三角函数基础：定义、恒等式、图像与反函数

2026/05/23 12:00:00

弧度制：三角函数的度量标准

在数学中，角的度量默认使用弧度制，而非角度制。弧度定义为：弧长除以半径。

\theta\ (\text{rad}) = \frac{s}{r}

当弧长等于半径时， $\theta=1$ 弧度。圆周角 $2\pi$ 对应 $360^\circ$ 。

角度	弧度	对应点
$0^\circ$	$$0$$	$$(1,0)$$
$30^\circ$	$\pi/6$	$(\sqrt{3}/2,\,1/2)$
$45^\circ$	$\pi/4$	$(\sqrt{2}/2,\,\sqrt{2}/2)$
$60^\circ$	$\pi/3$	$(1/2,\,\sqrt{3}/2)$
$90^\circ$	$\pi/2$	$$(0,1)$$
$180^\circ$	$\pi$	$$(-1,0)$$
$270^\circ$	$3\pi/2$	$$(0,-1)$$
$360^\circ$	$2\pi$	$$(1,0)$$

为什么优先用弧度：弧度制下，微积分公式最为简洁。例如

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

这个结果只有在弧度制下才成立（角度制下等于

\pi/180

）。这也是高等数学使用弧度制的根本原因。

Section 01

三角函数的定义：从单位圆出发

在复平面的单位圆上，点 $P(\cos\theta,\sin\theta)$ 是单位圆上的任意一点。六个三角函数的定义：

\sin\theta = \frac{y}{r},\quad \cos\theta = \frac{x}{r},\quad \tan\theta = \frac{y}{x}

\cot\theta = \frac{x}{y},\quad \sec\theta = \frac{r}{x},\quad \csc\theta = \frac{r}{y}

其中 $r=\sqrt{x^2+y^2}=1$ （单位圆）， $(x,y)=(\cos\theta,\sin\theta)$ 。

函数	定义域	值域	周期
$\sin x$	$\mathbb{R}$	$$[-1,1]$$	$2\pi$
$\cos x$	$\mathbb{R}$	$$[-1,1]$$	$2\pi$
$\tan x$	$x\neq\pi/2+k\pi$	$\mathbb{R}$	$\pi$
$\cot x$	$x\neq k\pi$	$\mathbb{R}$	$\pi$
$\sec x$	$x\neq\pi/2+k\pi$	$(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$	$2\pi$
$\csc x$	$x\neq k\pi$	$(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$	$2\pi$

Section 02

六种三角函数的图像性质

函数	奇偶性	对称轴/对称中心	零值点
$\sin x$	奇函数	原点对称	$x=k\pi$
$\cos x$	偶函数	$$y$$ 轴对称	$x=\pi/2+k\pi$
$\tan x$	奇函数	原点对称	$x=k\pi$
$\cot x$	奇函数	原点对称	$x=\pi/2+k\pi$
$\sec x$	偶函数	$$y$$ 轴对称	$x=\pi/2+k\pi$
$\csc x$	奇函数	原点对称	$x=k\pi$

图像的直观记忆

$\sin x$ 是从 $$(0,0)$$ 开始的"波浪"， $\cos x$ 是从 $$(0,1)$$ 开始的"波浪"，两者周期都是 $2\pi$ 。 $\tan x$ 有渐进线，周期 $\pi$ ，从原点对称。

记忆技巧：从单位圆的 $$(1,0)$$ 点出发，逆时针旋转， $$y$$ 坐标是 $\sin x$ ， $$x$$ 坐标是 $\cos x$ ， $$y/x$$ 是 $\tan x$ 。

Section 03

核心恒等式

同角恒等式（最基本的关系）

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}

\sec^2 x = 1 + \tan^2 x

\csc^2 x = 1 + \cot^2 x

诱导公式（对称性恒等式）

核心原则：把角写为 $\frac{\pi}{2}\pm\theta$ 、 $\pi\pm\theta$ 等形式，根据"奇变偶不变、符号看象限"记忆：

角度形式	$\sin$	$\cos$	$\tan$
$-\theta$	$-\sin\theta$	$\cos\theta$	$-\tan\theta$
$\pi-\theta$	$\sin\theta$	$-\cos\theta$	$-\tan\theta$
$\pi+\theta$	$-\sin\theta$	$-\cos\theta$	$\tan\theta$
$2\pi-\theta$	$-\sin\theta$	$\cos\theta$	$-\tan\theta$
$\pi/2-\theta$	$\cos\theta$	$\sin\theta$	$\cot\theta$
$\pi/2+\theta$	$\cos\theta$	$-\sin\theta$	$-\cot\theta$

