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确定信号分析

通信原理 · 第二章
从频谱到功率谱，从相关到线性系统——通信信号分析的数学工具箱
2026/05/30 22:30:00
课程/通信原理·42 min read
通信原理确定信号傅里叶变换能量谱功率谱相关函数抽样信号课程笔记
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第一章建立了通信系统模型和信息度量框架，并梳理了常用信号与卷积工具。但那些讨论停留在"信号长什么样子"——没有回答"信号在频率上长什么样"。本章补上这个缺口。

通信中几乎所有问题最终都要落到频域来看：调制是搬移频谱，滤波器是频域选通，噪声用功率谱描述，信号用能量谱/功率谱区分。学好本章，后续的随机信号分析、信道、调制、滤波等内容才能建立直觉。

一条主线：对于确定信号，我们关心它在时域的波形、在频域的频谱、以及能量/功率在频域的分布。三个视角通过傅里叶变换紧密联系。
第一节
一、傅里叶变换及常用性质

傅里叶变换是连接时域和频域的桥梁。通信系统在任何时刻对信号做的处理——调制、滤波、抽样——最终都可以在频域得到一个简单、直观的解释。

1.1 傅里叶变换的定义

从第一章的傅里叶级数出发，当周期 $T\to\infty$，周期信号的频谱从离散线谱过渡为连续谱：

$$\boxed{F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t}\,dt}$$
$$\boxed{f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{j\omega t}\,d\omega}$$

其中 $\omega = 2\pi f$ 是角频率（rad/s），$f$ 是频率（Hz）。$F(\omega)$ 也称频谱密度函数，简称频谱。

1.2 常用傅里叶变换对

时域 $f(t)$频域 $F(\omega)$通信用途
$\delta(t)$$1$冲激的频谱是均匀的——理想冲激激励
$1$$2\pi\delta(\omega)$直流信号的频谱是位于零频的冲激
$e^{j\omega_0 t}$$2\pi\delta(\omega-\omega_0)$复指数信号的频谱是单一频率冲激
$\cos\omega_0 t$$\pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]$余弦波由正负两个频率的冲激组成
$\sin\omega_0 t$$-j\pi[\delta(\omega-\omega_0)-\delta(\omega+\omega_0)]$正弦波的频谱有 $\pm90^\circ$ 相位
$u(t)$$\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}$阶跃信号同时含直流和 $\frac{1}{\omega}$ 衰减
$\operatorname{sgn}(t)$$\frac{2}{j\omega}$符号函数的频谱是纯虚数
$g_\tau(t)$（矩形窗）$\tau\operatorname{Sa}(\frac{\omega\tau}{2})$矩形脉冲的频谱是 $Sa$ 函数
$\operatorname{Sa}(\frac{\omega_c t}{\pi})$$\pi\cdot\operatorname{rect}(\frac{\omega}{\omega_c})$$Sa$ 函数的频谱是矩形——理想低通
$e^{-at}u(t)$$\frac{1}{a+j\omega}$单边指数——RC 电路的冲激响应
$e^{-a|t|}$$\frac{2a}{a^2+\omega^2}$双边指数——Lorentz 谱形

1.3 傅里叶变换的常用性质

以下性质在通信原理中反复出现，是后续调制、解调、滤波、抽样分析的基础。表中的 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$ 是一对傅里叶变换。

性质时域频域通信含义
线性$af(t)+bg(t)$$aF(\omega)+bG(\omega)$叠加信号频谱相加
对称性$F(t)$$2\pi f(-\omega)$时域频域角色互换
尺度变换$f(at)$$\frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a})$时域压缩→频域展宽
时移$f(t-t_0)$$F(\omega)e^{-j\omega t_0}$时延不影响幅度谱，只叠加线性相位
频移（调制）$f(t)e^{j\omega_c t}$$F(\omega-\omega_c)$调制=频谱向左/右搬移
时域微分$f^{(n)}(t)$$(j\omega)^n F(\omega)$时域求导→频域乘以 $j\omega$
时域积分$\int_{-\infty}^t f(\tau)d\tau$$\pi F(0)\delta(\omega)+\frac{F(\omega)}{j\omega}$积分起到低频增强效果
时域卷积$f_1(t)*f_2(t)$$F_1(\omega)F_2(\omega)$时域卷积=频域乘积（滤波本质）
频域卷积$f_1(t)f_2(t)$$\frac{1}{2\pi}F_1(\omega)*F_2(\omega)$时域乘积=频域卷积（调制本质）
Parseval 定理$\int|f(t)|^2 dt$$\frac{1}{2\pi}\int|F(\omega)|^2 d\omega$时域总能量=频域总能量
最重要的一组性质：频移 + 时域卷积 + 频域卷积。调制（频移）为什么能把基带信号搬到高频？因为 $f(t)\cos\omega_c t \iff \frac{1}{2}[F(\omega+\omega_c)+F(\omega-\omega_c)]$。滤波为什么是卷积？因为 $y(t)=h(t)*x(t)\iff Y(\omega)=H(\omega)X(\omega)$——频域相乘就是在做频域选通。

