$，代入得到
$$<p>r^2+pr+q=0</p>$$
这就是特征方程。不同根型对应不同解型。
例题 2：二阶常系数方程
题目：解 $y''-3y'+2y=0$。
步骤：特征方程
$$r^2-3r+2=0=(r-1)(r-2)$$
两个相异实根 $1,2$。
答案：
$$<p>y=C_1e^x+C_2e^{2x}</p>
<p>$$
Part 4 · 拉普拉斯变换
把微分方程变成代数方程
拉普拉斯变换定义为
$$\mathcal L\{f(t)\}=F(s)=\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt$$
关键性质是
$$<p>\mathcal L\{f'(t)\}=sF(s)-f(0)</p>$$
因此初值问题可以变成关于 $F(s)$ 的代数方程。这个思想和 DSP 中用 Z 变换解差分方程非常接近：微分/移位结构在变换域中变成代数结构。可对照 Z 变换笔记。
例题 3：一阶初值问题
题目：解 $y'+y=1,\ y(0)=0$。
步骤：取拉普拉斯变换：
$$sY(s)-0+Y(s)=\frac1s$$
所以
$$<p>Y(s)=\frac{1}{s(s+1)}=\frac1s-\frac{1}{s+1}</p>$$
反变换得到
$$y(t)=1-e^{-t}$$
答案：$y(t)=1-e^{-t}$。
Part 5 · PDE 与数值解
解析解之外，还有几何和数值视角
典型 PDE 包括波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程：
$$u_{tt}=c^2u_{xx},\qquad u_t=\alpha u_{xx},\qquad u_{xx}+u_{yy}=0$$
很多微分方程难以解析求解，因此需要数值方法。最基础的欧拉方法是
$$<p>y_{n+1}=y_n+h f(x_n,y_n)</p>$$
例题 4：欧拉方法一步
题目：对 $y'=x+y$，$y(0)=1$，取 $h=0.1$，求一步近似 $y_1$。
步骤：$x_0=0,y_0=1$，所以 $f(x_0,y_0)=1$。
$$y_1=y_0+h f(x_0,y_0)=1+0.1\cdot1=1.1$$
答案：$y(0.1)\approx1.1$。
复习速查
- 可分离变量：把 $x,y$ 分到两边积分。
- 一阶线性：用积分因子把左边变成乘积导数。
- 常系数线性：设 $e^{rx}$，转成特征方程。
- 拉普拉斯变换：把微分和初值一起代数化。
- 欧拉法：沿当前斜率走一步，是最基本的数值近似。
参考来源
- 本地笔记：/Users/zhengxinyu/org/roam/note/高等数学.org，“微分方程”部分。
- MIT OCW 18.03SC · Unit I: First Order Differential Equations：用于补充 ODE 的解析、几何、数值三视角。
- MIT OCW 18.03 · Introduction to the Laplace Transform：用于补充拉普拉斯变换的课程位置。