小波变换与 JPEG2000

傅里叶变换将信号分解为正弦波的叠加，提供了精确的频率信息，但完全丢失了时间（空间）信息。对于图像压缩来说，我们不仅需要知道"有哪些频率成分"，还需要知道"这些成分出现在哪里"。

短时傅里叶变换（STFT）通过加窗解决了这个问题，但窗宽固定，无法同时获得好的时间和频率分辨率（受制于 Heisenberg 不确定性原理）。

小波变换用可变尺度的基函数替代了固定窗长的正弦波，实现了多分辨率分析：在低频区域使用宽窗口（好的频率分辨率），在高频区域使用窄窗口（好的空间分辨率）。

对于一维信号 $f(t)$，连续小波变换定义为：

其中：

• $\psi(t)$ 是母小波（mother wavelet），一个均值为零的振荡函数

• $a$ 是尺度参数（scale），控制小波的伸缩。$a$ 越大，小波越宽，对应低频成分

• $b$ 是平移参数（translation），控制小波的位置

• $\psi^*$ 表示复共轭

CWT 将一维信号映射为二维的时频表示 $W_f(a, b)$，其中横轴是位置，纵轴是尺度（频率）。

实际计算中，我们对尺度和平移参数进行离散化。最常见的是二进离散化：$a = 2^j$，$b = k \cdot 2^j$，其中 $j, k$ 为整数。

离散小波变换的基函数：

DWT 的系数为：

Mallat 在 1989 年提出了离散小波变换的快速算法——Mallat 算法（也称为金字塔算法或滤波器组算法）。这是小波变换在工程中最核心的实现方式。

滤波器组视角

DWT 可以等价地看作信号通过一对正交镜像滤波器（Quadrature Mirror Filters, QMF）：

1. 低通滤波器 $g[n]$：提取信号的近似（低频）成分

2. 高通滤波器 $h[n]$：提取信号的细节（高频）成分

3. 每个滤波器后接2 倍下采样（丢弃一半样本）

级联分解

Mallat 算法的关键洞察：对低频输出递归地重复上述过程，形成滤波器组（filter bank）：

信号 x[n]
  ├── 高通 → 下采样 → 细节系数 D1（最高频）
  └── 低通 → 下采样
        ├── 高通 → 下采样 → 细节系数 D2
        └── 低通 → 下采样
              ├── 高通 → 下采样 → 细节系数 D3
              └── 低通 → 下采样 → 近似系数 A3（最低频）

每一级分解将频率范围减半，同时空间分辨率也减半。$n$ 级分解后，信号被分解为 1 个近似系数和 $n$ 个细节系数。

计算复杂度

Mallat 算法的时间复杂度为 $O(N)$（线性），其中 $N$ 是信号长度。这比 FFT 的 $O(N \log N)$ 还要快。原因在于：每级分解后信号长度减半，总计算量为几何级数求和。

对于二维图像，DWT 采用可分离的方式实现：先对每行做 1D DWT，再对每列做 1D DWT。

一次二维 DWT 将图像分解为 4 个子带：

对 LL 子带递归分解，形成小波金字塔：

原始图像 (N×N)
  ┌─────┬─────┐
  │ LL2 │ HL2 │  ← 第 2 级
  ├─────┼─────┤
  │ LH2 │ HH2 │
  ├─────┼─────┤
  │ LH1 │ HH1 │  ← 第 1 级
  ├─────┤─────┤
  │     │     │
  └─────┴─────┘

不同的小波基函数有不同的性质，适合不同的应用：

JPEG2000 选择了两种小波：

• LeGall 5/3：用于无损压缩（整数到整数变换，计算简单）

• CDF 9/7（Cohen-Daubechies-Feauveau）：用于有损压缩（更好的能量集中）

Daubechies 小波的两个关键参数决定了其压缩性能：

消失矩阶数 N：小波函数与 N-1 次多项式正交。阶数越高，高频系数的能量越集中，压缩效率越高。直觉上，消失矩越高，小波越能"忽略"平滑区域的变化，只捕获真正的突变（边缘、纹理）。 支撑长度 2N-1：小波基函数非零的区间长度。支撑越长，边界效应越少，但计算量越大。

在 JPEG2000 中选择 CDF 9/7（双正交，接近 db9 的平滑效果）而非高阶 db 小波，是因为双正交小波具有线性相位特性，重建时不产生相位偏移（图像不会"甩尾"），这对图像压缩至关重要。

提升方案是 DWT 的一种高效实现方式，由 Sweldens 在 1996 年提出。它将滤波器组分解为一系列预测和更新操作：

1. 分裂（Split）：将信号分为偶数样本和奇数样本

2. 预测（Predict）：用偶数样本预测奇数样本，奇数样本减去预测值得到细节系数

3. 更新（Update）：用细节系数更新偶数样本，得到近似系数

提升方案的优势：

• 原位计算：不需要额外的存储空间

• 整数到整数变换：通过取整操作实现可逆的整数小波变换

• 计算速度：比传统的滤波器组实现快约 2 倍

• 任意长度信号：不需要信号长度为 2 的幂

输入图像 → 预处理（分块 + DC 位移）→ DWT → 量化 → EBCOT 熵编码 → JPEG2000 码流

DC 位移

对于无符号样本值（如 8bit 图像的 0–255），JPEG2000 首先减去 $2^{B-1}$（其中 $B$ 是位深），将值域中心化到零附近。这一步不引入信息损失。