学习建议

这组性质不要死记，而是理解"这条性质在通信中对应什么操作"。最常见的几个是：频移（调制）、时域卷积（滤波）、时移（时延）、尺度变换（带宽-时间互易）、Parseval（能量守恒）。

第二节
二、周期信号的傅里叶变换与傅里叶级数

2.1 周期信号的傅里叶变换

我们之前讨论的傅里叶变换适用于能量信号（$\int |f(t)|^2 dt < \infty$）。但通信中大量使用周期信号（正弦波、周期脉冲序列等），它们不是能量信号，传统的傅里叶变换不收敛。解决方案是引入冲激函数来表示周期信号的频谱。

最关键的变换对是一个复指数信号：

$$\mathcal{F}[e^{j\omega_0 t}] = 2\pi\delta(\omega - \omega_0)$$

这意味着：一个纯正弦波在频域对应一条位于其频率处的冲激，冲激的强度正比于信号幅度。由它派生出的余弦和正弦变换对：

$$\mathcal{F}[\cos\omega_0 t] = \pi[\delta(\omega-\omega_0) + \delta(\omega+\omega_0)]$$
$$\mathcal{F}[\sin\omega_0 t] = -j\pi[\delta(\omega-\omega_0) - \delta(\omega+\omega_0)]$$

推广到一般周期信号——周期为 $T_0$ 的信号 $f(t)$ 可以用傅里叶级数展开为无穷多个复指数之和，逐项做傅里叶变换得到：

$$F(\omega) = 2\pi \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k \delta(\omega - k\omega_0)$$

即周期信号的频谱是离散的冲激串，位于 $\omega = k\omega_0$ 处，强度由傅里叶级数系数 $c_k$ 决定。这完美体现了对偶律：时域周期化 → 频域离散化。

2.2 傅里叶级数的物理意义与工程角色

第一章已给出傅里叶级数的三角与复指数形式。这里重点回顾它在通信中的物理意义和工程角色。

物理意义：频谱的"原子化"

傅里叶级数把一个周期信号分解成一系列频率为基频整数倍的正弦波成分。每个成分的幅度和相位由系数 $c_k$ 唯一确定。这些系数就是频谱的离散采样——它们告诉你在每个谐波频率上信号有多强。第一章的例题已经展示了方波用傅里叶级数近似的过程。

在通信中，FS 的工程角色：
  • 调制中的载波：$\cos\omega_c t$ 本身就是 FS 特例（只有一个系数 $c_{\pm1} = 1/2$）
  • 周期脉冲序列的频谱：抽样定理中使用的冲激串 $\delta_T(t)$ 的 FS 系数是 $1/T_s$，所有谐波等幅——这就是"均匀采样"的物理本质
  • 由 FS 到 FT 的过渡：当周期 $T_0 o \infty$，谐波间隔 $\omega_0 o 0$，离散谱变为连续谱，FS 退化为 FT

2.3 Fourier 家族四象限：周期与离散的对偶关系

傅里叶变换有四种形式，分别对应时域/频域连续/离散、周期/非周期的四种组合。它们遵循一条核心对偶律：

对偶律（Duality Principle）

在一个域上离散化（采样），必然导致另一个域上周期化。

反过来：在一个域上周期化，必然导致另一个域上离散化。

这条对偶律是理解 Fourier 家族所有关系的万能钥匙。记住它，下面的四象限表就不用死记了。

时域：非周期（无限长）时域：周期（有限长/重复）
频率：连续 FT 连续时间、非周期 → 连续频率、非周期
$X(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt$
$\omega\in(-\infty,+\infty)$ 		FS 连续时间、周期 $T_0$ → 离散频率、非周期
$X[k]=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}x(t)e^{-jk\omega_0 t}dt$
$k\in\mathbb{Z}$，$\omega_0=2\pi/T_0$
频率：离散 DTFT 离散时间、非周期 → 连续频率、$2\pi$ 周期
$X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}$
$\omega\in[-\pi,+\pi)$ 		DFT 离散时间、周期 $N$ → 离散频率、周期 $N$
$X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N}$
$k=0,1,\ldots,N-1$