加法公式（和差化积）

\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta

\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta

\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}

二倍角公式

\sin 2x = 2\sin x\cos x

\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x-1 = 1-2\sin^2 x

\tan 2x = \frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}

积化和差

\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]

\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]

\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]

和差化积

\sin\alpha+\sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}

\sin\alpha-\sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}

\cos\alpha+\cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}

\cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}

Worked Example 01

例题：综合恒等式化简

化简： $\displaystyle\frac{\sin(\pi/2+x)-\cos(\pi-x)}{\sin(\pi+x)}$ 。

第一步：用诱导公式化简每一项。

$\sin(\pi/2+x)=\cos x$ （ $\pi/2+\theta$ 把 $\sin$ 变 $\cos$ ，象限一， $\cos$ 正）
$\cos(\pi-x)=-\cos x$ （ $\pi-\theta$ ，象限二， $\cos$ 负）
$\sin(\pi+x)=-\sin x$ （ $\pi+\theta$ ，象限三， $\sin$ 负）

第二步：代入

\frac{\cos x - (-\cos x)}{-\sin x} = \frac{2\cos x}{-\sin x} = -2\cot x

例题：利用 $\sin^2+\cos^2=1$ 求值

已知 $\sin x = 3/5$ ，且 $$x$$ 在第二象限，求 $\cos x$ 、 $\tan x$ 。

第二象限： $\cos x < 0$ 。

$\cos x = -\sqrt{1-\sin^2 x} = -\sqrt{1-9/25} = -\sqrt{16/25} = -4/5$

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$

Section 04

万能公式与半角公式

万能公式（Weierstrass 代换）用 $t=\tan\frac{x}{2}$ 将三角函数统一为有理式：

\sin x = \frac{2t}{1+t^2},\quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2},\quad \tan x = \frac{2t}{1-t^2}

其中 $t=\tan\frac{x}{2}$ 。这个公式在积分中尤其有用——任何有理函数与 $\sin x$ 、 $\cos x$ 的乘积，都可以转化为 $$t$$ 的有理函数积分。

半角公式

\sin\frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}

\cos\frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}

\tan\frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}} = \frac{\sin x}{1+\cos x} = \frac{1-\cos x}{\sin x}

符号由 $$x/2$$ 所在象限决定。

Section 05

反三角函数

由于三角函数在其定义域上不是单射，必须限制定义域才能定义反函数。

反函数	定义域限制	值域（主值）	导数
$\arcsin x$	$x\in[-1,1]$	$[-\pi/2,\pi/2]$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos x$	$x\in[-1,1]$	$[0,\pi]$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan x$	$x\in\mathbb{R}$	$(-\pi/2,\pi/2)$	$\frac{1}{1+x^2}$
$\text{arccot }x$	$x\in\mathbb{R}$	$(0,\pi)$	$-\frac{1}{1+x^2}$

反三角函数之间的关系

\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}

\arctan x + \text{arccot }x = \frac{\pi}{2}

\arctan x = \arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}

常见反三角函数值

$$x$$	$\arcsin x$	$\arccos x$	$\arctan x$
$$0$$	$$0$$	$\pi/2$	$$0$$
$\sqrt{3}/2$	$\pi/3$	$\pi/6$	—
$\sqrt{2}/2$	$\pi/4$	$\pi/4$	—
$$1/2$$	$\pi/6$	$\pi/3$	—
$$1$$	$\pi/2$	$$0$$	$\pi/4$
$$-1$$	$-\pi/2$	$\pi$	$-\pi/4$

常用不等式与极限

不等式	成立范围	说明
$\sin x < x < \tan x$	$0<x<\pi/2$	单位圆几何证明
$\|\sin x\| \le \|x\|$	$\forall x$	三角不等式
$\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1$	$0<x<\pi/2$	夹逼不等式
$\|\arctan x\| \le \|x\|$	$\forall x$	来自 $\|\sin x\|\le\|x\|$

重要极限

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1

\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac12

\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x} = 1

与复数公式的对应

三角函数与复数之间有一一对应关系：

\cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2},\qquad \sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}

这组公式是沟通初等数学与分析数学的桥梁，也是傅里叶级数的起点。

复数视角下的三角恒等式

两个视角等价：

几何视角：单位圆上的点 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 旋转 $\phi$ 角后得到新点
代数视角： $e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}$ 展开后比较实部虚部，得到加法公式

几何视角直观，代数视角精确。两者结合，就是理解三角函数的完整路径。

参考来源

同济大学数学系. 《高等数学》上册. 第七版. 第三章：导数与微分（三角函数求导用到复合函数链式法则）。
同济大学数学系. 《高等数学》上册. 第七版. 第四章：不定积分（三角函数积分的降幂公式）。
Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning. 第六章。
维基百科：三角函数