函数逼近与数值积分
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- 第一组：函数逼近与正交多项式 —— Part 0–2
- 第二组：插值型求积、外推与 Gauss 思想 —— Part 3–5
- 第三组：课程收束与复习 —— Part 6 + 速查
这一组内容把数值分析里两条看似分开的线索接在了一起：一条是怎样用“容易处理”的函数去逼近复杂函数，另一条是怎样把这种逼近转化为积分公式。其中 Chap17 讲正交多项式与最佳平方逼近，Chap19 明确讨论 Simpson、复化公式、外推方法与 Gauss 型数值积分；而 Chap18 的文本提取损坏较严重，因此本页对它的处理只限于能从本地 PDF 残片中直接辨认出的“插值型求积公式、定积分背景与基础求积思路”，不把无法核实的部分写成确定的课程事实。
因此这一页的主线不是“背几个积分公式”，而是看清一个更深的结构：数值积分公式本质上是函数逼近思想的继续。
前置知识回顾
- 定积分与牛顿–莱布尼茨公式：理解积分的解析定义与“难以直接积分”的现实困境。这里主要对应 Chap18 的可辨认残片与课程上下文，不把细节部分过度确定化。
- Lagrange 插值：插值型求积公式的出发点是“先插值再积分”。可回看 插值与拟合。
- 线性方程组与正交投影：最佳平方逼近会导出正规方程组，而正交基能把它简化成投影公式。对应 Chap17。
- Taylor 展开与误差阶：外推与代数精度的分析都依赖误差展开。对应 Chap19。
如果原函数太复杂，最自然的思路就是先用一个更简单的函数去逼近它。对于“函数逼近”这件事，课程给了两个方向：
- 平方意义下的最佳逼近：在一个函数空间中找离原函数最近的多项式。
- 插值意义下的逼近：让逼近函数经过若干个给定节点，再把它拿去积分。
第一条线把我们带到正交多项式；第二条线把我们带到梯形、Simpson、Romberg 和 Gauss 积分。前者是在问“怎样选一个好基底”，后者是在问“怎样选一个好公式”。
最佳平方逼近
在区间 $[a,b]$ 上寻找一个多项式 $P_n(x)$，使误差平方积分最小：
这叫连续函数的最佳平方逼近。它不是要求在某些点完全吻合，而是要求整体意义下“最接近”。
带权内积与正交
定义带权内积
若 $(f,g)=0$，称 $f,g$ 在权函数 $\rho(x)$ 下正交。正交意味着不同基函数之间“互不干扰”，这会极大简化逼近系数的计算。
正交多项式
切比雪夫多项式：$T_n(x)=\cos(n\theta)$，其中 $x=\cos\theta$；它在 $[-1,1]$ 上关于权函数 $\rho(x)=1/\sqrt{1-x^2}$ 正交。
勒让德多项式：它在 $[-1,1]$ 上关于权函数 $1$ 正交，是最常见的标准正交多项式系。
插值型求积公式
若先用插值多项式 $L_n(x)$ 近似 $f(x)$，则可写出
这里 $l_j(x)$ 是插值基函数。梯形、Simpson 等公式都可以看作这条思路的具体落地。
为什么最佳平方逼近会导出 Hilbert 矩阵
设
最小化平方误差泛函后，对各系数求偏导并令零，可得正规方程组：
由于
系数矩阵恰好是 Hilbert 矩阵。这说明：用幂基做平方逼近虽然自然，但可能数值病态；换成正交基则更稳定。
正交基如何把“解方程组”变成“做投影”
若改用正交多项式基 $P_0,\dots,P_n$ 展开
则系数可直接写为
这比一般幂基下的耦合线性系统更透明：逼近本质上就是把函数投影到一个正交基底上。
从插值得到梯形和 Simpson
对积分区间上的函数做一次插值，可得梯形公式：
做二次插值（节点为 $a,\frac{a+b}{2},b$），可得 Simpson 公式：
这里需要特别说明：Chap18 的文本损坏较多，因此本页只保留与本地 PDF 残片、以及 Chap19 明确内容能够相互印证的部分；不能直接核到的细节，不在正文里写成“课件已经完整讲过”的确定表述。