逐行看这张表：

  • FT（傅里叶变换）：最"纯粹"的形式，处理连续时间非周期信号，频域连续非周期
  • FS（傅里叶级数）：时域周期化 → 频域离散化（谐波序列 $k\omega_0$）。反过来，$T_0 o\infty$ 时谐波间距趋于零，FS 退化回 FT
  • DTFT（离散时间傅里叶变换）：时域离散化 → 频域周期化（$2\pi$ 周期）。$\omega\in[-\pi,\pi)$ 包含全部信息
  • DFT（离散傅里叶变换）：时域离散且有限长（等效周期 $N$），频域也离散且有限长——这是唯一能被计算机直接计算的 Fourier 变换，FFT 是其高效算法

2.4 对偶律的数学证明

对偶律不是直观猜测，而是可以从傅里叶变换的性质严格推导出来的。本节给出两个方向的数学证明。

方向一：时域离散化 → 频域周期化

这是抽样定理的数学本质。时域采样等价于用周期冲激串乘以信号：

$$x_s(t) = x(t) \cdot \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT_s)$$

由频域卷积性质（时域相乘 ↔ 频域卷积）：

$$X_s(\omega) = \frac{1}{2\pi} X(\omega) * \mathcal{F}\left[\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT_s)\right]$$

而冲激串的傅里叶变换仍是冲激串（见 FS 系数 $c_k = 1/T_s$ 的推导）：

$$\mathcal{F}\left[\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT_s)\right] = \frac{2\pi}{T_s} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\omega - k\omega_s)$$

代入得：

$$\boxed{X_s(\omega) = \frac{1}{T_s} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X(\omega - k\omega_s)}$$

这就是抽样信号的频谱——原频谱 $X(\omega)$ 以 $\omega_s = 2\pi/T_s$ 为间隔周期重复。证毕：时域离散化 → 频域周期化。

直观理解：抽样就像用一把"栅格"去取信号的值。原信号的频谱被"复制"到每个 $k\omega_s$ 处。如果 $\omega_s$ 不够大（欠采样），这些副本就会重叠——这就是混叠的数学根源。

方向二：时域周期化 → 频域离散化

这是傅里叶级数的数学本质。设 $f(t)$ 是以 $T_0$ 为周期的信号，它可以用傅里叶级数展开为：

$$f(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{jk\omega_0 t}, \quad \omega_0 = \frac{2\pi}{T_0}$$

对两边同时做傅里叶变换（利用 $\mathcal{F}[e^{jk\omega_0 t}] = 2\pi\delta(\omega - k\omega_0)$）：

$$F(\omega) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k \cdot \mathcal{F}[e^{jk\omega_0 t}] = 2\pi \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k \, \delta(\omega - k\omega_0)$$

这就是周期信号的频谱——它是位于 $\omega = k\omega_0$ 处的离散冲激串，每条冲激的强度由傅里叶级数系数 $c_k$ 决定。证毕：时域周期化 → 频域离散化。

直观理解：周期信号本质上是"同一段波形不断重复"。傅里叶级数把这个重复模式分解成一系列离散的谐波——好比用频谱仪看一个周期信号，看到的是间隔均匀的谱线。

推论：采样和周期化的对偶性

将以上两个方向合并，就得到完整的对偶律：

操作变换过程数学表达式
采样（时域离散化）$x(t) \to x(nT_s)$$X_s(\omega) = \frac{1}{T_s}\sum_k X(\omega - k\omega_s)$
周期化（时域周期化）$f(t) = f(t+T_0)$$F(\omega) = 2\pi\sum_k c_k \,\delta(\omega - k\omega_0)$

比较这两条结论：采样让频域变成周期的（连续谱 → 周期连续谱），周期化让频域变成离散的（连续谱 → 离散谱）。如果能同时做这两步（对有限长序列做 DFT），结果就是频域既离散又周期——这正是 DFT 的情况。

更详细的推导和工程示例见博客 信号变换全景辨析 和 采样定理。

四象限的本质：从 FT 出发，"时域采样"向右走一步到 DTFT，"时域周期化"向下走一步到 FS，同时做这两步就对角走到 DFT。每一步都精确地遵循对偶律。
第三节
三、抽样（采样）信号

抽样定理是连接模拟世界与数字世界的核心桥梁。它回答了一个根本问题：一个连续时间信号能否仅凭它的离散样本被完全恢复？答案是：可以，但前提是采样频率足够高。这一节将给出奈奎斯特抽样定理的完整数学证明、直观的频域图解，以及混叠现象的可视化解释。