分块（Tiling）

JPEG2000 将图像分成矩形的块（tile），每个块独立处理。块的大小可以是任意的（默认通常是 256×256 或 192×192）。

分块的好处：

• 支持随机访问：可以只解码图像的一部分

• 降低内存需求：不需要同时处理整幅图像

• 支持 ROI（感兴趣区域）编码

分块的代价：块边界处可能产生伪影（类似 JPEG 的块效应，但程度轻得多）。

每个块独立进行多级二维 DWT。JPEG2000 支持 9/7（有损）和 5/3（无损/有损）两种小波基。

DWT 分解级数通常为 4–6 级。对于 512×512 的块，5 级分解后 LL 子带的大小为 16×16。

DWT 的输出是一个小波系数金字塔，包含多个子带（LL, LH, HL, HH 在每个级别的副本）。

JPEG2000 使用均匀 dead-zone 量化器。对于每个子带 $b$，量化步长为：

其中 $\Delta_{\text{base}}$ 是基础量化步长，$R_b$ 是子带 $b$ 的指数衰减量（取决于分解级别和子带类型）。

量化后的系数为：

其中 $r_b$ 是 dead-zone 偏移量（有损模式下通常为 0.5，无损模式下为 0）。

EBCOT（Embedded Block Coding with Optimal Truncation）是 JPEG2000 的核心创新之一，由 Taubman 在 2000 年提出。

编码块（Code-Block）

每个子带被进一步分成小的编码块（code-block），典型大小为 32×36 或 64×64。编码块是 EBCOT 的基本处理单元。

嵌入式编码

EBCOT 对每个编码块进行嵌入式编码：码流按重要性从高到低排列，可以随时截断。截断点越靠后，重建质量越高。这使得 JPEG2000 天然支持渐进式传输和精确的码率控制。

上下文建模

EBCOT 使用上下文建模来预测每个系数位的概率。对于编码块中的每个系数，它检查 3×3 邻域中 8 个邻居的"重要性状态"（是否已经编码为非零），形成一个上下文索引。

上下文状态根据以下条件分类：

• 邻域中非零系数的个数（0–8）

• 邻域中非零系数的位置分布

• 当前系数的重要性状态（已/未变为非零）

共有 17 种不同的上下文状态（由邻域系数的显著性状态分类决定）。每个上下文状态对应一个自适应算术编码器。MQ 算术编码器内部还有约 46 个概率状态用于更新概率模型，但上下文状态本身为 17 个（ISO/IEC 15444-1 标准明确规定）。

三遍扫描

EBCOT 对每个编码块进行三遍扫描（pass-based encoding）：

1. 显著性传播扫描（Significance Propagation Pass）：编码尚未变为"显著"（非零）的系数的当前位

2. 幅值细化扫描（Magnitude Refinement Pass）：对已经显著的系数编码下一位

3. 清理扫描（Cleanup Pass）：编码剩余的系数位

每遍扫描中，对每个系数位使用上下文建模 + 算术编码。

最优截断

EBCOT 的"最优截断"（Optimal Truncation）特性：对于每个编码块，可以独立选择截断点，使得在给定总码率约束下，整体失真最小。这是一个拉格朗日优化问题：

其中 $D_i(R_i)$ 是编码块 $i$ 在码率 $R_i$ 下的失真。

渐进式传输

JPEG2000 支持多种渐进式传输模式：

• 分辨率渐进：先显示低分辨率，逐步增加细节

• 质量渐进：先传输最重要的位，逐步提高质量

• 层渐进：按预定义的质量层逐步传输

• 空间渐进：从左上角开始，逐步扩展到全图

ROI（感兴趣区域）

JPEG2000 允许指定图像中的某个区域为 ROI，该区域的编码优先级高于背景。ROI 区域的小波系数被移位到更高位平面，确保在码流截断时优先保留。

无损压缩

使用 5/3 整数小波 + 无量化，JPEG2000 可以实现完全无损的压缩。这在医学影像和卫星图像等对精度要求极高的领域非常重要。

尽管 JPEG2000 在技术上全面优于 JPEG，但它的工业采用远不如预期。主要原因：

1. 计算复杂度高：EBCOT 的上下文建模和算术编码使编码速度比 JPEG 慢 5–10 倍

2. 专利问题：早期 JPEG2000 涉及多个专利，阻碍了开源实现的普及

3. JPEG 的惯性：JPEG 已经嵌入到几乎所有图像处理软件和硬件中，替换成本极高

4. WebP 和 HEIF 的竞争：在 JPEG2000 专利问题解决之前，WebP 和 HEIF 已经提供了更好的压缩性能

JPEG2000 的主要应用场景集中在：医学影像（DICOM 标准支持 JPEG2000）、数字电影（DCI 标准）、地理信息系统（GeoTIFF）和档案存储。