外推与 Romberg 的误差消去思路
若复合梯形公式满足误差展开
则可利用 $T(h)$ 与 $T(h/2)$ 线性组合消去最低阶误差：
继续递推消去更高项，就得到 Romberg 积分表。它的思想不是魔法，而是“系统地做误差抵消”。
Gauss 求积为什么更值
Gauss 型求积通过选择最优节点，使 $(n+1)$ 个节点的公式达到最高可能代数精度 $2n+1$。例如二点 Gauss 公式在 $[-1,1]$ 上就能达到代数精度 3，这比普通两点插值型公式更强。
| 对象 | 核心思想 | 优势 | 限制或注意点 |
|---|---|---|---|
| 幂基最小二乘逼近 | 直接在 $1,x,x^2,\dots$ 上展开 | 形式直观 | 可能出现 Hilbert 矩阵病态 |
| 正交多项式逼近 | 把逼近系数写成投影 | 结构清楚、稳定性更好 | 需要理解带权正交 |
| 梯形公式 | 一次插值后积分 | 实现最简单 | 精度有限 |
| Simpson 公式 | 二次插值后积分 | 常用且精度更高 | 需要中点采样 |
| Romberg | 复合梯形 + 外推消误差 | 结构化提高精度 | 依赖平滑误差展开 |
| Gauss 求积 | 最优节点选择 | 少节点高精度 | 节点与权重构造更复杂 |
例题 1 · 为什么会遇到 Hilbert 矩阵
题目：在 $[0,1]$ 上用二次多项式对某个函数做最佳平方逼近，说明为什么自然会出现 Hilbert 矩阵。
- 第一步：设 $P_2(x)=a_0+a_1x+a_2x^2$，写出平方误差泛函。
- 第二步：分别对 $a_0,a_1,a_2$ 求偏导并令零，得到正规方程组。
- 第三步：观察系数项里出现的积分 $\int_0^1 x^{j+k}dx=1/(j+k+1)$，于是矩阵元素恰为 $1/(i+j-1)$ 型。
答案：Hilbert 矩阵不是“额外引进”的，而是幂基最小二乘逼近在区间 $[0,1]$ 上的自然结果。这也解释了为什么课程要引入正交多项式来改善数值性质。
例题 2 · 从二次插值推出 Simpson 公式
题目：说明 Simpson 公式为什么可以看成“二次插值后再积分”。
- 第一步：在节点 $a,\frac{a+b}{2},b$ 上构造二次 Lagrange 插值多项式 $L_2(x)$。
- 第二步：对 $L_2(x)$ 在 $[a,b]$ 上积分。
- 第三步：整理系数，得到
答案：Simpson 公式并不是孤立记忆的配方，而是插值思想的直接积分化结果。
后续用途 / 连接
正交多项式的零点直接通向 Gauss 求积节点的构造；最小二乘逼近里的投影思想会在更一般的函数展开、谱方法与数值 PDE 中继续出现；外推和误差消除则为更高阶自适应积分策略铺路。这些内容说明：数值积分不是单独的一章，而是函数逼近理论向“可计算积分”方向的自然延伸。
复习速查
- 最佳平方逼近：最小化 $\int (P-f)^2$，不是要求逐点通过。
- Hilbert 矩阵：幂基最小二乘逼近的自然产物，但数值病态。
- 正交多项式：把耦合求解改写成投影系数。
- 插值型求积：先插值，再积分。
- 梯形 / Simpson：分别来自一次 / 二次插值。
- 代数精度：衡量公式对低次多项式的“精确程度”。
- 外推 / Romberg：通过步长缩半与误差抵消提升精度。
- Gauss 求积：更少节点、更高代数精度，依赖最优节点选择。
参考来源
- 电子科技大学数学科学学院数值分析课程组：《数值分析》Chap17、Chap19 PDF 讲义（主参考来源）
- Chap18.pdf（文本提取质量较差；本页仅在可核实残片范围内使用，不把无法直接核对的细节写成确定课程结论）
- Chapter 7 数值分析笔记（仅作结构对照与补充说明）