3.1 理想采样的数学模型

理想采样不是"隔一段时间读一次数"那么简单——它在数学上等价于用周期冲激串乘以连续信号。设连续信号为 $x(t)$，采样间隔为 $T_s$，采样角频率 $\omega_s = 2\pi/T_s$，则周期冲激串为：

$$p(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT_s)$$

采样后的信号（仍为连续时间信号，但只在采样点有值）为：

$$x_s(t) = x(t) \cdot p(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT_s)\,\delta(t - nT_s)$$

真正进入数字系统时，我们只保存样本序列 $x[n] = x(nT_s)$。因此采样分为两个层次：理想冲激采样用于频域推导，样本序列用于离散系统处理。

3.2 频谱周期复制——抽样定理的核心推导

抽样定理的证明关键在于一步：时域相乘对应频域卷积。先求冲激串的傅里叶变换。由于 $p(t)$ 是周期为 $T_s$ 的周期信号，其傅里叶级数系数为 $c_k = 1/T_s$（所有谐波等幅），故：

$$P(\omega) = \frac{2\pi}{T_s} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\omega - k\omega_s)$$

由频域卷积性质 $x(t)p(t) \leftrightarrow \frac{1}{2\pi}X(\omega)*P(\omega)$，代入得：

$$X_s(\omega) = \frac{1}{2\pi} X(\omega) * \left[ \frac{2\pi}{T_s} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\omega - k\omega_s) \right]$$

利用冲激函数的卷积筛选性质，得到抽样定理最核心的一行公式：

$$\boxed{X_s(\omega) = \frac{1}{T_s} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X(\omega - k\omega_s)}$$

物理含义：采样后的频谱是原频谱 $X(\omega)$ 以 $\omega_s$ 为间隔的无限复制，幅度缩放 $1/T_s$。这就是"时域离散化 → 频域周期化"的精确数学表达。

频谱周期复制与混叠对比JSXGraph
频谱周期复制与混叠对比
欠采样混叠：频谱副本重叠JSXGraph
欠采样混叠：频谱副本重叠

3.3 奈奎斯特抽样定理

从上面的频谱复制公式可以直接读出无失真恢复的条件。设 $x(t)$ 是带宽有限信号，最高频率为 $f_H$（即 $X(\omega)=0$ 当 $|\omega|>2\pi f_H$）。要使相邻频谱副本不重叠，需要：

$$\omega_s - 2\pi f_H > 2\pi f_H \quad \Longleftrightarrow \quad \omega_s > 4\pi f_H \quad \Longleftrightarrow \quad f_s > 2f_H$$

这就是奈奎斯特抽样定理：

奈奎斯特抽样定理：一个最高频率为 $f_H$ 的带宽有限信号 $x(t)$，若采样频率 $f_s > 2f_H$，则可从样本序列 $x[n]=x(nT_s)$ 中无失真地恢复出 $x(t)$。$f_N = 2f_H$ 称为奈奎斯特频率（Nyquist rate）。
奈奎斯特采样与 Sinc 插值恢复JSXGraph
奈奎斯特采样与 Sinc 插值恢复

3.4 欠采样与混叠

当 $f_s < 2f_H$ 时，相邻频谱副本发生重叠。重叠区域中，某个低频位置上的能量可能来自原主谱，也可能来自搬移后的高频副本——系统无法再区分它们。混叠（aliasing）不是"采样少了所以图像粗糙"，而是高频信号产生了与某个低频信号完全相同的样本序列。一旦两个不同的连续信号在所有采样点上取值相同，后续数字处理就不可能知道原来是哪一个。

混叠直觉：高频信号伪装成低频JSXGraph
混叠直觉：高频信号伪装成低频
工程实践：真实模拟信号很少严格带限。因此实际系统中，ADC 前必须加入抗混叠滤波器（低通），先把高于 $f_s/2$ 的频率成分压掉，再做抽样。抗混叠滤波器的目标不是让信号更漂亮，而是保护采样过程不把不可恢复的错误写进样本序列。

3.5 理想恢复：Sinc 插值公式

当 $f_s > 2f_H$ 时，主谱与副本之间存在保护带。此时可用一个带宽为 $\omega_s/2$ 的理想低通滤波器 $H(\omega)$ 截取中心主谱：

$$H(\omega) = \begin{cases} T_s, & |\omega| \le \frac{\omega_s}{2} \\ 0, & |\omega| > \frac{\omega_s}{2} \end{cases}$$

系数 $T_s$ 用来抵消采样频谱前面的 $1/T_s$。频域截取主谱后，时域等价于与 $h(t)$ 做卷积。$H(\omega)$ 的逆傅里叶变换为：

$$h(t) = \operatorname{sinc}\!\left(\frac{\omega_s t}{2\pi}\right) = \operatorname{sinc}\!\left(\frac{t}{T_s}\right) = \frac{\sin(\pi t/T_s)}{\pi t/T_s}$$

