第六章 互易性与旋量系
戴建生 · 高等教育出版社 2014
互易性：力旋量对速度旋量什么时候不做功
学习目标
- 掌握两旋量互易的五类几何条件（表 6.1）
- 理解互易性的物理含义：力旋量对刚体不做功的条件
- 区分旋量互易性与线性相关性
- 理解旋量系的定义和阶数
章节位置
第五章给出了有限位移旋量矩阵，本章讨论旋量之间的互易关系——两旋量在什么条件下"正交"，从而一个力旋量对另一个速度旋量不做功。
本章是第七章（旋量系关联关系定理）的直接基础。
6.1
互易性的几何特性与物理含义
互易性由 Klein（1871）提出。互易积为零时两旋量互易，其几何条件取决于两者旋距的组合。
物理意义：刚体在力旋量作用下沿某轴线方向运动，若力旋量对刚体做功为零，则力旋量与该运动旋量互易。
| 旋量 S₁ 旋距 | 旋量 S₂ 旋距 | 互易的几何条件 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 相交或平行（第一类） |
| 0 | h（有限） | 正交，或 $h\cos\phi = d\sin\phi$（第二类） |
| h₁ | h₂ | 正交 / 相交且 h₁+h₂=0 / 平行且 h₁+h₂=0 / 共线且 h₁+h₂=0（第三类） |
| 0 或 h | ∞ | 旋量位于与有限旋量轴线垂直的平面内（第四类） |
| ∞ | ∞ | 任意条件（第五类） |
6.1.2
运动与约束中的互易关联
定义 6.1：运动旋量包含速度旋量、有限位移旋量以及微小位移旋量。
力旋量与速度旋量互易 $\Leftrightarrow$ 该力对刚体运动不做功。这是分析约束机构的基础。
6.2
旋量的相关性
互易性与线性相关性是两个不同的概念：
- 两旋量共线 $\Rightarrow$ 线性相关且互易
- 两旋量共面且互易 $\Rightarrow$ 可能线性无关
旋量系是由若干旋量张成的线性子空间。设 $n$ 个旋量张成 $r$ 维旋量系（$r \leq n$），其正交补（互易系）为 $6-r$ 维。
复习速查
- 互易条件 $\mathcal{S}_1 \circ \mathcal{S}_2 = \mathbf{s}_1\cdot\mathbf{s}_{20}+\mathbf{s}_2\cdot\mathbf{s}_{10} = 0$
- 五类互易条件：由两旋量旋距决定（表 6.1）
- 物理含义：力旋量对速度旋量不做功
- 旋量系：旋量张成的线性子空间，$n$ 阶旋量的互易系为 $6-n$ 维
参考来源
- 戴建生 (2014)《旋量代数与李群、李代数》第六章，P.157-P.182。教材：
media/screw-algebra/screw-algebra-lie-groups.pdf。