卷积与差分方程

第一讲里，课程先讲离散时间序列的移位、翻褶、相加、相乘、差分，再讲单位抽样序列、线性移不变系统、单位抽样响应、卷积和，最后进入常系数线性差分方程。很多同学半懂不懂，通常不是因为某个公式太难，而是因为这几个概念之间的桥没有搭起来。

本页的主线是：

离散系统本质上是一个运算规则：输入一个序列 $x[n]$，输出另一个序列 $y[n]$，记为

如果系统是任意黑箱，我们几乎没法用一个简单公式描述它。但如果它满足两个很强的条件，事情就会变简单：

• 线性：输入可以拆开算，输出再加起来。
• 移不变：今天输入一个脉冲和明天输入同样脉冲，响应形状一样，只是整体平移。

满足这两个条件的系统叫 LTI 系统。卷积和不是任意定义的运算，而是 LTI 系统的必然输出公式。

先定义单位抽样响应：当输入是单位抽样序列 $\delta[n]$ 时，系统输出称为 $h[n]$：

这句话的含义很关键。$\delta[n]$ 是“最小测试输入”，$h[n]$ 是系统被这个最小输入敲一下之后的完整反应。对 LTI 系统，只要知道 $h[n]$，就可以预测任意输入的输出。

原因来自任意序列的单位脉冲分解：

这不是玄学。右边每一项 $x[m]\delta[n-m]$ 只在 $n=m$ 处留下一个高度为 $x[m]$ 的脉冲。把所有位置的脉冲加起来，正好拼回原来的 $x[n]$。

把输入分解式送进系统：

由于系统线性，可以把求和与常数 $x[m]$ 提出来：

由于系统移不变，$\delta[n]$ 的响应是 $h[n]$，那么 $\delta[n-m]$ 的响应就是 $h[n-m]$。于是

这就是卷积和。它的直觉是：输入的每一个样本 $x[m]$ 都会激发一个移位后的系统响应 $h[n-m]$，最终输出是所有这些响应的叠加。

卷积公式

里面 $k$ 是哑变量，$n$ 是当前输出时刻。为了算某个 $n$ 下的输出，需要看 $x[k]$ 和 $h[n-k]$ 在 $k$ 轴上哪里重叠。图解法四步是：

1. 翻褶：把 $h[k]$ 变成 $h[-k]$。
2. 移位：把 $h[-k]$ 平移成 $h[n-k]$。
3. 相乘：只在 $x[k]$ 和 $h[n-k]$ 都非零的位置有贡献。
4. 求和：把所有重叠位置的乘积加起来。

所以，卷积题最重要的不是先算，而是先找支撑区间的交集。

对 LTI 系统，单位抽样响应 $h[n]$ 不只用来算输出，还能直接判断系统性质。

• 因果系统：输出不能依赖未来输入。对 LTI 系统，充要条件是 $h[n]=0,n<0$。
• BIBO 稳定系统：有界输入产生有界输出。对 LTI 系统，充要条件是 $\sum_{n=-\infty}^{\infty}|h[n]|<\infty$。

直观上，如果 $h[n]$ 在负时间不为零，说明一个单位脉冲还没输入，系统就已经响应了，所以非因果。如果 $h[n]$ 的绝对和发散，输入虽然有界，但卷积叠加可能无限放大，所以不稳定。

连续时间系统常用微分方程，因为变化发生在连续时间上；离散时间系统常用差分方程，因为当前输出经常由过去若干个输入和过去若干个输出决定。常系数线性差分方程的一般形式是

这里 $y[n-k]$ 是过去第 $k$ 个输出，$x[n-k]$ 是过去第 $k$ 个输入。这个式子给出的是递推关系：只要初始状态和输入序列已知，就能一步一步算出输出。

这也解释了为什么后面要学 Z 变换：时域递推适合手算少数样本，但不适合一眼看出系统结构。Z 变换会把移位 $y[n-k]$ 变成乘以 $z^{-k}Y(z)$，从而把差分方程压缩成代数式。

实验 2 要求编程求两个系统的单位抽样响应和阶跃响应，并画图。实验原理已经把关键链条写出来了：

MATLAB 中常见两条路线：

• filter(p,d,x)：从差分方程递推求输出。
• conv(x,h)：从单位抽样响应卷积求输出。

对 FIR 系统，两条路线通常很容易对上；对 IIR 系统，$h[n]$ 无限长，实际计算时只能截断观察前若干项。

到这里，时域链条已经完整了：

但时域方法有局限：递推能算点值，却不容易直接看极点、稳定性边界和频率响应。下一节 Z 变换会把

于是差分方程变成系统函数

这就是本页和 Z 变换 页之间的衔接：卷积与差分方程解决“时域如何描述系统”，Z 变换解决“如何用复平面分析系统”。