因此恢复公式为：

$$\hat{x}(t) = x_s(t) * h(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT_s)\,\operatorname{sinc}\!\left(\frac{t - nT_s}{T_s}\right)$$

这就是Whittaker-Shannon 插值公式（也称 Sinc 插值或 Cardinal 级数）。它说明：采样后的恢复并不是"把点用直线连起来"，而是用一组平移的 sinc 基函数重构连续波形。每个样本 $x(nT_s)$ 贡献一个以该采样点为中心的 sinc 函数，所有 sinc 函数叠加后精确还原原信号。

为什么是 sinc？因为理想低通滤波器的冲激响应就是 sinc 函数。频域的矩形窗 ↔ 时域的 sinc。sinc 函数有一个关键性质：$\operatorname{sinc}(0)=1$，且 $\operatorname{sinc}(n)=0$（$n$ 为非零整数）。这保证了在每个采样点 $t=nT_s$ 处，只有第 $n$ 个 sinc 项有贡献，其余项为零——插值精确通过每一个样本点。

本节的"模拟信号数字化"完整流程（抽样→量化→编码）将在第七章详细讨论。这里只需掌握抽样定理的数学本质和混叠的物理含义——它是理解 PCM、数字通信和所有离散信号处理的前提。更详细的推导和工程示例见博客 采样定理。

第四节
四、相关系数和相关函数

3.1 相关系数

相关系数衡量两个信号的相似程度。设两个能量信号 $f_1(t)$ 和 $f_2(t)$，先定义未归一化的相关系数：

$$R_{12} = \int_{-\infty}^{\infty} f_1(t)f_2(t)\,dt$$

它反映两个信号内积的大小，但会受到信号能量影响。若两个信号能量分别为

$$E_1 = \int_{-\infty}^{\infty} f_1^2(t)\,dt, \qquad E_2 = \int_{-\infty}^{\infty} f_2^2(t)\,dt$$

则归一化的相关系数为相关系数除以 $\sqrt{E_1E_2}$：

$$\rho_{12} = \frac{R_{12}}{\sqrt{E_1E_2}} = \frac{\int_{-\infty}^{\infty} f_1(t)f_2(t)\,dt}{\sqrt{\int_{-\infty}^{\infty} f_1^2(t)\,dt \cdot \int_{-\infty}^{\infty} f_2^2(t)\,dt}}$$

如果 $f_1(t)$ 和 $f_2(t)$ 是功率信号，就不能直接对全时间积分得到有限能量。理论上可以用无限时间平均定义相关程度：

$$R_{12} = \lim_{T_0\to\infty}\frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2} f_1(t)f_2(t)\,dt$$

但对大部分一般功率信号，这个极限形式并不容易直接求取。因此课程中通常只考虑周期功率信号。若两个信号具有共同周期 $T$，只需要在一个周期内取平均：

$$R_{12} = \frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} f_1(t)f_2(t)\,dt$$

两个周期信号的平均功率为

$$P_1 = \frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} f_1^2(t)\,dt, \qquad P_2 = \frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} f_2^2(t)\,dt$$

因此周期功率信号的归一化相关系数为

$$\rho_{12} = \frac{R_{12}}{\sqrt{P_1P_2}}$$
  • $|\rho_{12}| = 1$：两个信号完全相似（线性相关）
  • $\rho_{12} = 0$：两个信号正交（完全不相似）
  • $0 < |\rho_{12}| < 1$：部分相关

在数字通信中，不同符号波形之间通常比较归一化相关系数。$|\rho_{12}|$ 越小，接收端越容易区分这些波形——这正是正交调制和最佳接收机（第 8 章）的基础。

3.2 自相关函数

自相关函数描述信号与自身的时延版本之间的相似度。

对于能量信号 $f(t)$：

$$R(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)f(t+\tau)\,dt$$

对于功率信号 $f(t)$：

$$R(\tau) = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)f(t+\tau)\,dt$$

自相关函数的性质：

  1. $R(\tau)$ 是偶函数：$R(\tau)=R(-\tau)$
  2. $R(0)$ 等于信号的能量（能量信号）或平均功率（功率信号）：$R(0)=\int f^2(t)dt$
  3. $|R(\tau)| \le R(0)$——最大值在 $\tau=0$ 处（信号与自身最相似）

3.3 互相关函数

互相关函数描述两个不同信号之间的相似度随时延的变化：

$$R_{12}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} f_1(t)f_2(t+\tau)\,dt$$

互相关与卷积有密切联系：

$$R_{12}(\tau) = f_1(\tau) * f_2(-\tau)$$

在通信中，匹配滤波器（第 8 章）正是利用互相关的思想——接收信号与发射波形的副本做互相关，在峰值时刻判断符号，实现最佳接收。

函数定义物理意义
自相关 $R(\tau)$$\int f(t)f(t+\tau)dt$信号自身在不同时刻的相似度
互相关 $R_{12}(\tau)$$\int f_1(t)f_2(t+\tau)dt$两个信号之间的相似度随时延变化
第五节
五、能量和能量谱密度

4.1 能量信号

如果信号 $f(t)$ 满足 $\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2 dt < \infty$，则称它为能量信号（如单个脉冲）。

它的总能量为：

$$E = \int_{-\infty}^{\infty} f^2(t)\,dt$$

根据 Parseval 定理：

$$E = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} |F(\omega)|^2\,d\omega = \int_{-\infty}^{\infty} |F(f)|^2\,df$$

这告诉我们：能量既可以在时域计算（对 $f^2(t)$ 积分），也可以在频域计算（对 $|F(\omega)|^2$ 积分）。两种方式完全等价。

4.2 能量谱密度

定义 能量谱密度（Energy Spectral Density, ESD）：

$$\boxed{\Psi(\omega) = |F(\omega)|^2 \quad (\text{J/Hz})}$$

它描述了信号能量在频域上的分布，即"每单位带宽有多少焦耳"。

关键关系：维纳-辛钦定理（能量信号版本）

能量信号的自相关函数与能量谱密度构成一对傅里叶变换：

$$\boxed{R(\tau) \iff \Psi(\omega) = |F(\omega)|^2}$$

即：自相关函数的傅里叶变换就是能量谱密度。这个关系在后续随机信号分析中也有完全相同的形式（自相关 ↔ 功率谱密度），是整个通信理论的基石之一。

为什么关心能量谱？ 在设计通信系统时，我们需要知道信号的能量集中在哪些频率——它决定了信号的带宽需求。同时，噪声在所有频率上如何分布也至关重要，这引出了功率谱密度的概念。
第六节
六、功率和功率谱密度

5.1 功率信号

如果信号能量无穷大（如周期信号、随机噪声），就不能用能量来描述它。这类信号称为功率信号，其平均功率定义为：

$$P = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f^2(t)\,dt$$

功率信号的能量是无穷的，但平均功率是有限的。

信号类型能量 $E$平均功率 $P$举例
能量信号有限0（趋于零）单个矩形脉冲
功率信号无穷有限正弦波、噪声

5.2 功率谱密度

对于功率信号，不能直接用 $|F(\omega)|^2$（因为傅里叶变换不存在）。解决方法是先把信号截短成长度为 $T$ 的片段 $f_T(t)$，再取极限：

$$\boxed{P_f(\omega) = \lim_{T\to\infty} \frac{|F_T(\omega)|^2}{T} \quad (\text{W/Hz})}$$

这就是功率谱密度（Power Spectral Density, PSD），描述信号功率在频域上的分布。

维纳-辛钦定理（功率信号版本）：

$$\boxed{R(\tau) \iff P_f(\omega)}$$

功率信号的自相关函数与功率谱密度构成一对傅里叶变换。这是通信原理中最重要的关系之一——因为随机信号的功率谱密度无法直接计算（随机信号没有确定性的傅里叶变换），但可以通过自相关函数间接获得。

噪声的功率谱密度：通信中最常遇到的是白噪声——它的功率谱密度在所有频率上为常数 $P_n(f)=N_0/2$（双边谱）或 $N_0$（单边谱）。"白"这个字借用了"白光包含所有频率"的含义。
第七节
七、信号通过线性系统
信号通过线性系统
信号通过系统：输入 $x(t)$ 经过冲激响应为 $h(t)$ 的线性系统，得到输出 $y(t)$。

6.1 线性时不变系统

通信中讨论的系统几乎全是线性时不变（LTI）系统（滤波器、信道、放大器等）。LTI 系统完全由它的冲激响应 $h(t)$ 描述：

$$y(t) = x(t) * h(t) \iff Y(\omega) = H(\omega)X(\omega)$$

其中 $H(\omega) = \mathcal{F}[h(t)]$ 称为系统的频率响应或传递函数。

6.2 频率响应：幅度响应与相位响应

频率响应可写为极坐标形式：

$$H(\omega) = |H(\omega)|\, e^{j\phi(\omega)}$$
  • $|H(\omega)|$：幅度响应（幅频特性）——系统对不同频率的增益
  • $\phi(\omega)$：相位响应（相频特性）——系统对不同频率的相位偏移

6.3 无失真传输条件

如果要求信号通过系统后波形不变、仅有时延和固定幅度缩放，即 $y(t)=Kx(t-t_0)$，则频域要求为：

$$|H(\omega)| = K \quad (\text{常数}), \qquad \phi(\omega) = -\omega t_0 \quad (\text{线性相位})$$

无失真传输需要系统在信号带宽内有平坦的幅度响应和线性相位。任何幅度或相位的非线性都会导致波形失真——前者引起幅度畸变，后者引起相位畸变。

6.4 信号通过系统的能量/功率关系

信号通过 LTI 系统后，时域是卷积，频域是相乘：

$$y(t)=x(t)*h(t), \qquad Y(\omega)=H(\omega)X(\omega)$$

能量谱密度本质上是频谱幅度的平方。如果输入信号的能量谱密度为 $\Psi_x(\omega)=|X(\omega)|^2$，那么输出信号的能量谱密度就是

$$\Psi_y(\omega)=|Y(\omega)|^2=|H(\omega)X(\omega)|^2=|H(\omega)|^2\Psi_x(\omega)$$

也就是说，输出信号在每个频率上的能量分布，等于输入信号在该频率上的能量分布乘以系统幅度响应的平方。

同样地，若输入为功率信号（或随机信号），输出信号的功率谱密度为：

$$P_{f_y}(\omega)=|H(\omega)|^2P_{f_x}(\omega)$$
工程意义：系统的输出能量谱（或功率谱）等于输入能量谱（或功率谱）乘以 $|H(\omega)|^2$。这不是说输出总能量等于输入总能量乘以一个固定常数，而是说每个频率成分都会被系统按 $|H(\omega)|^2$ 分别放大或衰减。这意味着一个系统的"选频特性"由它的幅度响应决定——滤波器就是这么工作的：在通带 $|H(\omega)|\approx1$，在阻带 $|H(\omega)|\approx0$。
第八节
八、常用傅里叶变换：$\omega$ 与 $f$ 的关系

通信原理中，傅里叶变换存在两种等价的描述方式：角频率 $\omega$（rad/s） 和 频率 $f$（Hz）。不同教材使用不同的惯例，本节统一说明两种形式及其对应关系。

7.1 基本关系

$$\omega = 2\pi f, \qquad f = \frac{\omega}{2\pi}$$

用 $f$ 描述的傅里叶变换对：

$$F(f) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$$
$$f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} F(f)e^{j2\pi ft}\,df$$

对比 $\omega$ 形式：

$$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t}\,dt$$
$$f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{j\omega t}\,d\omega$$

两者的关系：$F(f) = F(\omega)\big|_{\omega=2\pi f}$，即 $F(f) = F(2\pi f)$。

7.2 常用变换对的 $\omega$ 与 $f$ 对照

信号 $f(t)$$F(\omega)$（角频率）$F(f)$（频率 Hz）
$\delta(t)$$1$$1$
$1$$2\pi\delta(\omega)$$\delta(f)$
$e^{j2\pi f_0 t}$$2\pi\delta(\omega-2\pi f_0)$$\delta(f-f_0)$
$\cos(2\pi f_0 t)$$\pi[\delta(\omega-2\pi f_0)+\delta(\omega+2\pi f_0)]$$\frac12[\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)]$
$\sin(2\pi f_0 t)$$-j\pi[\delta(\omega-2\pi f_0)-\delta(\omega+2\pi f_0)]$$\frac1{2j}[\delta(f-f_0)-\delta(f+f_0)]$
$g_\tau(t)$（矩形窗）$\tau\operatorname{Sa}(\frac{\omega\tau}{2})$$\tau\operatorname{Sa}(\pi f\tau)$
$e^{-at}u(t)$$\frac{1}{a+j\omega}$$\frac{1}{a+j2\pi f}$
重要提醒：使用前一定先确认教材用的哪个惯例！有些教材用 $\omega$（如樊昌信《通信原理》），有些用 $f$（如 Proakis《Digital Communications》、部分国外教材）。两种形式本质等价，但公式中的常数因子不同，混淆会导致系数算错。推荐：理解推导时用 $\omega$（简洁），工程计算时转 $f$（直观，因为频谱仪、示波器都用 Hz）。
第九节
九、通信原理中傅里叶变换常用性质（$\omega$ 与 $f$ 描述）

通信原理中最常用的傅里叶变换性质（调制、滤波、时延、卷积等），下表同时给出 $F(\omega)$ 和 $F(f)$ 两种形式。建议以 $\omega$ 形式理解本质，用 $f$ 形式做工程计算。

性质$F(\omega)$ 形式$F(f)$ 形式在通信中的含义
时移$f(t-t_0)\leftrightarrow F(\omega)e^{-j\omega t_0}$$f(t-t_0)\leftrightarrow F(f)e^{-j2\pi f t_0}$信号延迟 $t_0$ → 频域叠加线性相位 $-2\pi f t_0$
频移（调制）$f(t)e^{j\omega_c t}\leftrightarrow F(\omega-\omega_c)$$f(t)e^{j2\pi f_c t}\leftrightarrow F(f-f_c)$调制就是频谱从零频搬到 $\omega_c$
时域卷积$f_1*f_2\leftrightarrow F_1(\omega)F_2(\omega)$$f_1*f_2\leftrightarrow F_1(f)F_2(f)$滤波：输出频谱 = 输入 × 系统函数
频域卷积$f_1f_2\leftrightarrow \frac{1}{2\pi}F_1*F_2$$f_1f_2\leftrightarrow F_1*F_2$信号相乘：时域乘法器 → 频域卷积
尺度变换$f(at)\leftrightarrow\frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a})$$f(at)\leftrightarrow\frac{1}{|a|}F(\frac{f}{a})$时域压缩 $a$ 倍 → 频域展宽 $a$ 倍
Parseval$\int f^2 dt = \frac{1}{2\pi}\int|F(\omega)|^2 d\omega$$\int f^2 dt = \int|F(f)|^2 df$能量守恒：时域频域计算等
微分$f'(t)\leftrightarrow j\omega F(\omega)$$f'(t)\leftrightarrow j2\pi f F(f)$时域微分 → 频域乘以 $j\omega$（加重高频）
注意：频域卷积性质在 $\omega$ 和 $f$ 形式下的常数因子不同：$\omega$ 形式是 $\frac{1}{2\pi}F_1*F_2$，$f$ 形式是 $F_1*F_2$（没有 $\frac{1}{2\pi}$）。这是因为 $d\omega = 2\pi df$ 导致反变换系数不同。这是最容易出错的地方之一。

8.1 实例：余弦调制

设基带信号为 $m(t)$，用余弦载波 $\cos\omega_c t$ 调制：

$$s(t) = m(t)\cos\omega_c t$$

在 $\omega$ 域：

$$S(\omega) = \frac{1}{2}\bigl[M(\omega+\omega_c) + M(\omega-\omega_c)\bigr]$$

在 $f$ 域：

$$S(f) = \frac{1}{2}\bigl[M(f+f_c) + M(f-f_c)\bigr]$$

两个形式完全对应，只是 $\omega_c=2\pi f_c$。这是通信中最基本的调制关系——后续 ASK、PSK、QAM 都是在 $\frac12$ 搬移的基础上，引入了相位和幅度控制。

速查
🔖 复习速查表

傅里叶变换对

$f(t)$$F(\omega)$$F(f)$
$\delta(t)$$1$$1$
$1$$2\pi\delta(\omega)$$\delta(f)$
$e^{j\omega_0 t}$$2\pi\delta(\omega-\omega_0)$$\delta(f-f_0)$
$\cos\omega_0 t$$\pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]$$\frac12[\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)]$
$g_\tau(t)$$\tau\operatorname{Sa}(\frac{\omega\tau}{2})$$\tau\operatorname{Sa}(\pi f\tau)$

最重要的三条关系

  1. 调制：$m(t)\cos\omega_c t \leftrightarrow \frac12[M(\omega+\omega_c)+M(\omega-\omega_c)]$
  2. 滤波：$y(t)=h(t)*x(t) \leftrightarrow Y(\omega)=H(\omega)X(\omega)$
  3. 维纳-辛钦：自相关函数 $R(\tau) \iff$ 功率谱密度 $P_f(\omega)$

能量 vs 功率信号

能量信号功率信号
条件$\int f^2(t)dt < \infty$$P=\lim\frac1T\int f^2(t)dt < \infty$
频域描述能量谱密度 $\Psi(\omega)=|F(\omega)|^2$功率谱密度 $P_f(\omega)=\lim\frac{|F_T|^2}{T}$
时域对应$R(\tau)\iff\Psi(\omega)$$R(\tau)\iff P_f(\omega)$
实际举例单脉冲、窗函数正弦波、噪声、周期信号

参考来源

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Tags:通信原理, 确定信号, 傅里叶变换, 能量谱, 功率谱, 相关函数, 抽样信号, 课程笔记